2022高考數(shù)學一輪復習 第十五章 坐標系與參數(shù)方程練習 理

2022高考數(shù)學一輪復習 第十五章 坐標系與參數(shù)方程練習 理解答過程(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點坐標為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos ,sin )到l的距離d=.當a-4時,d的最大值為.由題設得=,所以a=8;當a<-4時,d的最大值為.由題設得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16考綱解讀考點內容解讀要求高考示例?？碱}型預測熱度1.坐標系與極坐標能在極坐標系中用極坐標表示點的位置,能通過極坐標和直角坐標的互化研究曲線性質掌握2017課標全國,22;2016課標全國,23;2015課標,23;2015湖南,12;2014安徽,4解答題2.參數(shù)方程了解參數(shù)方程及參數(shù)的意義,能借助于參數(shù)方程與普通方程的互化進一步研究曲線的性質掌握2017課標全國,22;2017江蘇,21C;2016課標全國,232015陜西,23;2014課標,23;2014北京,3解答題分析解讀坐標系與參數(shù)方程是高考數(shù)學的選考內容,重點考查直線與圓的極坐標方程,極坐標與直角坐標的互化;直線、圓與橢圓的參數(shù)方程以及參數(shù)方程與普通方程的互化.本章在高考中以極坐標方程(參數(shù)方程)為載體,考查直線與圓、圓錐曲線的位置關系等知識,分值約為10分,屬中檔題.五年高考考點一坐標系與極坐標1.(2017北京,11,5分)在極坐標系中,點A在圓2-2cos -4sin +4=0上,點P的坐標為(1,0),則|AP|的最小值為. 答案12.(2017天津,11,5分)在極坐標系中,直線4cos+1=0與圓=2sin 的公共點的個數(shù)為. 答案23.(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設點A的極坐標為,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.解析(1)設P的極坐標為(,)(>0),M的極坐標為(1,)(1>0).由題設知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程=4cos (>0).因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設點B的極坐標為(B,)(B>0).由題設知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面積S=|OA|·B·sinAOB=4cos ·=22+.當=-時,S取得最大值2+.所以OAB面積的最大值為2+.4.(2016課標全國,23,10分)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圓C的極坐標方程2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為=(R).(4分)設A,B所對應的極徑分別為1,2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.(6分)|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =±.(9分)所以l的斜率為或-.(10分)5.(2015課標,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為=(R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.解析(1)因為x=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標方程為cos =-2,C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)將=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|=.由于C2的半徑為1,所以C2MN的面積為.(10分)教師用書專用(621)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是=4cos ,則直線l被圓C截得的弦長為() A.B.2C.D.2答案D7.(2014江西,11(2),5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,則線段y=1-x(0x1)的極坐標方程為() A.=,0B.=,0C.=cos +sin ,0D.=cos +sin ,0答案A8.(2013安徽,7,5分)在極坐標系中,圓=2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A.=0(R)和cos =2B.=(R)和cos =2C.=(R)和cos =1D.=0(R)和cos =1答案B9.(2016北京,11,5分)在極坐標系中,直線cos -sin -1=0與圓=2cos 交于A,B兩點,則|AB|=. 答案210.(2015湖南,12,5分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為=2sin ,則曲線C的直角坐標方程為. 答案x2+y2-2y=011.(2015廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為(cos +sin )=-2,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點的直角坐標為. 答案(2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(為參數(shù))交于A,B兩點,且|AB|=2,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則直線l的極坐標方程是. 答案cos=113.(2014重慶,15,5分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為sin2-4cos =0(0,0<2),則直線l與曲線C的公共點的極徑=. 答案14.(2014廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)在極坐標系中,曲線C1和C2的方程分別為sin2=cos 和sin =1.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,則曲線C1和C2交點的直角坐標為. 答案(1,1)15.(2014天津,13,5分)在以O為極點的極坐標系中,圓=4sin 和直線sin =a相交于A,B兩點.若AOB是等邊三角形,則a的值為. 答案316.(2013北京,9,5分)在極坐標系中,點到直線sin =2的距離等于. 答案117.(2013湖北,16,5分)(選修44:坐標系與參數(shù)方程)在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),a>b>0),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為sin=m(m為非零常數(shù))與=b.若直線l經過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為. 答案18.(2013廣東,14,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l.