2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理
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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理 求解不等式的方法 (1)對于一元二次不等式,應(yīng)先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集. (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解. (3)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類,關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因,確定好分類標(biāo)準(zhǔn),有理有據(jù)、層次清楚地求解. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018
2、·湖南衡陽一模)若a,b,c為實(shí)數(shù),且a D.a(chǎn)2>ab>b2 [解析] ∵c為實(shí)數(shù),∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此時(shí)ac2=bc2,故選項(xiàng)A不正確;-=,∵a0,ab>0,∴>0,即>,故選項(xiàng)B不正確;∵a0,∴a2>ab,又∵ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,故選項(xiàng)D正確,故選D. [答案] D 2.(2018·福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若f(
3、2-x2)>f(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2) D.(-2,1)
[解析] 易知f(x)在R上是增函數(shù),∵f(2-x2)>f(x),∴2-x2>x,解得-2
4、ax-b<0即ax0可化為
(x+1)(x-3)<0,解得-1
5、關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定,想到不等式的性質(zhì). (2)看到解不等式,想到求解不等式的方法步驟. (1)求解一元二次不等式的3步:第一步,二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);第二步,解對應(yīng)的一元二次方程;第三步,若有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則利用“大于在兩邊,小于夾中間”得不等式的解集. (2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法:①圖象法;②分離參數(shù)法;③更換主元法. 考點(diǎn)二 基本不等式的應(yīng)用 1.基本不等式:≥ (1)基本不等式成立的條件:a>0,b>0. (2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. (3)應(yīng)用:兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí),它們的和有最小值;兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí),它們的積
6、有最大值.
2.幾個(gè)重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.
(2)ab≤2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.
(3)≥2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.
(4)+≥2(a,b同號),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.
[對點(diǎn)訓(xùn)練]
1.下列結(jié)論中正確的是( )
A.lgx+的最小值為2
B.+的最小值為2
C.的最小值為4
D.當(dāng)0
7、,但sinx的最大值為1;對于D,x-在(0,2]上為增函數(shù),因此有最大值.故選B. [答案] B 2.(2018·吉林長春二模)已知x>0,y>0,且x+y=2xy,則x+4y的最小值為( ) A.4 B. C. D.5 [解析] 由x+y=2xy得+=2.由x>0,y>0,x+4y=(x+4y)=≥(5+4)=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號成立,即x+4y的最小值為.故選C. [答案] C 3.(2018·海淀期末)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=4,則+的最小值為________. [解析] ∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴+=[(a+1)+(b+3)]=≥(2+2)
8、=,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3,即a=3,b=1時(shí)取等號,∴+的最小值為. [答案] 4.(2018·河南洛陽一模)若實(shí)數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為________. [解析] 依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)椋?,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值為2. [答案] 2 [快速審題] 看到最值問題,想到“積定和最小”,“和定積最大”. 利用基本不等式求函數(shù)最值的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)形式:一般地,分子、分母有一個(gè)一次、一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù),特別適合用基本不等式求最值. (2)條件:利用基本不
9、等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤. (3)方法:使用基本不等式時(shí),一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax+(ab>0)的形式,常用的方法是變量分離法和配湊法. 考點(diǎn)三 線性規(guī)劃問題 1.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by最值的確定方法 把線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by化為y=-x+,可知是直線ax+by=z在y軸上的截距,要根據(jù)b的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值. 2.常見的目標(biāo)函數(shù)類型 (1)截距型:形如z=ax+by,可以轉(zhuǎn)化為y=-
10、x+,利用直線在y軸上的截距大小確定目標(biāo)函數(shù)的最值; (2)斜率型:形如z=,表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(a,b)連線的斜率; (3)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(a,b)的距離的平方;形如z=|Ax+By+C|,表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的倍. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·天津卷)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為( ) A.6 B.19 C.21 D.45 [解析] 由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示). 作出初始直線l0:3x
11、+5y=0,平移直線l0,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21,故選C. [答案] C 2.(2018·廣東肇慶二模)已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為3,則實(shí)數(shù)b=( ) A. B. C.1 D. [解析] 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示. 由z=2x+y得y=-2x+z, 平移初始直線y=-2x, 由圖可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=-2x+z的縱截距最小,此時(shí)z最小,為3, 即2x+y=3. 由解得即A, 又點(diǎn)A也在直線y=-x+b上,即=-+b,∴b=.故選A. [
12、答案] A 3.(2018·江西九江二模)實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件若z=的最大值為1,則z的最小值為( ) A.- B.- C. D.- [解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)A(-3,1)兩點(diǎn)連線的斜率,當(dāng)取點(diǎn)B(a,2a+2)時(shí),z取得最大值1,故=1,解得a=2,則C(2,0).當(dāng)取點(diǎn)C(2,0)時(shí),z取得最小值,即zmin==-.故選D. [答案] D 4.設(shè)x,y滿足約束條件則z=(x+1)2+y2的取值范圍是________. [解析] 由解得即C. (x+1)2+y2的幾何意義是區(qū)域內(nèi)
13、的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(-1,0)間距離的平方. 由圖可知,點(diǎn)(-1,0)到直線AB:2x+y+1=0的距離最小,為=,故zmin=;點(diǎn)(-1,0)到點(diǎn)C的距離最大,故zmax=2+2=.所以z=(x+1)2+y2的取值范圍是. [答案] [快速審題] (1)看到最優(yōu)解求參數(shù),想到由最值列方程(組)求解. (2)看到最優(yōu)解的個(gè)數(shù)不唯一,想到直線平行;看到形如z=(x-a)2+(y-b)2和形如z=,想到其幾何意義. (3)看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題,想到線性規(guī)劃問題,想到確定實(shí)際意義. 求目標(biāo)函數(shù)的最值問題的3步驟 (1)畫域,根據(jù)線性約束條件,畫出可行域; (2)
14、轉(zhuǎn)化,把所求目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如截距型,即線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式;如斜率型,即根據(jù)兩點(diǎn)連線的斜率公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)連線的斜率;平方型,即根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)的距離;
(3)求值,結(jié)合圖形,利用函數(shù)的性質(zhì),確定最優(yōu)解,求得目標(biāo)函數(shù)的最值.
1.(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},則A∩B=( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵x2-4x+3<0?(x-1)(x-3)<0?1
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