《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量教學(xué)案 理（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題七 隨機(jī)變量、空間向量江蘇 新高考這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個(gè)內(nèi)容.但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中應(yīng)用，又考查概率分布與期望值，既考查運(yùn)算能力，又考查思維能力.,由于考題屬中檔題要求，所以不宜過(guò)難.立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系，以計(jì)算空間角為主；概率題也是離散型隨機(jī)變量及其分布列的均值與方差、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布這幾個(gè)基本知識(shí)交叉考查.第1課時(shí)隨機(jī)變量與分布列(能力課)常考題型突破離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望例1(2017南通二調(diào))某樂(lè)隊(duì)參加一戶外音樂(lè)節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)
2、選擇4首進(jìn)行演唱(1)求該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a(a為常數(shù))，演唱一首經(jīng)典歌曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a.求觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和X的概率分布及數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件A，則事件A的對(duì)立事件為“沒(méi)有1首原創(chuàng)新曲被演唱”所以P(A)1P()1.答：該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為.(2)設(shè)隨機(jī)變量x表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則x的所有可能值為0,1,2,3.依題意，Xax2a(4x)，故X的所有可能值依次為8a,7a,6a,5a.則P(X8a)P(x0)，P(X7a)P(x1)，P(X6a)P(x2)，P(
3、X5a)P(x3).從而X的概率分布為：X8a7a6a5aP所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)8a7a6a5aa.方法歸納求離散型隨機(jī)變量問(wèn)題的四步驟由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列，而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問(wèn)題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率具體步驟如下：(1)明確隨機(jī)變量的意義及其所有可能的取值x1，x2，；(2)根據(jù)事件的種類求隨機(jī)變量的概率P(Xxi)，i1,2，；(3)寫(xiě)出分布列Xx1x2Pp1p2(這里可用分布列性質(zhì)：0pi1及p1p2pn1檢驗(yàn)是否出錯(cuò))；(4)根據(jù)題目要求計(jì)算數(shù)學(xué)
4、期望E(X)或方差V(X) 變式訓(xùn)練(2017揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時(shí)間安排生活趣味數(shù)學(xué)和校園舞蹈賞析兩場(chǎng)講座已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場(chǎng)講座任意選聽(tīng)一場(chǎng)若A組1人選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)，其余4人選聽(tīng)校園舞蹈賞析；B組2人選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)，其余3人選聽(tīng)校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽(tīng)生活趣味數(shù)學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽(tīng)校園舞蹈賞
5、析的概率為.(2)X可能的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布例2(2017南京、鹽城一模)某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程(1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率；(2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)C
6、k5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為：X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)5.方法歸納二項(xiàng)分布的分布列及期望問(wèn)題求解三步驟第一步，先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，即若滿足：對(duì)立性：即一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個(gè)發(fā)生；重復(fù)性：試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，否則不服從二項(xiàng)分布.第二步，若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，還需要通過(guò)古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率分別是多少.第三步，根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式
7、或二項(xiàng)分布期望公式求期望即可. 變式訓(xùn)練(2017揚(yáng)州期末)為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史、生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)建模四門(mén)校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門(mén)校本課程中隨機(jī)選一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的(1)求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；(2)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)甲、乙、丙三人從四門(mén)課程中各任選一門(mén)，共有4364種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件M，事件M共包含A24個(gè)基本事件，則P(M)，所以甲、乙、丙三
8、人選擇的課程互不相同的概率為. (2)法一：X可能的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123. 法二：甲、乙、丙三人從四門(mén)課程中任選一門(mén)，可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X為甲、乙、丙三人中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，則XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)3.期望與方差的應(yīng)用例3(2017蘇州模擬)某商場(chǎng)舉辦“迎新年摸球”活動(dòng)，主辦方準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)箱子，其中甲箱中有四個(gè)球，乙箱中有三個(gè)球(每個(gè)球的大小、形狀完全相同)，每一個(gè)箱子中只有一個(gè)紅球，其余都
