2022高考數(shù)學一輪復習 第十五章 坐標系與參數(shù)方程練習 理

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第十五章 坐標系與參數(shù)方程練習 理 解答過程 (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離d=. 當a≥-4時,d的最大值為.由題設(shè)得=,所以a=8; 當a<-4時,d的最大值為.由題設(shè)得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16 考綱解讀 考點 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預測熱度 1.坐標系與極坐標 能在

2、極坐標系中用極坐標表示點的位置,能通過極坐標和直角坐標的互化研究曲線性質(zhì) 掌握 2017課標全國Ⅱ,22; 2016課標全國Ⅱ,23; 2015課標Ⅰ,23;2015湖南,12; 2014安徽,4 解答題 ★★★ 2.參數(shù)方程 了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義,能借助于參數(shù)方程與普通方程的互化進一步研究曲線的性質(zhì) 掌握 2017課標全國Ⅲ,22;2017江蘇,21C; 2016課標全國Ⅲ,23 2015陜西,23;2014課標Ⅰ,23; 2014北京,3 解答題 ★★★ 分析解讀　坐標系與參數(shù)方程是高考數(shù)學的選考內(nèi)容,重點考查直線與圓的極坐標方程,極坐標與直角坐標

3、的互化;直線、圓與橢圓的參數(shù)方程以及參數(shù)方程與普通方程的互化.本章在高考中以極坐標方程(參數(shù)方程)為載體,考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,分值約為10分,屬中檔題. 五年高考 考點一　坐標系與極坐標 1.(2017北京,11,5分)在極坐標系中,點A在圓ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,點P的坐標為(1,0),則|AP|的最小值為　.? 答案　1 2.(2017天津,11,5分)在極坐標系中,直線4ρcos+1=0與圓ρ=2sin θ的公共點的個數(shù)為　　　　.? 答案　2 3.(2017課標全國Ⅱ,22,10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正

4、半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程; (2)設(shè)點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解析　(1)設(shè)P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0).由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4c

5、os α,于是△OAB面積S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α·=2≤2+. 當α=-時,S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 4.(2016課標全國Ⅱ,23,10分)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率. 解析　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程

6、為θ=α(ρ∈R).(4分) 設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分) |AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分) 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分) 所以l的斜率為或-.(10分) 5.(2015課標Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求C1,C2的極坐標方程; (2)若直線C3的極坐

7、標方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積. 解析　(1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的極坐標方程為ρcos θ=-2,C2的極坐標方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分) (2)將θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=. 由于C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為.(10分) 教師用書專用(6—21) 6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.已知

8、直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.2 C. D.2 答案　D 7.(2014江西,11(2),5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,則線段y=1-x(0≤x≤1)的極坐標方程為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ 答案　A 8.(2013安徽,7,5分)在極

9、坐標系中,圓ρ=2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2 C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1 答案　B 9.(2016北京,11,5分)在極坐標系中,直線ρcos θ-ρsin θ-1=0與圓ρ=2cos θ交于A,B兩點,則|AB|=　.? 答案　2 10.(2015湖南,12,5分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,則曲線C的直角坐標方程為　　　　　　.? 答案　x

10、2+y2-2y=0 11.(2015廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點的直角坐標為　　　　.? 答案　(2,-4) 12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(α為參數(shù))交于A,B兩點,且 |AB|=2,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則直線l的極坐標方程是　　　　　　　.? 答案　ρcos=1 13.(2014重慶,15,5分)已知直線

11、l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),則直線l與曲線C的公共點的極徑ρ=　　　　.? 答案　 14.(2014廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,則曲線C1和C2交點的直角坐標為　　　　.? 答案　(1,1) 15.(2014天津,13,5分)在以O(shè)為極點的極坐標系中,圓ρ=4sin θ和直線ρsin θ=a相交

12、于A,B兩點.若△AOB是等邊三角形,則a的值為　　　　.? 答案　3 16.(2013北京,9,5分)在極坐標系中,點到直線ρsin θ=2的距離等于　　　　.? 答案　1 17.(2013湖北,16,5分)(選修4—4:坐標系與參數(shù)方程) 在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),a>b>0),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsin=m(m為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為　　　　.? 答案　 18.(2013廣東,14,5分)(坐

13、標系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l.以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則l的極坐標方程為　　　　　　　　.? 答案　ρcos θ+ρsin θ=2 19.(2014遼寧,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程. 解析　(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點,在已

14、知變換下變?yōu)镃上點(x,y),依題意,得 由+=1得x2+=1,即曲線C的方程為x2+=1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標為,所求直線斜率為k=,于是所求直線方程為y-1=, 化為極坐標方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=. 20.(2013課標全國Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程; (2)

