（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)學(xué)案

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1、 §10.3　拋物線及其性質(zhì) 考綱解讀 考點 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計 2013 2014 2015 2016 2017 1.拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. 2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程. 掌握 15,4分 22(文), 約5分 22(文), 約5分 9,4分 19(1)(文), 6分 15,約4分 2.拋物線的幾何性質(zhì) 1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 掌握 22(文), 約5分 22(文), 約6分

2、5,5分 20(文), 約7分 19(2)(文), 9分 15,約6分 分析解讀　　1.考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì). 2.考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及與拋物線有關(guān)的綜合問題. 3.預(yù)計2019年高考中,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)仍將被考查. 五年高考 考點一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為(　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x

3、 C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 答案　C 2.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是　　　　.? 答案　9 3.(2017課標(biāo)全國Ⅱ理,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=　　　　.? 答案　6 4.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=　　　　.? 答案　2 5.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(

4、a0)經(jīng)過C,F兩點,則=　　　　.? 答案　1+ 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 2.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B 3.(

5、2017山東理,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 答案　y=±x 4.(2016浙江文,19,15分)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍. 解析　(1)由題意可得,拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-

6、1的距離,由拋物線的定義得=1,即p=2. (2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t≠0,t≠±1. 因為AF不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B. 又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為-. 從而得直線FN:y=-(x-1),直線BN:y=-. 所以N. 設(shè)M(m,0),由A,M,N三點共線得 =,于是m=. 所以m<0或m>2. 經(jīng)檢驗,m<0或m>2滿足題意. 綜上,點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞). 5.(2014浙江文,22,1

7、4分)已知△ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,=3. (1)若||=3,求點M的坐標(biāo); (2)求△ABP面積的最大值. 解析　(1)由題意知焦點F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2). 由=3,分別得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中點M的坐標(biāo)

8、為(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得k2=-m+. 由Δ>0,k2≥0,得-f, 所以,當(dāng)m=時, f(m)取到最大值,此時k=±. 所以,△ABP面積的最大值為. 6.(2013浙江文,22,14分)已知拋物線C的頂點為

9、O(0,0),焦點為F(0,1). (1)求拋物線C的方程; (2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值. 解析　(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則=1,所以拋物線C的方程為x2=4y. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1. 由消去y,整理得x2-4kx-4=0, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4. 由 解得點M的橫坐標(biāo)xM===. 同理點N的橫坐標(biāo)xN=. 所以|MN|=|xM-xN| = =8 =

10、. 令4k-3=t,t≠0,則k=. 當(dāng)t>0時,|MN|=2>2. 當(dāng)t<0時,|MN|=2≥. 綜上所述,當(dāng)t=-,即k=-時,|MN|的最小值是. 7.(2017北京理,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點. (1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)求證:A為線段BM的中點. 解析　本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系. (1)由拋物線C:y2=2px過點P(1,1),得p=. 所以拋物線C的方程為y2=x.

11、 拋物線C的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-. (2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k≠0),l與拋物線C的交點為M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 則x1+x2=,x1x2=. 因為點P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為y=x,點B的坐標(biāo)為. 因為y1+-2x1= = ===0, 所以y1+=2x1. 故A為線段BM的中點. 8.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|P

12、Q|. (1)求C的方程; (2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程. 解析　(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由題設(shè)得+=×, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程為y2=4x.(5分) (2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中點為D(2m2+1,2m),|A

13、B|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率為-m, 所以l'的方程為x=-y+2m2+3. 將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中點為E, |MN|=|y3-y4|=.(10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2++=. 化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)

14、教師用書專用(9—10) 9.(2013安徽,13,5分)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點.若該拋物線上存在點C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為　　　　.? 答案　[1,+∞) 10.(2013江西,14,5分)拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=　　　　.? 答案　6 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江“超級全能生”聯(lián)考(3月),4)設(shè)拋物線的頂點在原點,焦點在x軸上,若拋