9、是黑球若摸中甲箱中的紅球，則可獲獎(jiǎng)金m元，若摸中乙箱中的紅球，則可獲獎(jiǎng)金n元活動(dòng)規(guī)定：參與者每個(gè)箱子只能摸一次，一次摸一個(gè)球；可選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一個(gè)箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個(gè)箱子中摸球，否則活動(dòng)終止(1)如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎(jiǎng)金n元的概率；(2)若要使得該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)摸箱子的順序，并說(shuō)明理由解(1)設(shè)參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元為事件M.則P(M)，即參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元的概率為.(2)參與者摸球的順序有兩種，分別討論如下：先在甲箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金可取0，m，mn，則P(0)，P(m)，
10、P(mn)，E()0m(mn).先在乙箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金可取0，n，mn，則P(0)，P(n)，P(mn)，E()0n(mn).E()E().當(dāng)時(shí)，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金期望值較大；當(dāng)時(shí)，兩種順序參與者獲獎(jiǎng)金期望值相等；當(dāng)時(shí)，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金期望值較大；當(dāng)時(shí)，兩種順序參與者獲獎(jiǎng)金期望值相等；當(dāng)時(shí)，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金期望值較大方法歸納利用隨機(jī)變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量的均值的意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的
11、準(zhǔn)確與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征量有關(guān).(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量1，2的均值，當(dāng)E(1)E(2)時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用V(1)，V(2)來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近.(3)若沒(méi)有對(duì)平均水平或者穩(wěn)定性有明確要求是，一般先計(jì)算均值，若相等，則由方差來(lái)確定哪一個(gè)更好.若E(1)與E(2)比較接近，且均值較大者的方差較小，顯然該變量較好；若E(1)與E(2)比較接近且方差相差不大時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定.變式訓(xùn)練某花店每天以每枝5
12、元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差；若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)當(dāng)日需求量n16時(shí)，y16(1
13、05)80；當(dāng)日需求量n15時(shí)，y5n5(16n)10n80.所以y(nN)(2)X所有可能取值為60,70,80，則P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的概率分布為：X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)600.1700.2800.776，X的方差為V(X)1620.1620.2420.744.答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的概率分布為：Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差為V
14、(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，V(X)V(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為：Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝
15、時(shí)的平均利潤(rùn)故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.概率與其他知識(shí)的綜合例4(2017南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結(jié)論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n1局，故P(n)C2nC2nC2n2n2n2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)
16、方法歸納 本例是二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯，其求解的一般思路先利用二項(xiàng)分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)交匯. 變式訓(xùn)練(2017江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X).解：(1)編號(hào)為2
17、的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機(jī)變量X的概率分布為：XP隨機(jī)變量X的期望為：E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C22，P(2)C31C13，P(4)C40C04.所以隨機(jī)變量的概率分布為：024P數(shù)學(xué)期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當(dāng)0時(shí)，代入x2x10，得10，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時(shí)，代入x2x10，得2x22x10，即220
18、，對(duì)xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時(shí)，代入x2x10，得4x24x10，其解集為xx，不滿足題意所以不等式x2x10的解集為R的概率PP(0)P(2).5(2017天津高考)從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)記X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.(2)設(shè)Y表
19、示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為.6(2017全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下
20、面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列為：X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為50
21、0，至少為200，因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.當(dāng)200n300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元第2課時(shí)運(yùn)用空間向量求角(能力課)
22、?？碱}型突破運(yùn)用空間向量求兩直線所成的角例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，P為A1B上的點(diǎn)，且，PCAB.(1)求的值；(2)求異面直線PC與AC1所成角的余弦值解(1)設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OB，則OBAC.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x軸，y軸，過(guò)點(diǎn)O且平行AA1的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，所以(，1,0)，(0，2,2)，(，1，2)因?yàn)镻CAB，所以0，得()0，即()0，即(，2，22)(，1,0)0，解得.(2)由(
