2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理 求解不等式的方法 (1)對(duì)于一元二次不等式,應(yīng)先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集. (2)解簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解. (3)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的恰當(dāng)分類,關(guān)鍵是找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論的原因,確定好分類標(biāo)準(zhǔn),有理有據(jù)、層次清楚地求解. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018

2、·湖南衡陽一模)若a,b,c為實(shí)數(shù),且a D.a(chǎn)2>ab>b2 [解析] ∵c為實(shí)數(shù),∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此時(shí)ac2=bc2,故選項(xiàng)A不正確;-=,∵a0,ab>0,∴>0,即>,故選項(xiàng)B不正確;∵a0,∴a2>ab,又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,故選項(xiàng)D正確,故選D. [答案] D 2.(2018·福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若f(

3、2-x2)>f(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) [解析] 易知f(x)在R上是增函數(shù),∵f(2-x2)>f(x),∴2-x2>x,解得-20的解集是(  ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) [解析] 關(guān)于x的不等式

4、ax-b<0即ax0可化為 (x+1)(x-3)<0,解得-11時(shí)不等式x+≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,3] B.[3,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞) [解析] ∵x>1,∴x+=x-1++1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,所以最小值為3,∴a≤3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3].故選A. [答案] A [快速審題] (1)看到有

5、關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定,想到不等式的性質(zhì). (2)看到解不等式,想到求解不等式的方法步驟. (1)求解一元二次不等式的3步:第一步,二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);第二步,解對(duì)應(yīng)的一元二次方程;第三步,若有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則利用“大于在兩邊,小于夾中間”得不等式的解集. (2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法:①圖象法;②分離參數(shù)法;③更換主元法. 考點(diǎn)二 基本不等式的應(yīng)用 1.基本不等式:≥ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (3)應(yīng)用:兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí),它們的和有最小值;兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí),它們的積

6、有最大值. 2.幾個(gè)重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (2)ab≤2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (3)≥2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (4)+≥2(a,b同號(hào)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.下列結(jié)論中正確的是(  ) A.lgx+的最小值為2 B.+的最小值為2 C.的最小值為4 D.當(dāng)00,+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時(shí)取等號(hào);對(duì)于C,當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=,即sinx=2時(shí)取等號(hào)

7、,但sinx的最大值為1;對(duì)于D,x-在(0,2]上為增函數(shù),因此有最大值.故選B. [答案] B 2.(2018·吉林長(zhǎng)春二模)已知x>0,y>0,且x+y=2xy,則x+4y的最小值為(  ) A.4 B. C. D.5 [解析] 由x+y=2xy得+=2.由x>0,y>0,x+4y=(x+4y)=≥(5+4)=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,即x+4y的最小值為.故選C. [答案] C 3.(2018·海淀期末)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=4,則+的最小值為________. [解析] ∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴+=[(a+1)+(b+3)]=≥(2+2)

8、=,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3,即a=3,b=1時(shí)取等號(hào),∴+的最小值為. [答案]  4.(2018·河南洛陽一模)若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為________. [解析] 依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)椋?,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值為2. [答案] 2 [快速審題] 看到最值問題,想到“積定和最小”,“和定積最大”.  利用基本不等式求函數(shù)最值的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)形式:一般地,分子、分母有一個(gè)一次、一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù),特別適合用基本不等式求最值. (2)條件:利用基本不

9、等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. (3)方法:使用基本不等式時(shí),一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax+(ab>0)的形式,常用的方法是變量分離法和配湊法. 考點(diǎn)三 線性規(guī)劃問題 1.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by最值的確定方法 把線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by化為y=-x+,可知是直線ax+by=z在y軸上的截距,要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值. 2.常見的目標(biāo)函數(shù)類型 (1)截距型:形如z=ax+by,可以轉(zhuǎn)化為y=-

10、x+,利用直線在y軸上的截距大小確定目標(biāo)函數(shù)的最值; (2)斜率型:形如z=,表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(a,b)連線的斜率; (3)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(a,b)的距離的平方;形如z=|Ax+By+C|,表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的倍. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·天津卷)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為(  ) A.6 B.19 C.21 D.45 [解析] 由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示). 作出初始直線l0:3x

11、+5y=0,平移直線l0,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21,故選C. [答案] C 2.(2018·廣東肇慶二模)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為3,則實(shí)數(shù)b=(  ) A. B. C.1 D. [解析] 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示. 由z=2x+y得y=-2x+z, 平移初始直線y=-2x, 由圖可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=-2x+z的縱截距最小,此時(shí)z最小,為3, 即2x+y=3. 由解得即A, 又點(diǎn)A也在直線y=-x+b上,即=-+b,∴b=.故選A. [

