（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機變量、空間向量教學(xué)案 理

專題七 隨機變量、空間向量江蘇 新高考這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個內(nèi)容.但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中應(yīng)用，又考查概率分布與期望值，既考查運算能力，又考查思維能力.,由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難.立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系，以計算空間角為主；概率題也是離散型隨機變量及其分布列的均值與方差、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布這幾個基本知識交叉考查.第1課時隨機變量與分布列(能力課)?？碱}型突破離散型隨機變量的分布列及其期望例1(2017·南通二調(diào))某樂隊參加一戶外音樂節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機選擇4首進(jìn)行演唱(1)求該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊的互動指數(shù)為a(a為常數(shù))，演唱一首經(jīng)典歌曲觀眾與樂隊的互動指數(shù)為2a.求觀眾與樂隊的互動指數(shù)之和X的概率分布及數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件A，則事件A的對立事件為“沒有1首原創(chuàng)新曲被演唱”所以P(A)1P()1.答：該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為.(2)設(shè)隨機變量x表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則x的所有可能值為0,1,2,3.依題意，Xax2a(4x)，故X的所有可能值依次為8a,7a,6a,5a.則P(X8a)P(x0)，P(X7a)P(x1)，P(X6a)P(x2)，P(X5a)P(x3).從而X的概率分布為：X8a7a6a5aP所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)8a×7a×6a×5a×a.方法歸納求離散型隨機變量問題的四步驟由于離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差是根據(jù)其分布列運用相應(yīng)公式求解，因而解決這種問題的關(guān)鍵是求離散型隨機變量的分布列，而分布列是由隨機變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的，所以這類問題主要就是求隨機變量取各個值的概率具體步驟如下：(1)明確隨機變量的意義及其所有可能的取值x1，x2，；(2)根據(jù)事件的種類求隨機變量的概率P(Xxi)，i1,2，；(3)寫出分布列Xx1x2Pp1p2(這里可用分布列性質(zhì)：0pi1及p1p2pn1檢驗是否出錯)；(4)根據(jù)題目要求計算數(shù)學(xué)期望E(X)或方差V(X) 變式訓(xùn)練(2017·揚州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時間安排生活趣味數(shù)學(xué)和校園舞蹈賞析兩場講座已知A，B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場若A組1人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余4人選聽校園舞蹈賞析；B組2人選聽生活趣味數(shù)學(xué)，其余3人選聽校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設(shè)X為選出的4人中選聽生活趣味數(shù)學(xué)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率為.(2)X可能的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×. n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布例2(2017·南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程(1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率；(2)設(shè)這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)Ck·5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為：X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)5×.方法歸納二項分布的分布列及期望問題求解三步驟第一步，先判斷隨機變量是否服從二項分布，即若滿足：對立性：即一次試驗中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；重復(fù)性：試驗在相同條件下獨立重復(fù)地進(jìn)行n次，保證每一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機變量服從二項分布，否則不服從二項分布.第二步，若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率分別是多少.第三步，根據(jù)二項分布的分布列列出相應(yīng)的分布列，再根據(jù)期望公式或二項分布期望公式求期望即可. 變式訓(xùn)練(2017·揚州期末)為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時間開設(shè)數(shù)學(xué)史、生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)建模四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門校本課程中隨機選一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的(1)求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；(2)設(shè)X為甲、乙、丙三人中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有4364種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件M，事件M共包含A24個基本事件，則P(M)，所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為. (2)法一：X可能的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×. 法二：甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨立重復(fù)試驗，X為甲、乙、丙三人中選修數(shù)學(xué)史的人數(shù)，則XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)3×.期望與方差的應(yīng)用例3(2017·蘇州模擬)某商場舉辦“迎新年摸球”活動，主辦方準(zhǔn)備了甲、乙兩個箱子，其中甲箱中有四個球，乙箱中有三個球(每個球的大小、形狀完全相同)，每一個箱子中只有一個紅球，其余都是黑球若摸中甲箱中的紅球，則可獲獎金m元，若摸中乙箱中的紅球，則可獲獎金n元活動規(guī)定：參與者每個箱子只能摸一次，一次摸一個球；可選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一個箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個箱子中摸球，否則活動終止(1)如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎金n元的概率；(2)若要使得該參與者獲獎金額的期望值較大，請你幫他設(shè)計摸箱子的順序，并說明理由解(1)設(shè)參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎金n元為事件M.則P(M)×，即參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎金n元的概率為.(2)參與者摸球的順序有兩種，分別討論如下：先在甲箱中摸球，參與者獲獎金可取0，m，mn，則P(0)，P(m)×，P(mn)×，E()0×m×(mn)×.先在乙箱中摸球，參與者獲獎金可取0，n，mn，則P(0)，P(n)×，P(mn)×，E()0×n×(mn)×.E()E().當(dāng)>時，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大；當(dāng)時，兩種順序參與者獲獎金期望值相等；當(dāng)<時，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大故當(dāng)>時，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大；當(dāng)時，兩種順序參與者獲獎金期望值相等；當(dāng)<時，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大方法歸納利用隨機變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機變量的均值的意義在于描述隨機變量的平均程度，而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準(zhǔn)確與否、機器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個特征量有關(guān).(1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量1，2的均值，當(dāng)E(1)E(2)時，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用V(1)，V(2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近.(3)若沒有對平均水平或者穩(wěn)定性有明確要求是，一般先計算均值，若相等，則由方差來確定哪一個更好.