以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則l的極坐標方程為. 答案cos +sin =219.(2014遼寧,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程;(2)設直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.解析(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)镃上點(x,y),依題意,得由+=1得x2+=1,即曲線C的方程為x2+=1.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)由解得或不妨設P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點坐標為,所求直線斜率為k=,于是所求直線方程為y-1=,化為極坐標方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.20.(2013課標全國,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為=2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;(2)求C1與C2交點的極坐標(0,0<2).解析(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.將代入x2+y2-8x-10y+16=0得2-8cos -10sin +16=0.所以C1的極坐標方程為2-8cos -10sin +16=0.(2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為,.21.(2013遼寧,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直線C2的極坐標方程分別為=4sin ,cos=2.(1)求C1與C2交點的極坐標;(2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù)),求a,b的值.解析(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0.解得所以C1與C2交點的極坐標為,.(6分)注:極坐標系下點的表示不唯一.(2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3).故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考點二參數(shù)方程1.(2017江蘇,21C,10分)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.解析直線l的普通方程為x-2y+8=0.因為點P在曲線C上,設P(2s2,2s),從而點P到直線l的距離d=.當s=時,dmin=.因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值.2.(2016課標全國,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin=2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設點P的直角坐標為(cos ,sin ).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當且僅當=2k+(kZ)時,d()取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.(10分)3.(2015陜西,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設P,又C(0,),則|PC|=,故當t=0時,|PC|取得最小值,此時,P點的直角坐標為(3,0).4.(2014課標,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點P(2cos ,3sin )到l的距離為d=|4cos +3sin -6|.則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當sin(+)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.當sin(+)=1時,|PA|取得最小值,最小值為.5.(2013課標全國,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應參數(shù)分別為t=與t=2(0<<2),M為PQ的中點.(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.解析(1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù),0<<2).(2)M點到坐標原點的距離d=(0<<2).當=時,d=0,故M的軌跡過坐標原點.教師用書專用(613)6.(2014北京,3,5分)曲線(為參數(shù))的對稱中心()A.在直線y=2x上B.在直線y=-2x上C.在直線y=x-1上D.在直線y=x+1上答案B7.(2014湖北,16,5分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是=2,則C1與C2交點的直角坐標為. 答案(,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(為參數(shù))的右頂點,則常數(shù)a的值為. 答案39.(2013陜西,15C,5分)(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為. 答案(為參數(shù))10.(2016江蘇,21C,10分)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長.解析橢圓C的普通方程為x2+=1.將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.11.(2014福建,21(2),7分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線l和圓C的普通方程;(2)若直線l與圓C有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0,圓C的普通方程為x2+y2=16.(2)因為直線l與圓C有公共點,故圓C的圓心到直線l的距離d=4,解得-2a2.12.(2014江蘇,21C,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.解析將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=4x,得=4,解得t1=0,t2=-8.所以AB=|t1-t2|=8.13.(2013福建,21(2),7分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為cos=a,且點A在直線l上.(1)求a的值及直線l的直角坐標方程;(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關系.解析(1)由點A在直線cos=a上,可得a=.所以直線l的方程可化為cos +sin =2,從而直線l的直角坐標方程為x+y-2=0.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1,所以圓C的圓心為(1,0),半徑r=1,因為圓心C到直線l的距離d=<1,所以直線l與圓C相交.