23、1)知，(0,2,2)，cos ，所以異面直線PC與AC1所成角的余弦值是.方法歸納1兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)2用向量法求異面直線所成角的四步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值 變式訓(xùn)練(2017無(wú)錫期末)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，BADCBA90，PAA
24、BBC1，AD2，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點(diǎn)(1)求EF與DG所成角的余弦值；(2)若M為EF上一點(diǎn)，N為DG上一點(diǎn)，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，設(shè)EF與DG所成角為，則cos .EF與DG所成角的余弦值為.(2)存在MN，使得MN平面PBC，理由如下：設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y
25、，z)，(0,1,0)，(1,0，1)，即取x1，得n(1,0,1)，若存在MN，使得MN平面PBC，則n，設(shè)M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，則點(diǎn)M，N分別是線段EF與DG上的點(diǎn)，t，(x2，y22，z2)，且把代入，得解得M，N.故存在兩點(diǎn)M，N，使得MN平面PBC.運(yùn)用空間向量求直線和平面所成的角例2(2017鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1)求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值；(2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值解(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dx
26、yz，如圖所示，則A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，(3,3,3)，(0，3,2)，所以cos，故兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值為.(2)由(1)知(0，3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，所以(3,0，1)，(0,0,3)設(shè)平面BED1F的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得y2，z3，n(1,2,3)是平面BED1F的一個(gè)法向量設(shè)直線BB1與平面BED1F所成的角為，則sin ，所以直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值為.方法歸納直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所
27、成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.變式訓(xùn)練(2017南通、泰州一調(diào))如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQBB1(0)(1)若，求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45，求實(shí)數(shù)的值解：以，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)當(dāng)時(shí)，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP與AQ所成角的余弦值為. (2)(0,0,2)，(2,0,2)設(shè)平面APQ的法向量為n(x，y，z)，
28、則即令z2，則x2，y2.所以n(2，2，2)又因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成角為45，所以|cosn，|，可得5240，又因?yàn)?，所以.運(yùn)用空間向量求二面角例3(2017南通調(diào)研)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一點(diǎn)，且SPPD.(1)求直線AB與CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD的余弦值解(1)如圖，分別以AB，AD，AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)設(shè)P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0,2
29、，2)，x00，y0，z0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.，(1,0,0)設(shè)直線AB與CP所成的角為，則cos .(2)設(shè)平面APC的法向量為m(x1，y1，z1)，由于(1,2,0)，即令y12，則x14，z11，所以m(4，2,1)為平面APC的一個(gè)法向量設(shè)平面SCD的法向量為n(x2，y2，z2)，由于(1,0,0)，(0，2,2)，即令y21，則z21，所以n(0,1,1)為平面SCD的一個(gè)法向量設(shè)二面角APCD的大小為，由圖易知為銳角，所以cos |cosm，n|，所以二面角APCD的余弦值為.方法歸納解決二面角問(wèn)題的兩種方法(1)坐標(biāo)法建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2，利用cosn1
30、，n2求出(結(jié)合圖形取“”號(hào))(2)定義法構(gòu)造出二面角的平面角，通過(guò)解三角形計(jì)算變式訓(xùn)練1.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.(1)若1，求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小為60，求實(shí)數(shù)的值解：如圖，分別以AB，AC，AA1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(1)當(dāng)1時(shí)，D為BC的中點(diǎn)，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)設(shè)平面A1C1D的法向量為n(
31、x，y，z)，則即令z1，得y0，x2，則n(2,0,1)為平面A1C1D的一個(gè)法向量，設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為.則sin ，所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為.(2)因?yàn)椋訢，.設(shè)平面A1C1D的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令z11，得y10，x11，則n1(1,0,1)為平面A1C1D的一個(gè)法向量又平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，由題意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合題意，舍去)，所以實(shí)數(shù)的值為1.2(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，已知正四棱錐PABCD中，PAAB2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且.(1)求異面直線MN與
