（江蘇專(zhuān)用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 應(yīng)用題教學(xué)案

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1、專(zhuān)題六 應(yīng)用題 “在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，側(cè)重考查能力”是高考的立意之本，而應(yīng)用能力的考查又是近幾年高考考查的重點(diǎn)考查實(shí)際問(wèn)題背景下的數(shù)學(xué)建模是江蘇卷幾年不變的題型所以如何由實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模過(guò)程的探索是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵應(yīng)用題的載體很多，前幾年主要考查函數(shù)建模，以三角、導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)解決問(wèn)題，以往有一次函數(shù)模型(條件不等式模型)有先構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求解(2015年、2016年)，演變?yōu)榱Ⅲw幾何模型(2016年、2017年)；近兩年三角模型走紅(2018年、2019年)考查利用三角知識(shí)、導(dǎo)數(shù)、直線(xiàn)與圓等知識(shí)綜合建模與求解能力，難度中等 題型(一)函數(shù)模型的構(gòu)建及求解主要考查以構(gòu)建函數(shù)模型為

2、背景的應(yīng)用題，一般常見(jiàn)于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題或立體幾何表面積和體積最值問(wèn)題中. 典例感悟例1(2016江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因?yàn)锳1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O62

3、8288(m3)所以倉(cāng)庫(kù)的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設(shè)A1B1a m，PO1h m，則0h6，O1O4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中，O1BPOPB，所以h236，即a22(36h2)于是倉(cāng)庫(kù)的容積VV柱V錐a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)當(dāng)0h2時(shí)，V0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2h6時(shí)，V0，V是單調(diào)減函數(shù)故當(dāng)h2時(shí)，V取得極大值，也是最大值因此，當(dāng)PO12 m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大方法技巧解函數(shù)應(yīng)用題的四步驟演練沖關(guān)1(2019常州期末)某公園要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的景觀窗格(其外框可以看成在矩形

4、的四個(gè)角處對(duì)稱(chēng)地截去四個(gè)全等的三角形所得)，整體設(shè)計(jì)方案要求：內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸AFBE1.6米，兩根豎軸CHDG1.2米記景觀窗格的外框(如圖2中的實(shí)線(xiàn)部分，軸和邊框的粗細(xì)忽略不計(jì))總長(zhǎng)度為l米(1)若ABC，且兩根橫軸之間的距離為0.6米，求景觀窗格的外框總長(zhǎng)度；(2)由于經(jīng)費(fèi)有限，景觀窗格的外框總長(zhǎng)度不超過(guò)5米，當(dāng)景觀窗格的面積(多邊形ABCDEFGH的面積)最大時(shí)，求出此景觀窗格的設(shè)計(jì)方案中ABC的大小與BC的長(zhǎng)度解：(1)記CH與AF，BE的交點(diǎn)分別為M，N，由ABC可得CBN，易知AB0.6，CNHM(1.20.6)0.3，所以BC0.6，BN，所以CDBE2BN1.6，則l

5、ABBCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC1.22.4.答：景觀窗格的外框總長(zhǎng)度為米(2)由題意知，l2AB2CD4BC5.設(shè)CBN，BCr，則CNrsin ，BNrcos ，所以ABCH2CN1.22rsin ，CDBE2BN1.62rcos ，所以2(1.22rsin )2(1.62rcos )4r5，即4r(sin cos 1)，.設(shè)景觀窗格的面積為S，則S1.21.62r2sin cos ，(當(dāng)且僅當(dāng)4r(sin cos 1)時(shí)取等號(hào))令tsin cos (t(1，)，則sin cos ，所以S，其中11(當(dāng)且僅當(dāng)t，即時(shí)取等號(hào))所以S(32)，即S(當(dāng)且僅當(dāng)4r(sin co