三年模擬A組20162018年模擬·基礎題組考點一坐標系與極坐標1.(2018四川南充模擬,22)在極坐標系中,已知直線l的極坐標方程為sin=1,圓C的圓心是C,半徑為1,求:(1)圓C的極坐標方程;(2)直線l被圓C所截得的弦長.解析(1)因為圓C的圓心是C,半徑為1,所以轉化成直角坐標為C,半徑為1,所以圓的方程為+=1,轉化成極坐標方程為2-cos -sin =0.(2)已知直線l的極坐標方程為sin=1,所以=1,即x+y-=0.直線l的方程為x+y-=0,圓心C滿足直線的方程,所以直線經過圓心,所以直線l被圓C所截得的弦為圓的直徑.由于圓的半徑為1,所以所截得的弦長為2.2.(2018四川德陽模擬,22)已知曲線C的極坐標方程是=4cos .以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)將曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程,將直線l的參數(shù)方程化成普通方程;(2)當m=0時,直線l與曲線C異于原點O的交點為A,直線=-與曲線C異于原點O的交點為B,求三角形AOB的面積.解析(1)曲線C的極坐標方程是=4cos .轉化為直角坐標方程為x2+y2=4x.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉化為直角坐標方程為y=x-m.(2)當m=0時,A,B,所以SAOB=×2×2sin=+1.3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=4cos .(1)求出圓C的直角坐標方程;(2)已知圓C與x軸交于A,B兩點,直線l:y=2x關于點M(0,m)(m0)對稱的直線為l',若直線l'上存在點P使得APB=90°,求實數(shù)m的最大值.解析(1)由=4cos 得2=4cos ,故x2+y2-4x=0,即圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.(2)l:y=2x關于點M(0,m)的對稱直線l'的方程為y=2x+2m,易知AB為圓C的直徑,故直線l'上存在點P使得APB=90°的充要條件是直線l'與圓C有公共點,故2,于是,實數(shù)m的最大值為-2.4.(人教A選44,一,1-3,5,變式)在極坐標系中,曲線C:=4acos (a>0),直線l:cos=4,C與l有且只有一個公共點.(1)求a的值;(2)若O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解析(1)曲線C的直角坐標方程為(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲線C表示以(2a,0)為圓心,2a為半徑的圓.l的直角坐標方程為x+y-8=0.由題意知直線l與圓C相切,則=2a,解得a=(舍負).(2)不妨設A的極角為,B的極角為+,則|OA|+|OB|=cos +cos=8cos -sin =cos,所以當=-時,|OA|+|OB|取得最大值,為.考點二參數(shù)方程5.(2018四川達州模擬,22)在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程是2-6cos +1=0,l與C相交于A、B兩點.(1)求l的普通方程和C的直角坐標方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉化為直角坐標方程為x-y-1=0.曲線C的極坐標方程是2-6cos +1=0,轉化為直角坐標方程為x2+y2-6x+1=0.(2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A點對應的參數(shù)為t1,B點對應的參數(shù)為t2,則|MA|·|MB|=|t1·t2|=2.6.(2018廣東茂名模擬,22)在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為=asin (a0).(1)求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程;(2)設直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍,求a的值.解析(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,可得4x+3y-8=0.由圓C的極坐標方程為=asin (a0),可得2=asin ,根據(jù)sin =y,2=x2+y2,可得圓C的直角坐標方程為x2+y2-ay=0,即x2+=.(2)由(1)可知圓C的圓心為,半徑r=,直線方程為4x+3y-8=0,圓心到直線l的距離d=,直線l截圓C的弦長為=2,解得a=32或a=,故得直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍時,a的值為32或.7.(2017河北石家莊二中3月模擬,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別是(t是參數(shù))和(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程;(2)射線OM:=與曲線C1的交點為O,P,與曲線C2的交點為O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.解析(1)C1的普通方程為y2=4x,C2的極坐標方程為=2sin .(2)由(1)可得C1的極坐標方程為sin2=4cos ,與直線=聯(lián)立可得:=,即OP=,同理可得OQ=2sin .所以|OP|·|OQ|=,令f()=,易知f()在上單調遞減,所以(|OP|·|OQ|)max=8.B組20162018年模擬·提升題組(滿分:40分時間:35分鐘)解答題(共40分)1.(2018遼寧鞍山一模,22)在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C1:+=1,以平面直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.已知直線l:(2cos -sin )=6.(1)試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C1的參數(shù)方程;(2)在曲線C1上求一點P,使點P到直線l的距離最大,并求出此最大值.解析(1)曲線C1:+=1,設為參數(shù),令x=cos ,y=2sin ,則曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).又直線l:(2cos -sin )=6,即2cos -sin -6=0,化為直角坐標方程是2x-y-6=0.(2)設P(cos ,2sin ),則P到直線l的距離d=,cos=-1,即P時,點P到直線l的距離最大,最大值為=2.2.(2018四川綿陽模擬,22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程;(2)設l1:=,l2:=,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求AOB的面積.解析(1)曲線C的參數(shù)方程是(為參數(shù)),將C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.(2分)C的極坐標方程為=6cos +8sin .(4分)(2)把=代入=6cos +8sin ,得1=4+3,A.(6分)把=代入=6cos +8sin ,得2=3+4,B.