12、答案] A 3.(2018·江西九江二模)實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件若z=的最大值為1,則z的最小值為(  ) A.- B.- C. D.- [解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)A(-3,1)兩點(diǎn)連線的斜率,當(dāng)取點(diǎn)B(a,2a+2)時(shí),z取得最大值1,故=1,解得a=2,則C(2,0).當(dāng)取點(diǎn)C(2,0)時(shí),z取得最小值,即zmin==-.故選D. [答案] D 4.設(shè)x,y滿足約束條件則z=(x+1)2+y2的取值范圍是________. [解析]  由解得即C. (x+1)2+y2的幾何意義是區(qū)域內(nèi)

13、的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(-1,0)間距離的平方. 由圖可知,點(diǎn)(-1,0)到直線AB:2x+y+1=0的距離最小,為=,故zmin=;點(diǎn)(-1,0)到點(diǎn)C的距離最大,故zmax=2+2=.所以z=(x+1)2+y2的取值范圍是. [答案]  [快速審題] (1)看到最優(yōu)解求參數(shù),想到由最值列方程(組)求解. (2)看到最優(yōu)解的個(gè)數(shù)不唯一,想到直線平行;看到形如z=(x-a)2+(y-b)2和形如z=,想到其幾何意義. (3)看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題,想到線性規(guī)劃問題,想到確定實(shí)際意義.  求目標(biāo)函數(shù)的最值問題的3步驟 (1)畫域,根據(jù)線性約束條件,畫出可行域; (2)

14、轉(zhuǎn)化,把所求目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如截距型,即線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式;如斜率型,即根據(jù)兩點(diǎn)連線的斜率公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)連線的斜率;平方型,即根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)的距離; (3)求值,結(jié)合圖形,利用函數(shù)的性質(zhì),確定最優(yōu)解,求得目標(biāo)函數(shù)的最值. 1.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},則A∩B=(  ) A. B. C. D. [解析] ∵x2-4x+3<0?(x-1)(x-3)<0?10?x>,∴B=, ∴A∩B==.故選D.

15、 [答案] D 2.(2018·北京卷)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則(  ) A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?A C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?A D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí),(2,1)?A [解析] 若(2,1)∈A,則有解得a>.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng),只有D說法正確.故選D. [答案] D 3.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則(  ) A.a(chǎn)+b

16、3>log0.21=0,b=log20.3ab, ∴ab

17、則z=3x+2y的最大值為________. [解析] 由x,y所滿足的約束條件畫出對(duì)應(yīng)的可行域(如圖中陰影部分所示). 作出初始直線l0:3x+2y=0,平移直線l0,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)時(shí),z取最大值,即zmax=3×2=6. [答案] 6 5.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為________. [解析] 由已知,得2a+=2a+2-3b≥2=2=2=,當(dāng)且僅當(dāng)2a=2-3b時(shí)等號(hào)成立, 由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1, 故當(dāng)a=-3,b=1時(shí),2a+取得最小值. [答案]  1.不等式作為高考

18、命題熱點(diǎn)內(nèi)容之一,多年來命題較穩(wěn)定,多以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查,題目多出現(xiàn)在第5~9或第13~15題的位置上,難度中等,直接考查時(shí)主要是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,關(guān)于不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在其工具作用上. 2.若不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其他知識(shí)交匯綜合命題,難度較大. 熱點(diǎn)課題3 求解不等式中參數(shù)范圍問題 [感悟體驗(yàn)] 1.(2018·合肥模擬)在區(qū)間(1,2)上不等式x2+mx+4>0有解,則m的取值范圍為(  ) A.m>-4 B.m<-4 C.m>-5 D.m<-5 [解析] 記f(x)=x2+mx+4,要使不等式

19、x2+mx+4>0在區(qū)間(1,2)上有解,需滿足f(1)>0或f(2)>0,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故選C. [答案] C 2.(2018·海淀模擬)當(dāng)0

20、a0,ab>0,故-=>0,即>,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;由a0,故ab>b2,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;由a0,即a2>ab,故-ab>-a2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;由a0,故--=<0,即-<-成立.故D項(xiàng)正確. 解法二(特殊值法):令a=-2,b=-1,則=->-1=,ab=2>1=b2,-ab=-2>-4=-a2,-=<1=-.故A,B,C項(xiàng)錯(cuò)誤,D正確. [答案

21、] D 2.已知a∈R,不等式≥1的解集為p,且-2?p,則a的取值范圍為(  ) A.(-3,+∞) B.(-3,2) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪[2,+∞) [解析] ∵-2?p,∴<1或-2+a=0,解得a≥2或a<-3. [答案] D 3.(2018·大連一模)設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是(  ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) [解析] 由題意得,f(1)=3,所以f(x)>f(1)=3,即f(x)>3,