6、s 1)且時(shí)，取等號(hào))，所以當(dāng)且僅當(dāng)r且時(shí)，S取得最大值答：當(dāng)景觀窗格的面積最大時(shí)，此景觀窗格的設(shè)計(jì)方案中ABC且BC米2(2019鹽城三模)如圖，某人承包了一塊矩形土地ABCD用來(lái)種植草莓，其中AB99 m，AD49.5 m現(xiàn)計(jì)劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚n(nN*)個(gè)，每個(gè)半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側(cè)面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽略不計(jì))，塑料薄膜的價(jià)格為每平方米10元；另外，還需在每?jī)蓚€(gè)大棚之間留下1 m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中EF1 m)，這部分的建設(shè)造價(jià)為每平方米31.4元(1)當(dāng)n20時(shí)，求蒙一個(gè)大棚所需塑料薄膜的面積；(結(jié)果保留)(2)試確定大棚的個(gè)數(shù)，使

7、得上述兩項(xiàng)費(fèi)用的和最低(計(jì)算中取3.14)解：(1)設(shè)每個(gè)半圓柱型大棚的底面半徑為r.當(dāng)n20時(shí)，共有19塊空地，所以r2(m)，所以每個(gè)大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為r2rAD22249.5103(m2)，即蒙一個(gè)大棚所需塑料薄膜的面積為103 m2.(2)設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用的和為f(n)因?yàn)閞，所以每個(gè)大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為Sr2rAD49.5，則f(n)10nS31.4149.5(n1)10n31.4149.5(n1)31.4，因?yàn)閚220，當(dāng)且僅當(dāng)n10時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)n10時(shí)，f(n)取得最小值，即當(dāng)大棚的個(gè)數(shù)為10個(gè)時(shí)，上述兩項(xiàng)費(fèi)用的和最低題型(二

8、)與三角形、多邊形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題主要考查與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，所建立函數(shù)模型多為三角函數(shù)模型. 典例感悟例2(2018江蘇高考)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線(xiàn)段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP，要求A，B均在線(xiàn)段MN上，C，D均在圓弧上設(shè)OC與MN所成的角為.(1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積，并確定sin 的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43.求當(dāng)為

9、何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大解(1)如圖，設(shè)PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交MN于點(diǎn)H，則PHMN，所以O(shè)H10.過(guò)點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E，則OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，則矩形ABCD的面積為240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面積為240cos (4040sin )1 600(cos sin cos )過(guò)點(diǎn)N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G和K，則GKKN10.連結(jié)OG，令GOK0，則sin 0，0.當(dāng)時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形ABCD，所以sin 的取值范圍是.答：矩形ABCD的面積為800(4sin cos c

10、os )平方米，CDP的面積為1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范圍是.(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k(k0)，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k0)，則年總產(chǎn)值為4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.設(shè)f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f()0，所以f()為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，f()取到最大值答：當(dāng)

11、時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大方法技巧三角應(yīng)用題的解題策略(1)解三角應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，要想解決好，就要把實(shí)際問(wèn)題抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后求解(2)解三角應(yīng)用題常見(jiàn)的兩種情況：實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解(3)三角函數(shù)的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導(dǎo)數(shù)法演練沖關(guān)(2019南通等七市一模)如圖1

12、，一藝術(shù)拱門(mén)由兩部分組成，下部分為矩形ABCD，AB，AD的長(zhǎng)分別為2 m和4 m，上部分是圓心為O的劣弧CD，COD.(1)求圖1中拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離；(2)現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門(mén)放倒，放倒過(guò)程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示設(shè)BC與地面水平線(xiàn)l所成的角為，記拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離為h，試用的函數(shù)表示h，并求出h的最大值解：(1)如圖1，過(guò)O作與地面垂直的直線(xiàn)，分別交AB，CD于點(diǎn)O1，O2，交劣弧CD于點(diǎn)E，O1E的長(zhǎng)即拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離在RtO2OC中，O2OC，CO2，所以O(shè)O21，圓的半徑ROC2.所以O(shè)1ERO1O2OO25.(2)在拱門(mén)放

13、倒過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)O作與地面垂直的直線(xiàn)，與“拱門(mén)外框”相交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上(不含點(diǎn)D)時(shí)，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離h等于圓O的半徑長(zhǎng)與圓心O到地面的距離之和；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上時(shí)，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離h等于點(diǎn)D到地面的距離連接OB，由(1)知，在RtOO1B中，OB2.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線(xiàn)l為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上(不含點(diǎn)D)時(shí)，.由OBx，OB2，得O，則h22sin.所以當(dāng)，即時(shí)，h取得最大值，為22.如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上時(shí)，0.連接BD，設(shè)CBD，在RtBCD中，DB2，則sin ，cos .由DBx，得D(2cos()，2sin()所以

