2022年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題02 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點難點突破 專題02 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理 【2019年高考考綱解讀】 (1)函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級要求，是重要題型 ； (2)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點，要求都是B級； (3)冪函數(shù)是A級要求，不是熱點題型 ，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡單冪函數(shù)的性質(zhì)。 【重點、難點剖析】 1．函數(shù)及其圖象 (1)定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題時務(wù)必須“定義域優(yōu)先”． (2)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換

2、有平移變換、伸縮變換和對稱變換． 2．函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則； (2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性； (3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其周期T＝ka(k∈Z)的絕對值． 3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1

3、)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)； (2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)； (3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)； (4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)． 4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) (1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)； (2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0和α<0兩種情況． 5．函數(shù)圖象的應(yīng)用 函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實質(zhì)是相同的，在解題時經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)

4、問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用. 【題型示例】 題型一、函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 【例1】 (2018·全國Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 答案　C 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x

5、＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)． 由f(x)為奇函數(shù)且定義域為R得f(0)＝0， 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故選C. 【2017北京，理5】已知函數(shù)，則 （A

6、）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】A 【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù)，故選A. 【舉一反三】【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，，則= . 【答案】-2 【舉一反三】(1)(2015·重慶卷)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是(　　) A．[－3,1] B．(－3,1) C．(－∞，

7、－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值為(　　) A．－3 B．－1或3 C．1 D．－3或1 (1)答案：D 解析：要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D 解析：f(1)＝lg 1＝0，所以f(a)＝0.當(dāng)a>0時，則lg a＝0，a＝1；當(dāng)a≤0時，則a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1. 【變式探究】 (1)(2014·江西)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為(　

8、　) A．(0,1)　　　　　　　 　B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)(2014·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的定義域求法以及不等式的解法．通過定義域的求法考查考生的運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化意識． (2)本題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，可結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分析求解． 【答案】(1)C　(2)(－∞，] 【解析】(1)將求函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題． 要使f(x)＝ln(x2－x)有意義，只需x2－x＞0， 解得x＞1或x＜0

9、. ∴函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)結(jié)合圖形，由f(f(a))≤2可得f(a)≥－2，解得a≤. 【方法技巧】 1．已知函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的真數(shù)x＞0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)y＝tan x中，x≠kπ＋(k∈Z)．如果f(x)是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合． 根據(jù)函數(shù)求定義域時：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(

10、x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． 2．函數(shù)的值域是由函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)如果定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同．函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時一定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域． 題型二、函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【例2】(2018·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) 答案　B 【方法技巧】 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域

11、、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是判斷函數(shù)圖象問題的基本方法． (2)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進(jìn)行篩選．要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值． 【2016高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)在的圖像大致為 （A）（B） （C）（D） 【答案】D 【解析】函數(shù)f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，因為，所以排除A、B 選項；當(dāng)時，有

12、一零點，設(shè)為，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)．故選D。 【感悟提升】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷類試題的基本方法．(2)研究函數(shù)時，注意結(jié)合圖象，在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用． 【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數(shù)y＝的圖象大致是(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是(　　) A.{3,4}

13、 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{2,3} (1)答案：C 解析：由已知3x－1≠0?x≠0，排除A； 又∵x<0時，3x－1<0，x3<0，∴y＝>0，故排除B； 又y′＝，當(dāng)3－xln 3<0時，x>>0，y′<0，所以D不符合．故選C. (2)答案：B 解析：＝表示(x1，f(x1))與原點連線的斜率； ＝＝…＝表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))與原點連線的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲線圖象上，故只需考慮經(jīng)過原點的直線與曲線的交點個數(shù)有幾種情況． 如圖所示

14、，數(shù)形結(jié)合可得，有2,3,4三種情況，故選B. 【變式探究】 (1)若函數(shù)f(x)＝(k－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x－k)的圖象是(　　) (2)(2014·山東)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞) 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的概念以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象． (2)本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求