22、如果x<0,則x+6>3,可得-33,可得x>3或0≤x<1. 綜上,不等式的解集為(-3,1)∪(3,+∞). 故選A. [答案] A 4.(2018·長(zhǎng)春第二次質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),則關(guān)于x的不等式>0的解集為(  ) A.(-2,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,2) C.(-∞,-2)∪(0,1) D.(-∞,1)∪(2,+∞) [解析] 關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),∴a<0,=-2,∴b=-2a,∴=.∵a<0,∴<0,解得x<0或1

23、 [答案] B 5.(2018·河南平頂山一模)若對(duì)任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)> C.a(chǎn)< D.a(chǎn)≤ [解析] 因?yàn)閷?duì)任意x>0,≤a恒成立, 所以對(duì)x∈(0,+∞),a≥max, 而對(duì)x∈(0,+∞),=≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立,∴a≥. [答案] A 6.(2018·江西師大附中摸底)若關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域,則其表示的區(qū)域面積為(  ) A.或 B.或 C.1或 D.1或 [解析] 由不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域,得k=0或1,當(dāng)k=0時(shí),表示區(qū)域的面積為

24、;當(dāng)k=1時(shí),表示區(qū)域的面積為,故選A. [答案] A 7.(2018·昆明質(zhì)檢)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為(  ) A.-4 B.6 C.10 D.17 [解析] 解法一(圖解法):已知約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分(包含邊界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,可知當(dāng)直線y=-x+過點(diǎn)B(3,0)時(shí),z取得最小值2×3+5×0=6. 解法二(界點(diǎn)定值法):由題意知,約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)分別為A(0,2),B(3,0),C(1,3).將A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z=2x+5

25、y,得z=10,6,17,故z的最小值為6. [答案] B 8.(2018·合肥一模)在關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù),則a的取值范圍是(  ) A.(-3,5) B.(-2,4) C.[-3,5] D.[-2,4] [解析] 關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化為(x-1)(x-a)<0.當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為?;當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為1

26、取值范圍是(  ) A. B. C.[2,4] D.(2,4] [解析] 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2). z===,則z的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)M所連直線的斜率. 可知kMA==,kMB==4,結(jié)合圖形可得≤z<4. 故z=的取值范圍是. [答案] B 10.(2018·四川資陽診斷)已知a>0,b>0,且2a+b=ab,則a+2b的最小值為(  ) A.5+2 B.8 C.5 D.9 [解析] 解法一:∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴a=>0,解得b>2. 則a

27、+2b=+2b=1++2(b-2)+4≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=3,a=3時(shí)等號(hào)成立,其最小值為9. 解法二:∵a>0,b>0,∴ab>0. ∵2a+b=ab,∴+=1, ∴(a+2b)=5++≥5+2 =5+4=9. 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立,又2a+b=ab,即a=3,b=3時(shí)等號(hào)成立,其最小值為9. [答案] D 11.(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足且z=x+y的最大值為6,則(x+5)2+y2的最小值為(  ) A.5 B.3 C. D. [解析] 如圖,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域, 由z=x+y,得y=-x+z,平移直線y=-x,由圖

28、可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=-x+z在y軸上的截距最大,此時(shí)z最大,為6,即x+y=6.由得A(3,3), ∵直線y=k過點(diǎn)A,∴k=3. (x+5)2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與D(-5,0)的距離的平方,由可行域可知,[(x+5)2+y2]min等于D(-5,0)到直線x+2y=0的距離的平方. 則(x+5)2+y2的最小值為2=5.故選A. [答案] A 12.(2018·廣東清遠(yuǎn)一中一模)若正數(shù)a,b滿足:+=1,則+的最小值為(  ) A.16 B.9 C.6 D.1 [解析] ∵正數(shù)a,b滿足+=1,∴a+b=ab,=1-

29、>0,=1->0,∴b>1,a>1,則+≥2=2=6,∴+的最小值為6,故選C. [答案] C 二、填空題 13.已知集合,則M∩N=________. [解析] 不等式<0等價(jià)于(x-2)(x-3)<0, 解得2

30、值,最大值為9. [答案] 9 15.(2018·安徽合肥一模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,銷售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí),B設(shè)備6小時(shí);生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí),B設(shè)備1小時(shí).A,B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí),若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出,則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為________千元. [解析] 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件,利潤(rùn)為z千元,則z=2x+y,作出表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線2x+y=0,平移該直線,當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過直線2x+3y=480與直線6x+y=960的交點(diǎn)(150,60)(滿足x∈N,y∈N)時(shí),z取得最大值,為360. [答案] 360 16.(2018·鄭州高三檢測(cè))若正數(shù)x,y滿足x2+3xy-1=0,則x+y的最小值是________. [解析] 對(duì)于x2+3xy-1=0可得y=,∴x+y=+≥2=(當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),等號(hào)成立),故x+y的最小值是. [答案] 

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