14、h2sin()4sin 2 cos .又當(dāng)04cos2sin0，所以h4sin 2cos 在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，h取得最大值，為5.又225，所以h的最大值為22.答：(1)拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離為5 m.(2)h藝術(shù)拱門(mén)在放倒的過(guò)程中，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離h的最大值為(22)m.題型(三)與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題主要考查與直線(xiàn)和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，在航海與建筑規(guī)劃中的實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn).典例感悟例3(2019江蘇高考)如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并修建兩段直線(xiàn)型道路PB，QA，規(guī)劃要求：線(xiàn)段PB，Q

15、A上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑已知點(diǎn)A，B到直線(xiàn)l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測(cè)得AB10，AC6，BD12(單位：百米)(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位：百米)，求當(dāng)d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離解(1)如圖，過(guò)A作AEBD，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，DEBEAC6，AECD8.因?yàn)镻BAB，所以cosPBDsinABE.所以PB15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米)(2)均不能理由如下：若P在D處，由(1)可得E在圓上，則

16、線(xiàn)段BE上的點(diǎn)(除B，E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求若Q在D處，連接AD，由(1)知AD10，從而cosBAD0，所以BAD為銳角所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求綜上，P和Q均不能選在D處(3)先討論點(diǎn)P的位置當(dāng)OBP90時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)OBP90時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F，OFOB，即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求當(dāng)OBP90時(shí)，設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1BAB，由(1)知，P1B15，此時(shí)P1DP1BsinP1BDP1BcosEB

17、A159；當(dāng)OBP90時(shí)，在PP1B中，PBP1B15.由上可知，d15.再討論點(diǎn)Q的位置由(2)知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求當(dāng)QA15時(shí)，CQ3.此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑綜上，當(dāng)PBAB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ3時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQPDCDCQ173.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為173(百米)(1)如圖，過(guò)O作OHl，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系因?yàn)锽D12，AC6，所以O(shè)H9，直線(xiàn)l的方程為y9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB10，所以圓O的方程

18、為x2y225.從而A(4，3)，B(4，3)，直線(xiàn)AB的斜率為.因?yàn)镻BAB，所以直線(xiàn)PB的斜率為，直線(xiàn)PB的方程為yx.所以P(13，9)，PB 15.因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米)(2)均不能理由如下：若P在D處，取線(xiàn)段BD上一點(diǎn)E(4，0)，則EO45，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求若Q在D處，連接AD，由(1)知D(4，9)，又A(4，3)，所以線(xiàn)段AD：yx6(4x4)在線(xiàn)段AD上取點(diǎn)M，因?yàn)镺M 5，所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求綜上，P和Q均不能選在D處(3)先討論點(diǎn)P的位置當(dāng)OBP90時(shí)，在PP1B中，PBP1B15.由上可知，d1

19、5.再討論點(diǎn)Q的位置由(2)知，要使得QA15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求當(dāng)QA15時(shí)，設(shè)Q(a，9)，由AQ15(a4)，得a43，所以Q(43，9)此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑綜上，當(dāng)P(13，9)，Q(43，9)時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ43(13)173.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為173(百米)方法技巧與圓有關(guān)應(yīng)用題的求解策略(1)在與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題中，有些時(shí)候，在條件中沒(méi)有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，如本例，需通過(guò)條件到兩個(gè)定點(diǎn)A，B

20、的距離之比為定值3來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)(攔截點(diǎn))的軌跡是圓(2)與直線(xiàn)和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般都可以轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和圓中的最值問(wèn)題演練沖關(guān)(2019南京三模)如圖，某摩天輪底座中心A與附近的景觀內(nèi)某點(diǎn)B之間的距離AB為160 m摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個(gè)底面半徑為15 m的圓柱體與一個(gè)半徑為15 m的半球體組成圓柱的底面中心P在線(xiàn)段AB上，且PB為45 m半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m把摩天輪看作一個(gè)半徑為72 m的圓C，且圓C在平面BPQ內(nèi)，點(diǎn)C到地面的距離CA為75 m該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點(diǎn))旋

