2022年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題02 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理

2022年高考數(shù)學(xué) 考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 專題02 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理【2019年高考考綱解讀】(1)函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級(jí)要求，是重要題型 ；(2)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點(diǎn)，要求都是B級(jí)；(3)冪函數(shù)是A級(jí)要求，不是熱點(diǎn)題型 ，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡單冪函數(shù)的性質(zhì)。【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1函數(shù)及其圖象(1)定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的三要素，是一個(gè)整體，研究函數(shù)問題時(shí)務(wù)必須“定義域優(yōu)先”(2)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換2函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號(hào)和下結(jié)論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則；(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；(3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)若函數(shù)滿足f(ax)f(x)(a不等于0)，則其周期Tka(kZ)的絕對(duì)值3求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)；(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)4指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1和a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)；(2)冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)>0和<0兩種情況5函數(shù)圖象的應(yīng)用函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化在解決函數(shù)問題時(shí)，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時(shí)，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用.【題型示例】題型一、函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】 (2018·全國)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50 B0 C2 D50答案C解析f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)0×12f(49)f(50)f(1)f(2)202.故選C.【2017北京，理5】已知函數(shù)，則（A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù)，故選A.【舉一反三】【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，則= .【答案】-2【舉一反三】(1)(2015·重慶卷)函數(shù)f(x)log2(x22x3)的定義域是()A3,1B(3,1)C(，31，)D(，3)(1，)(2)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值為()A3 B1或3C1 D3或1(1)答案：D解析：要使函數(shù)有意義，只需x22x3>0，即(x3)(x1)>0，解得x<3或x>1.故函數(shù)的定義域?yàn)?，3)(1，)(2)答案：D解析：f(1)lg 10，所以f(a)0.當(dāng)a>0時(shí)，則lg a0，a1；當(dāng)a0時(shí)，則a30，a3.所以a3或1.【變式探究】 (1)(2014·江西)函數(shù)f(x)ln(x2x)的定義域?yàn)?)A(0,1) B0,1C(，0)(1，) D(，01，)(2)(2014·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)若f(f(a)2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的定義域求法以及不等式的解法通過定義域的求法考查考生的運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化意識(shí)(2)本題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，可結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分析求解【答案】(1)C(2)(，【解析】(1)將求函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題要使f(x)ln(x2x)有意義，只需x2x0，解得x1或x0.函數(shù)f(x)ln(x2x)的定義域?yàn)?，0)(1，)(2)結(jié)合圖形，由f(f(a)2可得f(a)2，解得a.【方法技巧】1已知函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)的真數(shù)x0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)ytan x中，xk(kZ)如果f(x)是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的自變量的集合根據(jù)函數(shù)求定義域時(shí)：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍，b，其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa，b時(shí)的值域2函數(shù)的值域是由函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)如果定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時(shí)一定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域題型二、函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【例2】(2018·全國)函數(shù)f(x)的圖象大致為()答案B【方法技巧】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時(shí)也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是判斷函數(shù)圖象問題的基本方法(2)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會(huì)有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值【2016高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)在的圖像大致為（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函數(shù)f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以排除A、B 選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)故選D?！靖形蛱嵘?1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時(shí)也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷類試題的基本方法(2)研究函數(shù)時(shí)，注意結(jié)合圖象，在解方程和不等式等問題時(shí)，借助圖象能起到十分快捷的作用 【舉一反三】(1)(2015·四川卷)函數(shù)y的圖象大致是()(2)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n(n2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，xn，使得，則n的取值范圍是()A.3,4 B2,3,4C3,4,5 D2,3(1)答案：C解析：由已知3x10x0，排除A；又x<0時(shí)，3x1<0，x3<0，y>0，故排除B；又y，當(dāng)3xln 3<0時(shí)，x>>0，y<0，所以D不符合故選C.