15、解能力． 【答案】(1)C　(2)B 【解析】(1)由已知f(－x)＝－f(x)，則有(k－1)a－x－ax＝a－x－(k－1)ax，所以k＝2，則f(x)＝ax－a－x，又函數(shù)f(x)是減函數(shù)，則0

16、結(jié)合研究單調(diào)性、奇偶性； (3)觀察特殊值． 2．關(guān)于函數(shù)圖象應(yīng)用的解題思路主要有以下兩點 (1)方程f(x)＝g(x)解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)交點的個數(shù)； (2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集為函數(shù)y＝f(x)位于y＝g(x)圖象上方(下方)的那部分點的橫坐標(biāo)的取值范圍． 題型三　基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例3、 (2018·天津)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　c＝＝log23>log2e＝

17、a，即c>a. 又b＝ln 2＝<1b.所以c>a>b. 故選D. 【變式探究】 (2017·全國Ⅰ)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 答案　D 解析　令t＝2x＝3y＝5z， ∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1. 則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. ∴2x－3y＝－＝ ＝>0， ∴2x>3y. 又∵2x－5z＝－＝ ＝<0， ∴2x<5z， ∴3y<2x<5z.故選D. 【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必

18、考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及運(yùn)算能力． (2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有<0成立，則a的取值范圍是(　　) A. B．(1,2] C．(1,3) D. 答案　A 解析　由<0，得f(x)是減函數(shù)， 即得a∈，故選A. 【變式探究】對任意實數(shù)a，b定義運(yùn)算“Δ”：aΔb＝設(shè)f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝x2－6x在區(qū)間(m，m＋1)上均為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－1,2] B．

19、(0,3] C．[0,2] D．[1,3] 答案　C 題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例4、(2018·全國Ⅲ改編)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為________．(填序號) 答案?、? 解析　方法一　f′(x)＝－4x3＋2x，則f′(x)>0的解集為∪，此時f(x)單調(diào)遞增；f′(x)<0的解集為∪，此時f(x)單調(diào)遞減． 方法二　當(dāng)x＝1時，y＝2，所以排除①②.當(dāng)x＝0時，y＝2，而當(dāng)x＝時，y＝－＋＋2＝2?>2， 所以排除③. 【變式探究】【2017山東，理10】已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是 （A）

20、 （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當(dāng)時， ，在 上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B. 【變式探究】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【舉一反三】【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù). ①若，則的最

21、大值為______________； ②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是________. 【答案】，. 【解析】如圖，作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點是，由，知是函數(shù)的極小值點， ①當(dāng)時，，由圖象可知的最大值是； ②由圖象知當(dāng)時，有最大值；只有當(dāng)時，，無最大值，所以所求的取值范圍是． 【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力．(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【舉一反三】(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝_____

22、___. 答案：1 解析：∵ f(x)為偶函數(shù)，∴ f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴ －xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立， ∴ xln a＝0恒成立，∴ ln a＝0，即a＝1. 【變式探究】(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3　　　　B．－1 C．1　　　　D．3 (2)(2014·湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值

23、范圍為(　　) A. B. C. D. 【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉(zhuǎn)化思想和方程思想．求解此題的關(guān)鍵是用“－x”代替“x”，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1. (2)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力． 由圖象可得，當(dāng)x≤2a2時，f(x)max＝a2，當(dāng)x>2a2時，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又?x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1?a∈，故選B. 【方法技巧】 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要是指利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)來相互轉(zhuǎn)化解決相對綜合的問題．主要的解析：奇偶性主要轉(zhuǎn)化方向是f(－x)與f(x)的關(guān)系，圖象對稱問題；單調(diào)性主要轉(zhuǎn)化方向是最值、方程與不等式的解；周期性主要轉(zhuǎn)化方向是利用f(x)＝f(x＋a)把區(qū)間外的函數(shù)轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)，并結(jié)合單調(diào)性、奇偶性解決相關(guān)問題．