21、轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)(只考慮此建筑物對(duì)游客視線(xiàn)的遮擋)解：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l與半圓Q相切，與圓C交于點(diǎn)M，N，連接CM，CN，過(guò)點(diǎn)C作CHMN，垂足為H.設(shè)直線(xiàn)l的方程為ykx，即kxy0，則點(diǎn)Q到l的距離為15，解得k或k0(舍)所以直線(xiàn)l的方程為yx，即3x4y0.所以點(diǎn)C(160，75)到直線(xiàn)l的距離CH36.因?yàn)樵赗tCHM中，CH36，CM72，所以cosMCH.又MCH，所以MCH，所以MCN2MCH，所以該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)為3010(min)答：該游

22、客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)為10 min. A組大題保分練1.如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線(xiàn)段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸)，tanBCO.(1)求新橋BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？解：法一：(1)如圖(1)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0，60)，C(170，0)，直線(xiàn)BC的斜率kBCtanBCO.又因?yàn)锳

23、BBC，所以直線(xiàn)AB的斜率kAB.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC，kAB.聯(lián)立解得a80，b120.所以BC150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OMd m(0d60)由條件知，直線(xiàn)BC的方程為y(x170)，即4x3y6800.由于圓M與直線(xiàn)BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線(xiàn)BC的距離是r，即r.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以即解得10d35.故當(dāng)d10時(shí)，r最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大法二：(1)如圖(2)，延長(zhǎng)OA，CB交于點(diǎn)F.因?yàn)閠anFCO，所以sinFCO，cosFCO.因?yàn)镺A60

24、，OC170，所以O(shè)FOCtanFCO，CF，從而AFOFOA.因?yàn)镺AOC，所以cosAFBsinFCO.又因?yàn)锳BBC，所以BFAFcosAFB，從而B(niǎo)CCFBF150.因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MDBC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MDr m，OMd m(0d60)因?yàn)镺AOC，所以sinCFOcosFCO.故由(1)知sinCFO，所以r.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以即解得10d35.故當(dāng)d10時(shí)，r最大，即圓面積最大所以當(dāng)OM10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大2(2019蘇錫常鎮(zhèn)一模)某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊

25、空地進(jìn)行配套綠化已知空地的一邊是直路AB，余下的外圍是拋物線(xiàn)的一段弧，直路AB的垂直平分線(xiàn)OP恰是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸(如圖)擬在這個(gè)空地上劃出一個(gè)等腰梯形ABCD區(qū)域種植草坪，其中A，B，C，D均在該拋物線(xiàn)上經(jīng)測(cè)量，直路AB長(zhǎng)為40米，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到直路AB的距離為40米設(shè)點(diǎn)C到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離為m米，到直路AB的距離為n米 (1)求出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m為多大時(shí)，等腰梯形草坪ABCD的面積最大？并求出其最大值解：(1)以路AB所在的直線(xiàn)為x軸，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(20，0)，B(20，0)，P(0，40)曲線(xiàn)段APB為拋物線(xiàn)的一段弧，可以設(shè)拋物線(xiàn)的解

26、析式為ya(x20)(x20)，將P(0，40)代入得40400a，解得a，拋物線(xiàn)的解析式為y(400x2)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，n(400m2)，0m0.則Srlr ，記f(h)h(h0)，則f(h)1，令f(h)0，得h6.當(dāng)h(0，6)時(shí)，f(h)0，f(h)在(6，)上單調(diào)遞增所以，當(dāng)h6時(shí)，f(h)最小，此時(shí)S最小，最小值為18.答：當(dāng)容器的高為6米時(shí)，制造容器的側(cè)面用料最省4(2019南京四校聯(lián)考)如圖，某生態(tài)園區(qū)P的附近有兩條相交成45角的直路l1，l2，交點(diǎn)是O，P到直路l1的距離為1 km，到直路l2的距離為 km，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條通過(guò)該生態(tài)園區(qū)的直路AB，分別與直路l1，l2交于點(diǎn)