15、求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π). 解析　(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的極坐標方程為ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0. 由 解得或 所以C1與C2交點的極坐標分別為,. 21.(2013遼寧,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直

16、線C2的極坐標方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2. (1)求C1與C2交點的極坐標; (2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)),求a,b的值. 解析　(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4, 直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標為,.(6分) 注:極坐標系下點的表示不唯一. (2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3). 故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0. 由參數(shù)方程可得y=x-+1,所以 解得a=-1,b=2.(10分) 考點二

17、　參數(shù)方程 1.(2017江蘇,21C,10分)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值. 解析　直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設(shè)P(2s2,2s), 從而點P到直線l的距離d==. 當s=時,dmin=. 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. 2.(2016課標全國Ⅲ,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ

18、sin=2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程; (2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解析　(1)C1的普通方程為+y2=1. C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分) (2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標為(cos α,sin α).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)==.(8分) 當且僅當α=2kπ+(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.(10分) 3.(2015陜西,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為

19、(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=2sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 解析　(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ, 從而有x2+y2=2y, 所以x2+(y-)2=3. (2)設(shè)P,又C(0,), 則|PC|==, 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時,P點的直角坐標為(3,0). 4.(2014課標Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普

20、通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 解析　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為 d=|4cos θ+3sin θ-6|. 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|, 其中α為銳角,且tan α=. 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為. 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為. 5.(2013課標全國Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 已知動點P,Q都

21、在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 解析　(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點到坐標原點的距離d==(0<α<2π).當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點. 教師用書專用(6—13) 6.(2014北京,3,5分)曲線(θ為參數(shù))的對稱中心(

22、　　) A.在直線y=2x上 B.在直線y=-2x上 C.在直線y=x-1上 D.在直線y=x+1上 答案　B 7.(2014湖北,16,5分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2,則C1與C2交點的直角坐標為　　　　.? 答案　(,1) 8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,則常數(shù)a的值為　　　　.? 答案　3 9.(2013陜西,15C,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點的直線的傾

23、斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為　　　　　　　.? 答案　(θ為參數(shù)) 10.(2016江蘇,21C,10分)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解析　橢圓C的普通方程為x2+=1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得 +=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=. 11.(2014福建,21(2),7分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)

24、求直線l和圓C的普通方程; (2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍. 解析　(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因為直線l與圓C有公共點,故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4,解得-2≤a≤2. 12.(2014江蘇,21C,10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解析　將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8. 所以AB=|t1-t2|=8. 13.(2013福

25、建,21(2),7分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為ρcos=a,且點A在直線l上. (1)求a的值及直線l的直角坐標方程; (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系. 解析　(1)由點A在直線ρcos=a上,可得a=.所以直線l的方程可化為ρcos θ+ρsin θ=2, 從而直線l的直角坐標方程為x+y-2=0. (2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1, 所以圓C的圓心為(1,0),半徑r=1, 因為圓心C到直線l的距離d

26、==<1, 所以直線l與圓C相交. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　坐標系與極坐標 1.(2018四川南充模擬,22)在極坐標系中,已知直線l的極坐標方程為ρsin=1,圓C的圓心是C,半徑為1,求: (1)圓C的極坐標方程; (2)直線l被圓C所截得的弦長. 解析　(1)因為圓C的圓心是C,半徑為1, 所以轉(zhuǎn)化成直角坐標為C,半徑為1, 所以圓的方程為+=1, 轉(zhuǎn)化成極坐標方程為ρ2-ρcos θ-ρsin θ=0. (2)已知直線l的極坐標方程為ρsin=1, 所以ρ=1, 即x+y-=0. 直線l的方程為x+y-=0,圓心C滿足直

27、線的方程,所以直線經(jīng)過圓心, 所以直線l被圓C所截得的弦為圓的直徑. 由于圓的半徑為1,所以所截得的弦長為2. 2.(2018四川德陽模擬,22)已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cos θ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)). (1)將曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程,將直線l的參數(shù)方程化成普通方程; (2)當m=0時,直線l與曲線C異于原點O的交點為A,直線ρ=-與曲線C異于原點O的交點為B,求三角形AOB的面積. 解析　(1)曲線C的極坐標方程是ρ=4cos θ. 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x2+y2=4x. 直線l的參數(shù)方程為(t

28、為參數(shù)), 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為y=x-m. (2)當m=0時,A,B, 所以S△AOB=×2×2sin=+1. 3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標方程; (2)已知圓C與x軸交于A,B兩點,直線l:y=2x關(guān)于點M(0,m)(m≠0)對稱的直線為l',若直線l'上存在點P使得∠APB=90°,求實數(shù)m的最大值. 解析　(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,故x2+y2-4x=0,即圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. (2