(8分)SAOB=12sinAOB=×(4+3)×(3+4)sin=12+.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,圓C的方程為=4cos .(1)求l的普通方程和圓C的直角坐標方程;(2)當(0,)時,l與C相交于P,Q兩點,求|PQ|的最小值.解析(1)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,得(x-3)sin -(y-1)cos =0,即直線l的普通方程為xsin -ycos +cos -3sin =0.由圓C的極坐標方程=4cos ,得2-4cos =0(*).將代入(*)得,x2+y2-4x=0.即圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.(2)將直線l的參數(shù)方程代入(x-2)2+y2=4,得t2+2(cos +sin )t-2=0.設P,Q兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-2(cos +sin ),t1t2=-2.所以|PQ|=|t1-t2|=2=2,因為(0,),所以2(0,2),所以當=,即sin 2=-1時,|PQ|取得最小值2.4.(2017河南洛陽一模,22)在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓C的普通方程;(2)直線l的極坐標方程是2sin =5,射線OM:=與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.解析(1)因為圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),所以圓心C的坐標為(0,2),半徑為2,圓C的普通方程為x2+(y-2)2=4.(2)將x=cos ,y=sin 代入x2+(y-2)2=4,得圓C的極坐標方程為=4sin .設P(1,1),則由解得1=2,1=.設Q(2,2),則由解得2=5,2=.所以|PQ|=3.C組20162018年模擬·方法題組方法1極坐標方程與直角坐標方程的互化方法1.(2018四川德陽模擬,22)已知極坐標系的極點為平面直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l過點(-1,0),且斜率為,射線OM的極坐標方程為=.(1)求曲線C和直線l的極坐標方程;(2)已知射線OM與曲線C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線C的普通方程為(x+1)2+(y-1)2=2,將x=cos ,y=sin 代入整理得+2cos -2sin =0,即曲線C的極坐標方程為=2sin.直線l過點(-1,0),且斜率為,直線l的方程為y=(x+1),直線l的極坐標方程為cos -2sin +1=0.(2)當=時,|OP|=2sin=2,|OQ|=,故線段PQ的長為2-=.2.(2018四川涼山州模擬,22)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,圓C的方程為=6sin .(1)求圓C的直角坐標方程;(2)若點P(1,2),設圓C與直線l交于點A,B,求證:|PA|×|PB|為定值.解析(1)圓C的方程為=6sin ,轉化為直角坐標方程為x2+y2-6y=0.(2)證明:點P(1,2),圓C與直線l交于點A,B,把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2-6y=0中,整理得t2+2(cos -sin )t-7=0,設t1和t2分別為A和B對應的參數(shù),則t1·t2=-7(定值),故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7為定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為其中為參數(shù),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l:=(0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(均異于原點O).(1)求曲線C1,C2的極坐標方程;(2)當0<<時,求|OA|2+|OB|2的取值范圍.解析(1)C1的普通方程為+y2=1,C1的極坐標方程為2cos2+22sin2-2=0,C2的極坐標方程為=2sin .(2)聯(lián)立=(0)與C1的極坐標方程得|OA|2=,聯(lián)立=(0)與C2的極坐標方程得|OB|2=4sin2,則|OA|2+|OB|2=+4sin2=+4(1+sin2)-4.令t=1+sin2,則|OA|2+|OB|2=+4t-4,當0<<時,t(1,2).設f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上單調遞增,|OA|2+|OB|2(2,5).方法2參數(shù)方程與普通方程的互化方法4.(2018湖北荊州一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程;(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的方程為sin+=0,已知直線l與曲線C相交于A、B兩點,求|AB|.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),sin =,cos =,普通方程為+=1,化簡得x2+y2=2.(2)由sin+=0,知(cos -sin )+=0,化為普通方程為x-y+=0,圓心到直線l的距離d=,由垂徑定理得|AB|=.5.(2018河南鄭州質檢,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為sin=.(1)求曲線C的普通方程和直線l的傾斜角;(2)設點P(0,2),l和C交于A,B兩點,求|PA|+|PB|.解析(1)由(為參數(shù))消去參數(shù),得+y2=1,即曲線C的普通方程為+y2=1,由sin=,得sin -cos =2,將代入得y=x+2,所以直線l的傾斜角為.(2)由(1)知,點P(0,2)在直線l上,可設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)),將其代入+y2=1并化簡得5t2+18t+27=0,=(18)2-4×5×27=108>0.設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=.6.(2017湖南長郡中學六模,22)已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(為參數(shù)).(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;(2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t=,Q為C2上的動點,求PQ的中點M到直線C3:(t為參數(shù))距離的最小值.解析(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,C1表示圓心是(-4,3),半徑是1的圓,C2表示中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.(2)當t=時,P(-4,4),又Q(8cos ,3sin ),故M,又C3的普通方程為x-2y-7=0,則M到C3的距離d=|4cos -3sin -13|=|3sin -4cos +13|=|5(sin -)+13|其中滿足tan =,所以d的最小值為.