27、A，B.(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直路AB的長(zhǎng)度；(2)求AOB面積的最小值解：以直路l1所在直線(xiàn)為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系因?yàn)橹甭穕1，l2相交成45角，所以直路l2所在直線(xiàn)的方程為xy0.因?yàn)镻到直路l1的距離為1 km，到直路l2的距離為 km，所以可設(shè)P(x0，1)(x01)，所以，解得x03，所以P(3，1)(1)法一：設(shè)B(a，a)，因?yàn)镻(3，1)是AB的中點(diǎn)，所以A(6a，2a)由于A在x軸上，所以2a0，即a2.所以A(4，0)，B(2，2)，AB2.所以直路AB的長(zhǎng)度為2 km.法二：當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意，舍去當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)

28、，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，由題意知k1或k1)，當(dāng)a3時(shí)，A(3，0)，所以AOB的面積為 km2.當(dāng)a1且a3時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y1(x3)令y0，得x，即A，所以SAOBa(a1)22 24，當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a2時(shí)取等號(hào)又4，所以AOB面積的最小值為4 km2.B組大題增分練1(2019揚(yáng)州期末) 為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD，其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形擬修建兩條小路AC，BD(路的寬度忽略不計(jì))，設(shè)BAD，.(1)當(dāng)cos 時(shí)，求小路AC的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，求小路B

29、D的長(zhǎng)度解：(1)在ABD中，由BD2AB2AD22ABADcos ，得BD2146cos ，又cos ，BD2.，sin .在ABD中，由，得，解得sinADB.BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，CDB且CDBD2，cosADCcossinADB.在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosADC()2(2)22237，得AC，所以當(dāng)cos 時(shí)，小路AC的長(zhǎng)度為 百米(2)由(1)得BD2146cos ，S四邊形ABCDSABDSBCD3sin BD27sin 3cos 7(sin 2cos )7sin()，其中sin ，cos ，且.當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)sin

30、，cos ，BD2146cos 14626，BD，當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，小路BD的長(zhǎng)度為百米2(2019南京鹽城二模)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心、半徑為20米的圓形區(qū)域?yàn)樨S富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計(jì)方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺(tái)，舞臺(tái)為扇形OAB(劣弧所對(duì)的扇形)所在的區(qū)域，其中點(diǎn)A，B均在圓O上，觀眾席為梯形ABQP以?xún)?nèi)、圓O以外的區(qū)域，其中APABBQ，PABQBA，且AB，PQ在點(diǎn)O的同側(cè)為保證視聽(tīng)效果，要求觀眾席內(nèi)的每一位觀眾到舞臺(tái)O處的距離都不超過(guò)60米(即要求PO60)設(shè)OAB，.問(wèn)：對(duì)于任意的，上述設(shè)計(jì)方案是否均能符合要求？解：過(guò)點(diǎn)O作OH垂直于AB，垂足為H

31、.在直角三角形OHA中，OA20，OAH，所以AH20cos ，因此AB2AH40cos ，所以ABAPBQ40cos .由題圖可知，觀眾席內(nèi)點(diǎn)P，Q處的觀眾離點(diǎn)O處最遠(yuǎn)連接OP，在OAP中，由余弦定理可知，OP2OA2AP22OAAPcos400(40cos )222040cos 400(6cos22sin cos 1)400(3cos 2sin 24)800sin1 600.因?yàn)?，所以?dāng)2，即時(shí)，OP2取得最大值，(OP2)max8001 600，即(OP)max2020.同理，連接OQ，在OBQ中，(OQ)max2020.因?yàn)?02060，所以觀眾席內(nèi)的每一位觀眾到舞臺(tái)O處的距離都不超過(guò)

32、60米故對(duì)于任意的，上述設(shè)計(jì)方案均能符合要求3(2019無(wú)錫期末)我國(guó)堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧，確保至2020年農(nóng)村貧困人口實(shí)現(xiàn)脫貧現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶(hù)100家，他們均從事水果種植工作，2017年底該村平均每戶(hù)年純收入為1萬(wàn)元，扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專(zhuān)家對(duì)水果進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶(hù)從事水果包裝、銷(xiāo)售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)從2018年初開(kāi)始，若該村抽出5x戶(hù)(xZ，1x9)從事水果包裝、銷(xiāo)售工作經(jīng)測(cè)算，剩下從事水果種植農(nóng)戶(hù)的年純收入每戶(hù)平均比上一年提高，而從事包裝、銷(xiāo)售農(nóng)戶(hù)的年純收入每戶(hù)平均為萬(wàn)元(參考數(shù)據(jù)：1.131.331