29、)l:y=2x關(guān)于點M(0,m)的對稱直線l'的方程為y=2x+2m,易知AB為圓C的直徑,故直線l'上存在點P使得∠APB=90°的充要條件是直線l'與圓C有公共點,故≤2,于是,實數(shù)m的最大值為-2. 4.(人教A選4—4,一,1-3,5,變式)在極坐標系中,曲線C:ρ=4acos θ(a>0),直線l:ρcos=4,C與l有且只有一個公共點. (1)求a的值; (2)若O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值. 解析　(1)曲線C的直角坐標方程為(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲線C表示以(2a,0)為圓心,2a為半徑的圓. l的直角

30、坐標方程為x+y-8=0. 由題意知直線l與圓C相切,則=2a,解得a=(舍負). (2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+,則|OA|+|OB|=cos θ+cos=8cos θ-sin θ=cos, 所以當θ=-時,|OA|+|OB|取得最大值,為. 考點二　參數(shù)方程 5.(2018四川達州模擬,22)在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程是ρ2-6ρcos θ+1=0,l與C相交于A、B兩點. (1)求l的普通方程和C的直角坐標方程; (2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值. 解析

31、　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x-y-1=0. 曲線C的極坐標方程是ρ2-6ρcos θ+1=0, 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x2+y2-6x+1=0. (2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A點對應(yīng)的參數(shù)為t1,B點對應(yīng)的參數(shù)為t2, 則|MA|·|MB|=|t1·t2|=2. 6.(2018廣東茂名模擬,22)在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=asin θ(a≠0). (1)求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程;

32、 (2)設(shè)直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍,求a的值. 解析　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,可得4x+3y-8=0. 由圓C的極坐標方程為ρ=asin θ(a≠0),可得ρ2=aρsin θ,根據(jù)ρsin θ=y,ρ2=x2+y2, 可得圓C的直角坐標方程為x2+y2-ay=0, 即x2+=. (2)由(1)可知圓C的圓心為,半徑r=, 直線方程為4x+3y-8=0, 圓心到直線l的距離d==, 直線l截圓C的弦長為=2, 解得a=32或a=, 故得直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍時,a的值為32或. 7.(2017河北石家莊二中3月模擬

33、,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別是(t是參數(shù))和(φ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程; (2)射線OM:θ=α與曲線C1的交點為O,P,與曲線C2的交點為O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值. 解析　(1)C1的普通方程為y2=4x,C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (2)由(1)可得C1的極坐標方程為ρsin2θ=4cos θ,與直線θ=α聯(lián)立可得:ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sin α. 所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上單調(diào)遞減,所以(|

34、OP|·|OQ|)max==8. B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:40分　時間:35分鐘) 解答題(共40分) 1.(2018遼寧鞍山一模,22)在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C1:+=1,以平面直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.已知直線l:ρ(2cos θ-sin θ)=6. (1)試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C1的參數(shù)方程; (2)在曲線C1上求一點P,使點P到直線l的距離最大,并求出此最大值. 解析　(1)曲線C1:+=1, 設(shè)θ為參數(shù),令x=cos θ,y=2sin θ, 則曲線C

35、1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 又直線l:ρ(2cos θ-sin θ)=6, 即2ρcos θ-ρsin θ-6=0, 化為直角坐標方程是2x-y-6=0. (2)設(shè)P(cos θ,2sin θ), 則P到直線l的距離d= =, ∴cos=-1,即P時, 點P到直線l的距離最大,最大值為=2. 2.(2018四川綿陽模擬,22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C的極坐標方程; (2)設(shè)l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求△AOB的面積. 解析　(

36、1)∵曲線C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)), ∴將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25, 即x2+y2-6x-8y=0.(2分) ∴C的極坐標方程為ρ=6cos θ+8sin θ.(4分) (2)把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3, ∴A.(6分) 把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4, ∴B.(8分) ∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB =×(4+3)×(3+4)sin=12+.(10分) 3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標原點為極點,x軸的正半軸

37、為極軸的極坐標系中,圓C的方程為ρ=4cos θ. (1)求l的普通方程和圓C的直角坐標方程; (2)當φ∈(0,π)時,l與C相交于P,Q兩點,求|PQ|的最小值. 解析　(1)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)), 消去參數(shù)t,得(x-3)sin φ-(y-1)cos φ=0, 即直線l的普通方程為xsin φ-ycos φ+cos φ-3sin φ=0. 由圓C的極坐標方程ρ=4cos θ,得ρ2-4ρcos θ=0(*). 將代入(*)得,x2+y2-4x=0. 即圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4. (2)將直線l的參數(shù)方程代入(x-2)2+y2=4, 得t2+

38、2(cos φ+sin φ)t-2=0. 設(shè)P,Q兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-2(cos φ+sin φ),t1t2=-2. 所以|PQ|=|t1-t2| = =2 =2, 因為φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π), 所以當φ=,即sin 2φ=-1時,|PQ|取得最小值2. 4.(2017河南洛陽一模,22)在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. (1)求圓C的普通方程; (2)直線l的極坐標方程是2ρsin =5,射線OM:θ=與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.