32、PC所成角的大?。?2)求二面角NPCB的余弦值解：(1)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，在正四棱錐PABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以O(shè)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別是x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖則A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)故， 所以，(1,1，)，cos，所以MN與PC所成角的大小為30.(2)(1,1，)，(2,0,0)，.設(shè)m(x，y，z)是平面PCB的一個(gè)法向量，則即令y，得z1，所以m(0，1)，設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCN的一個(gè)法向量，則即令x12，得y14，z1，所以n(
33、2,4，), 故cosm，n，所以二面角NPCB的余弦值為.課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1(2017南京、鹽城二模)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1AAB2，ABC60，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(diǎn)(1)求異面直線EF，AD所成角的余弦值；(2)點(diǎn)M在線段A1D上，.若CM平面AEF，求實(shí)數(shù)的值解：因?yàn)樗睦庵鵄BCDA1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD.在菱形ABCD中，ABC60，則ABC是等邊三角形因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以BCAE.因?yàn)锽CAD，所以AEAD.故以A為原點(diǎn)，AE，AD
34、，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F(xiàn).(1)因?yàn)?0,2,0)，所以cos，所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為.(2)設(shè)M(x，y，z)，由于點(diǎn)M在線段A1D上，且 ，即，則(x，y，z2)(0,2，2)解得M(0,2，22)，(，21,22)設(shè)平面AEF的法向量為n(x0，y0，z0)因?yàn)?，0,0)，所以即令y02，得z01，所以平面AEF的一個(gè)法向量為n(0,2，1)由于CM平面AEF，則n0，即2(21)(22)0，解得.2.如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直
35、角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(diǎn)(1)證明：平面PAD平面PCD；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.(1)證明：因?yàn)?0,0,1)，(0,1,0)，故0，所以APDC.由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD.(2)因?yàn)?1,1,0)，(0,2，1)，所以cos，.所以AC與PB
36、所成角的余弦值為.(3)設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為n1(x1，y1，z1)因?yàn)椋?1,1,0)，所以即取x11，得y11，z12，所以n1(1，1,2)同理可得平面BMC的一個(gè)法向量為n2(1,1,2)因?yàn)閏osn1，n2.所以平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值為.3(2017江蘇高考)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：(1)在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，
37、以，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)锳BAD2，AA1，BAD120，則A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)則cos，.因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)可知平面A1DA的一個(gè)法向量為(，0,0)設(shè)m(x，y，z)為平面BA1D的一個(gè)法向量，又(，1，)，(，3,0)，則即不妨取x3，則y，z2，所以m(3，2)為平面BA1D的一個(gè)法向量，從而cos，m.設(shè)二面角BA1DA的大小為，則|cos |.因?yàn)?，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值為.4.如圖，在直三棱柱AB
38、CA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn)，滿足 (01)(1)若，求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值為，求的值解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)锳BAC1，AA12，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2)(1)由得，(1,0，2)，(0,1，2)設(shè)平面A1BC的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得不妨取z11，則x1y12，從而平面A1BC的一個(gè)法向量為n1(2
39、,2,1)設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為，則sin ，所以直線PC與平面A1BC所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面PA1C的法向量為n2(x2，y2，z2)，又(1,0,22)，故由得不妨取z21，則x222，y22，所以平面PA1C的一個(gè)法向量為n2(22，2,1)則cosn1，n2，又二面角PA1CB的正弦值為，所以，化簡(jiǎn)得2890，解得1或9(舍去)，故的值為1.5.如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD1，D1D2，點(diǎn)P為棱CC1的中點(diǎn)(1)設(shè)二面角AA1BP的大小為，求sin 的值；(2)設(shè)M為線段A1B上的一點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD
40、1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)所以(0,0,2)，(0,1,0)設(shè)平面AA1B的法向量為n(x1，y1，z1)，則即取n(1,0,0)為平面AA1B的一個(gè)法向量又(1，1,1)，(1,0，1)設(shè)平面PA1B的法向量為m(x2，y2，z2)，則即取m(1,2,1)為平面PA1B的一個(gè)法向量所以cosn，m，則sin .(2)設(shè)M(x，y，z)， (01)，即(x1，y1，z)(0，1,2)，所以M(1,1，2)所以(0，1，2)，(1，12)，.令21t1,1，則，當(dāng)t1,0)時(shí)，；當(dāng)t(0
41、,1時(shí)，；當(dāng)t0時(shí)，0.所以，則.故的取值范圍為.6(2017南通三模)如圖，在四棱錐SABCD中，SD平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，ADCDAB90，SDADAB2，DC1.(1)求二面角SBCA的余弦值；(2)設(shè)P是棱BC上一點(diǎn)，E是SA的中點(diǎn)，若PE與平面SAD所成角的正弦值為，求線段CP的長(zhǎng)解：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，所以(2,2，2)，(0,1，2)，(0,0,2)設(shè)平面SBC的法向量為n1(x，y，z)，則即令z1，得x1，y2，所以n1(1,2,1)是平面SBC的一個(gè)法向量. 因?yàn)镾D平面ABC，取平面ABC的一個(gè)法向量n2(0,0,1)設(shè)二面角SBCA的大小為，由圖可知二面角SBCA為銳二面角，所以|cos |，所以二面角SBCA的余弦值為. (2)由(1)知E(1,0,1)，(2,1,0)，(1，1，1)設(shè) (01)，則(2,1,0)(2，0)，所以(12，1，1)易知CD平面SAD，所以(0,1,0)是平面SAD的一個(gè)法向量設(shè)PE與平面SAD所成的角為，所以sin |cos，|， 即，得或(舍去)所以，|，所以線段CP的長(zhǎng)為.29
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量教學(xué)案 理