33、，1.1531.521，1.231.728)(1)至2020年底，為使從事水果種植的農(nóng)戶(hù)能實(shí)現(xiàn)脫貧(每戶(hù)年均純收入不低于1.6萬(wàn))，則至少應(yīng)抽出多少戶(hù)從事包裝、銷(xiāo)售工作？(2)至2018年底，該村每戶(hù)年均純收入能否達(dá)到1.35萬(wàn)元？若能，請(qǐng)求出從事包裝、銷(xiāo)售工作的戶(hù)數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)由題意得11.6，5x1005x，xZ，1x10.函數(shù)y在x1，9上單調(diào)遞增，由數(shù)據(jù)知，1.1531.5211.6，所以0.2，得x4，則5x20.答：至少抽出20戶(hù)從事包裝、銷(xiāo)售工作(2)假設(shè)該村每戶(hù)年均純收入能達(dá)到1.35萬(wàn)元，由題意得，不等式1.35有正整數(shù)解，化簡(jiǎn)整理得3x230x700，所以

34、x5.因?yàn)?4，且xZ，所以1x51，即4x6.答：至2018年底，該村每戶(hù)年均純收入能達(dá)到1.35萬(wàn)元，此時(shí)從事包裝、銷(xiāo)售工作的農(nóng)戶(hù)數(shù)為20戶(hù)，25戶(hù)或30戶(hù)4(2019蘇州期末)如圖，長(zhǎng)途車(chē)站P與地鐵站O的直線(xiàn)距離為 千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測(cè)量，l1，l2的夾角為，OP與l1的夾角滿(mǎn)足tan .現(xiàn)要經(jīng)過(guò)P修一條直路分別與道路l1，l2交于點(diǎn)A，B，并分別在A，B處設(shè)立公共自行車(chē)停放點(diǎn)(1)已知修建道路PA，PB的價(jià)格分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價(jià)相等，求此時(shí)點(diǎn)A，B之間的距離；(2)考慮環(huán)境因素，需要對(duì)OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修價(jià)

35、格分別為n元/千米和2n元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定A，B點(diǎn)的位置解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線(xiàn)OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?0)，又點(diǎn)B在射線(xiàn)yx(x0) 上，所以可設(shè)B(b，b)(b0)，由2，得所以所以A，B(3，3)，AB.答：A，B之間的距離為千米(2)法一：設(shè)兩段道路的翻修總價(jià)為S，則SnOA2nOB(OA2OB)n，設(shè)yOA2OB，要使S最小，需y最小當(dāng)ABx軸時(shí)，A(2，0)，這時(shí)OA2，OB2，所以yOA2OB2810.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為yk(x2)1(k0且k1)令y0，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，所以O(shè)A2，令xy，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，因?yàn)?

36、0且0，所以k1，此時(shí)yOA2OB2，y，當(dāng)k0時(shí)，y在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，0)上單調(diào)遞增，所以yminy|k191時(shí)，y2101010.綜上所述，要使OA，OB段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn)千米處法二：如圖，作PMOA交OB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)Q，作PNOB交OA于點(diǎn)N，因?yàn)镻(2，1)，所以O(shè)Q1，又BOQ，所以QM1，OM，所以PM1，PNOM，由PMOA，PNOB，得，所以1，設(shè)兩段道路的翻修總價(jià)為S，則SnOA2nOB(OA2OB)n，設(shè)yOA2OB，要使S最小，需y最小yOA2OB(OA2OB)59，當(dāng)且僅當(dāng)OAOB時(shí)取等號(hào)，此時(shí)OA3，OB.答：要使OA，OB段道路的翻修總價(jià)最少，A位于距O點(diǎn)3千米處，B位于距O點(diǎn) 千米處23