15、物線上的點A(-1,a)與焦點F的距離為2,則a=(　　) A.4 B.4或-4 C. -2 D.-2或2 答案　D 2.(2017浙江杭州二模(4月),7)設(shè)傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線C交于A,B兩點,設(shè)點A在x軸上方,點B在x軸下方.若=m,則cos α的值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 3.(2018浙江名校協(xié)作體期初,15)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若=,則||=　　　　.? 答案　5 4.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考(4月),11)已知拋物線y2=-2px過點

16、M(-2,2),則p=　　　　,準(zhǔn)線方程是　　　　.? 答案　1;x= 5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,19)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:x2=2py的焦點為F(0,1),過O作斜率為k(k≠0)的直線l交拋物線于A(異于O點),已知D(0,5),直線AD交拋物線于另一點B. (1)求拋物線C的方程; (2)若OA⊥BF,求k的值. 解析　(1)由題意知,=1,所以p=2,所以拋物線C:x2=4y.(6分) (2)由題意知,直線OA:y=kx,將其代入拋物線方程:x2=4y中, 消去y,得x2-4kx=0,則A(4k,4k2).(8分) 直線AB:y=x+5,直

17、線BF:y=-x+1,(10分) 聯(lián)立可解得B. (12分) 又因為B在拋物線C上,則=4×,(13分) 得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=±.(15分) 考點二　拋物線的幾何性質(zhì) 6.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,6)已知拋物線y2=4x的焦點為F,O為原點,若M是拋物線上的動點,則的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 7.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷(五),12)已知拋物線x2=4y,則該拋物線的焦點坐標(biāo)是　　　　;過焦點斜率為1的直線與拋物線交于P,Q兩點,則|PQ|=　　　　.? 答案　(0,1);8 8.(2016浙江寧波二模,19)在“20

18、16”的Logo設(shè)計中,有這樣一個圖案:.其由線段l、拋物線弧E及圓C三部分組成.對其進(jìn)行代數(shù)化的分析,如圖建系,發(fā)現(xiàn):圓C方程為(x-4)2+y2=16,拋物線弧E:y2=2px(p>0,y≥0,0≤x≤8),若圓心C恰為拋物線y2=2px的焦點,線段l所在的直線恰為拋物線y2=2px的準(zhǔn)線. (1)求p的值及線段l所在的直線方程; (2)P為圓C上的任意一點,過P作圓的切線交拋物線弧E于A、B兩點,問是否存在這樣的點P,使得弦AB在l上的投影的長度與圓C的直徑之比為4∶3?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解析　(1)由題意易得p=8,線段l所在直線方程為x=-4.(

19、5分) (2)假設(shè)存在這樣的P點,設(shè)P(x0,y0)(0≤x0≤8), 則切線方程為(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分) 將其與拋物線方程y2=16x聯(lián)立,顯然x0≠4,y0>0. 整理得y2+y0y-4x0=0,(9分) 設(shè)點A、B在l上的投影分別為M,N. 由題意可得|MN|=|yA-yB|==, 解得x0=1(x0=16舍去). 此時P(1,),則yA,B=(±2),(11分) 因為拋物線弧的右上端點坐標(biāo)為(8,8), 且(+2)>8,故此時的P不滿足條件,即這樣的P點不存在.(15分) B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　

20、　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),7)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點M(p,0)的直線交拋物線于A,B兩點,若=2,則=(　　) A.2 B. C. D.與p有關(guān) 答案　B 二、填空題 2.(2017浙江名校(鎮(zhèn)海中學(xué))交流卷二,13)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,P,R為拋物線上的點,若|PF|=4,則點P的坐標(biāo)是　　　　;若直線RF與拋物線的另一交點為Q,且△RQO(O為坐標(biāo)原點)的重心在直線y=x上,則直線RF的斜率是　　　　.　? 答案　(3,±2);2或1 3.(2017浙江臺州4月調(diào)研卷(一模),15)過拋

21、物線y2=4x的焦點F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點,若=4,則||=　　　　.? 答案　 4.(2017浙江名校新高考研究聯(lián)盟測試一,11)已知拋物線C:y2=2x,若C上的點M到焦點F的距離為,則△OFM的面積是　　　　.? 答案　1 三、解答題 5.(2018浙江名校協(xié)作體期初,21)如圖,已知拋物線C1:x2=2py的焦點在拋物線C2:y=x2+1上,點P是拋物線C1上的動點. (1)求拋物線C1的方程及其準(zhǔn)線方程; (2)過點P作拋物線C2的兩條切線,A、B為兩個切點,求△PAB面積的最小值. 解析　(1)C1的方程為x2=4y,(3分)