39、 解析　(1)因為圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),所以圓心C的坐標為(0,2),半徑為2,圓C的普通方程為x2+(y-2)2=4. (2)將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+(y-2)2=4, 得圓C的極坐標方程為ρ=4sin θ. 設(shè)P(ρ1,θ1),則由解得ρ1=2,θ1=. 設(shè)Q(ρ2,θ2),則由解得ρ2=5,θ2=. 所以|PQ|=3. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　極坐標方程與直角坐標方程的互化方法 1.(2018四川德陽模擬,22)已知極坐標系的極點為平面直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,曲線C的

40、參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線l過點(-1,0),且斜率為,射線OM的極坐標方程為θ=. (1)求曲線C和直線l的極坐標方程; (2)已知射線OM與曲線C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長. 解析　(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), ∴曲線C的普通方程為(x+1)2+(y-1)2=2, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0, 即曲線C的極坐標方程為ρ=2sin. ∵直線l過點(-1,0),且斜率為, ∴直線l的方程為y=(x+1), ∴直線l的極坐標方程為ρcos θ-2ρsin θ+1=0. (2)當θ=時,

41、|OP|=2sin=2,|OQ|==, 故線段PQ的長為2-=. 2.(2018四川涼山州模擬,22)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=6sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)若點P(1,2),設(shè)圓C與直線l交于點A,B,求證:|PA|×|PB|為定值. 解析　(1)圓C的方程為ρ=6sin θ, 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x2+y2-6y=0. (2)證明:點P(1,2),圓C與直線l交于點A,B, 把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2

42、-6y=0中, 整理得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,設(shè)t1和t2分別為A和B對應(yīng)的參數(shù),則t1·t2=-7(定值), 故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7為定值. 3.(2017山西太原一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為其中φ為參數(shù),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(均異于原點O). (1)求曲線C1,C2的極坐標方程; (2)當0<α<時,求|OA|2+|OB|2的取值范圍. 解析　(1)C1的普通方程為+y2=1, C1的極坐標方程為

43、ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0, C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (2)聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標方程得|OA|2=, 聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標方程得|OB|2=4sin2α, 則|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4. 令t=1+sin2α,則|OA|2+|OB|2=+4t-4, 當0<α<時,t∈(1,2). 設(shè)f(t)=+4t-4, 易得f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增, ∴|OA|2+|OB|2∈(2,5). 方法2　參數(shù)方程與普通方程的互化方法 4.(2018湖北荊州一模,22)在直角坐標系xOy中,曲

44、線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (1)求曲線C的普通方程; (2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的方程為ρsin+=0,已知直線l與曲線C相交于A、B兩點,求|AB|. 解析　(1)曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), sin α=,cos α=, 普通方程為+=1, 化簡得x2+y2=2. (2)由ρsin+=0, 知ρ(cos θ-sin θ)+=0,化為普通方程為x-y+=0, 圓心到直線l的距離d=, 由垂徑定理得|AB|=. 5.(2018河南鄭州質(zhì)檢,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為

45、極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρsin=. (1)求曲線C的普通方程和直線l的傾斜角; (2)設(shè)點P(0,2),l和C交于A,B兩點,求|PA|+|PB|. 解析　(1)由(α為參數(shù))消去參數(shù)α,得+y2=1,即曲線C的普通方程為+y2=1, 由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,① 將代入①得y=x+2, 所以直線l的傾斜角為. (2)由(1)知,點P(0,2)在直線l上,可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 即(t為參數(shù)),將其代入+y2=1并化簡得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0. 設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t

46、2, 則t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0, 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=. 6.(2017湖南長郡中學六模,22)已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(θ為參數(shù)). (1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線; (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=,Q為C2上的動點,求PQ的中點M到直線C3:(t為參數(shù))距離的最小值. 解析　(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1, C1表示圓心是(-4,3),半徑是1的圓,C2表示中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓. (2)當t=時,P(-4,4),又Q(8cos θ,3sin θ),故M, 又C3的普通方程為x-2y-7=0,則M到C3的距離d=|4cos θ-3sin θ-13|=|3sin θ-4cos θ+13|=|5(sin θ-φ)+13|其中φ滿足tan φ=,所以d的最小值為.