(2)答案：B解析：表示(x1，f(x1)與原點(diǎn)連線的斜率；表示(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(xn，f(xn)與原點(diǎn)連線的斜率相等，而(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(xn，f(xn)在曲線圖象上，故只需考慮經(jīng)過原點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾種情況如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得，有2,3,4三種情況，故選B.【變式探究】 (1)若函數(shù)f(x)(k1)·axax(a>0且a1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)loga(xk)的圖象是()(2)(2014·山東)已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C(1,2) D(2，)【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的概念以及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象(2)本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解能力【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由已知f(x)f(x)，則有(k1)axaxax(k1)ax，所以k2，則f(x)axax，又函數(shù)f(x)是減函數(shù)，則0<a<1，所以g(x)的圖象為C.(2)在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖所示，方程f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線ykx的斜率大于坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(2,1)連線的斜率且小于直線yx1的斜率時(shí)符合題意，故k1.【方法技巧】1關(guān)于判斷函數(shù)圖象的解題思路(1)確定定義域；(2)與解析式結(jié)合研究單調(diào)性、奇偶性；(3)觀察特殊值2關(guān)于函數(shù)圖象應(yīng)用的解題思路主要有以下兩點(diǎn)(1)方程f(x)g(x)解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)解集為函數(shù)yf(x)位于yg(x)圖象上方(下方)的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍 題型三基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3、 (2018·天津)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa>b>c Bb>a>cCc>b>a Dc>a>b答案D解析clog23>log2ea，即c>a.又bln 2<1<log2ea，即a>b.所以c>a>b.故選D.【變式探究】 (2017·全國)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A2x<3y<5z B5z<2x<3yC3y<5z<2x D3y<2x<5z答案D解析令t2x3y5z，x，y，z為正數(shù)，t>1.則xlog2t，同理，y，z.2x3y>0，2x>3y.又2x5z<0，2x<5z，3y<2x<5z.故選D.【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及運(yùn)算能力(2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性【變式探究】已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1x2，都有<0成立，則a的取值范圍是()A. B(1,2C(1,3) D.答案A解析由<0，得f(x)是減函數(shù)，即得a，故選A.【變式探究】對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“”：ab設(shè)f(x)3x1(1x)，若函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)x26x在區(qū)間(m，m1)上均為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A1,2 B(0,3C0,2 D1,3答案C題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4、(2018·全國改編)函數(shù)yx4x22的圖象大致為_(填序號(hào))答案解析方法一f(x)4x32x，則f(x)>0的解集為，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；f(x)<0的解集為，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減方法二當(dāng)x1時(shí)，y2，所以排除.當(dāng)x0時(shí)，y2，而當(dāng)x時(shí)，y22 >2，所以排除.【變式探究】【2017山東，理10】已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且 ，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， ，在 上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需 選B.【變式探究】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則，所以即，所以，故選C【舉一反三】【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù).若，則的最大值為_；若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】如圖，作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，由，知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由圖象可知的最大值是；由圖象知當(dāng)時(shí)，有最大值；只有當(dāng)時(shí)，無最大值，所以所求的取值范圍是【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力(2)比較數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性 【舉一反三】(2015·全國卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.答案：1解析： f(x)為偶函數(shù)， f(x)f(x)0恒成立， xln(x)xln(x)0恒成立， xln a0恒成立， ln a0，即a1.【變式探究】(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)()A3B1 C1D3(2)(2014·湖北)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉(zhuǎn)化思想和方程思想求解此題的關(guān)鍵是用“x”代替“x”，得出f(x)g(x)x3x21.(2)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力由圖象可得，當(dāng)x2a2時(shí)，f(x)maxa2，當(dāng)x>2a2時(shí)，令x3a2a2，得x4a2，又xR，f(x1)f(x)，可知4a2(2a2)1a，故選B.【方法技巧】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要是指利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)來相互轉(zhuǎn)化解決相對(duì)綜合的問題主要的解析：奇偶性主要轉(zhuǎn)化方向是f(x)與f(x)的關(guān)系，圖象對(duì)稱問題；單調(diào)性主要轉(zhuǎn)化方向是最值、方程與不等式的解；周期性主要轉(zhuǎn)化方向是利用f(x)f(xa)把區(qū)間外的函數(shù)轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)，并結(jié)合單調(diào)性、奇偶性解決相關(guān)問題