22、 其準(zhǔn)線方程為y=-1.(5分) (2)設(shè)P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2), 則切線PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切線PB的方程為y=2x2x+2-y2,又切線PA和PB都過P點,所以所以直線AB的方程為4tx-y+2-t2=0.(9分) 聯(lián)立得x2-4tx+t2-1=0,所以 所以|AB|=|x1-x2|=.(11分) 點P到直線AB的距離d==.(13分) 所以△PAB的面積S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1, 所以當(dāng)t=0時,S取得最小值,為2.即△PA

23、B面積的最小值為2.(15分) 6.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,21)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,直線l過點F,且與C交于M,N兩點. (1)當(dāng)l與y軸垂直時,△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點),求此時拋物線C的方程; (2)過M,N分別作拋物線C的兩條切線交于點P,當(dāng)直線l變化時,證明:P點在一條定直線上,并且以MP為直徑的圓過定點. 解析　(1)當(dāng)直線l與y軸垂直時,|MN|=2p,S△OMN=·2p·==2,因此p=2, 所以此時拋物線C的方程為x2=4y.(4分) (2)證明:由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)l的方程為y=kx+,M(x1,

24、y1),N(x2,y2),P(xP,yP). 由x2=2py,得y=x2,所以y'=x, 所以切線PM的斜率為x1,PM的方程為y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y). 同理,PN的方程為x2x=p(y2+y). 聯(lián)立消去x,得y===-, 故點P的縱坐標(biāo)為定值,所以點P在定直線y=-,即拋物線的準(zhǔn)線上.(12分) 把yP=-代入x1x=p(y1+y),得xP==pk,所以P, 又因為F,所以kPF=-. 于是PF⊥MN,亦即∠PFM=90°, 所以以PM為直徑的圓過定點F.(15分) C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

25、的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江名校協(xié)作體期初,9)雙曲線C:-y2=1的漸近線方程是　　　　;若拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線C的一個焦點重合,則p=　　　　.? 答案　y=±x;4 2.(2016浙江嘉興第一中學(xué)能力測試,20)已知拋物線x2=2py(p>0)與直線3x-2y+1=0交于A,B兩點,|AB|=,點M在拋物線上,MA⊥MB. (1)求p的值; (2)求點M的坐標(biāo). 解析　(1)將y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0, 由|AB|=及p>0得p=. (2)由(1)得A(1,2),B,拋物線方

26、程為y=2x2. 設(shè)點M(x0,y0),由MA⊥MB得·=0, 即(x0-1)+(y0-2)=0, 將y0=2代入得(x0-1)+4(x0-1)(x0+1)·=0, 又x0≠1且x0≠-,所以1+4(x0+1)=0,解得x0=0或x0=-, 所以點M的坐標(biāo)為(0,0)或. 方法2　拋物線的幾何性質(zhì)的解題策略 3.(2016“江南十?！毙畔?yōu)化卷,13)經(jīng)過拋物線y2=2px(p≠0)的頂點O作兩條弦OA和OB,若弦OA、OB所在直線的斜率k1、k2恰好是方程x2+6x-4=0的兩個根,則直線AB的斜率為　　　　.? 答案　 方法3　與拋物線有關(guān)的綜合問題的解題策略 4.

27、(2016浙江模擬訓(xùn)練卷(三),19)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點M(-1,0)且斜率為k的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A、B,且∠AFB為銳角. (1)求k的取值范圍; (2)求△AFB面積的取值范圍. 解析　(1)顯然k≠0,直線l的方程為y=k(x+1), 由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則有x1+x2=-,x1x2=1. 顯然A,F,B三點不共線,故∠AFB為銳角等價于·>0. 而·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)·(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=2k2+2+, 從而有2k2+2+>0,即有k2>. 由Δ=4(k2-2)2-4k4>0,得k2<1. 則有