若E(1)與E(2)比較接近，且均值較大者的方差較小，顯然該變量較好；若E(1)與E(2)比較接近且方差相差不大時，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定.變式訓(xùn)練某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差；若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由解：(1)當(dāng)日需求量n16時，y16×(105)80；當(dāng)日需求量n15時，y5n5(16n)10n80.所以y(nN)(2)X所有可能取值為60,70,80，則P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的概率分布為：X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)60×0.170×0.280×0.776，X的方差為V(X)162×0.162×0.242×0.744.答案一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的概率分布為：Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.Y的方差為V(Y)(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04.由以上的計算結(jié)果可以看出，V(X)<V(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花答案二：花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天利潤(單位：元)，那么Y的分布列為：Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)<E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.概率與其他知識的綜合例4(2017·南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結(jié)論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n1局，故P(n)C2nC2nC2n·2n·2n·2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法歸納 本例是二項分布與二項式定理的交匯，其求解的一般思路先利用二項分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識交匯. 變式訓(xùn)練(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，mn的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<.解：(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機變量X的概率分布為：XP隨機變量X的期望為：E(X)··.所以E(X)<(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)<.課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知袋中裝有大小相同的2個白球、2個紅球和1個黃球一項游戲規(guī)定：每個白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個球，將3個球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中當(dāng)出現(xiàn)第n局得n分(nN*)的情況就算游戲過關(guān)，同時游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游戲也結(jié)束. (1)求在一局游戲中得3分的概率；(2)求游戲結(jié)束時局?jǐn)?shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)解：(1)設(shè)在一局游戲中得3分為事件A，則P(A).所以在一局游戲中得3分的概率為.(2)X的所有可能取值為1,2,3,4.在一局游戲中得2分的概率為，P(X1)，P(X2)×，P(X3)××，P(X4)××.所以X的概率分布為：X1234P所以E(X)1×2×3×4×.2一個袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的10個球，其中黑球4個，白球5個，紅球1個(1)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)每次從袋中隨機地摸出一球，記下顏色后放回求3次摸球后，摸到黑球的次數(shù)大于摸到白球的次數(shù)的概率解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的概率分布為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)×0×1×2×3.(2)記3次摸球中，摸到黑球次數(shù)大于摸到白球次數(shù)為事件A，則P(A)C3CC××2.故摸到黑球的次數(shù)大于摸到白球的次數(shù)的概率為.3(2017·山東高考)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列為X01234P故X的數(shù)學(xué)期望是EX01×2×3×4×2.4已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為，某實驗小組對該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗，若該實驗小組共種植四粒該植物的種子(每粒種子的生長因素相同且發(fā)芽與否相互獨立)，用表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對值(1)求隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2)求不等式x2x1>0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C×2×2，P(2)C×3×1C×1×3，P(4)C×4×0C×0×4.所以隨機變量的概率分布為：024P數(shù)學(xué)期望E()0×2×4×.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當(dāng)0時，代入x2x1>0，得1>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)2時，代入x2x1>0，得2x22x1>0，即22>0，對xR恒成立，即解集為R；當(dāng)4時，代入x2x1>0，得4x24x1>0，其解集為xx，不滿足題意所以不等式x2x1>0的解集為R的概率PP(0)P(2).5(2017·天津高考)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以隨機變量X的分布列為：X0123P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)××.所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.6(2017·全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列為：X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n.因此EY2n×0.4(1 2002n)×0.4(8002n)×0.26400.4n.當(dāng)200n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n.因此EY2n×(0.40.4)(8002n)×0.21601.2n.所以n300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元第2課時運用空間向量求角(能力課)?？碱}型突破運用空間向量求兩直線所成的角例1已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各條棱長都相等，P為A1B上的點，且，PCAB.(1)求的值；(2)求異面直線PC與AC1所成角的余弦值解(1)設(shè)正三棱柱的棱長為2，取AC中點O，連結(jié)OB，則OBAC.以O(shè)為原點，OB，OC所在直線為x軸，y軸，過點O且平行AA1的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，所以(，1,0)，(0，2,2)，(，1，2)因為PCAB，所以·0，得()·0，即()·0，即(，2，22)·(，1,0)0，解得.(2)由(1)知，(0,2,2)，cos ，所以異面直線PC與AC1所成角的余弦值是.方法歸納1兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)2用向量法求異面直線所成角的四步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值 變式訓(xùn)練(2017·無錫期末)如圖，四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，BADCBA90°，PAABBC1，AD2，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點(1)求EF與DG所成角的余弦值；(2)若M為EF上一點，N為DG上一點，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出點M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F(xiàn)，G分別為BC，PD，PC的中點，E，F(xiàn)，G，設(shè)EF與DG所成角為，則cos .EF與DG所成角的余弦值為.(2)存在MN，使得MN平面PBC，理由如下：設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，(0,1,0)，(1,0，1)，即取x1，得n(1,0,1)，若存在MN，使得MN平面PBC，則n，設(shè)M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，則點M，N分別是線段EF與DG上的點，t，(x2，y22，z2)，且把代入，得解得M，N.故存在兩點M，N，使得MN平面PBC.運用空間向量求直線和平面所成的角例2(2017·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，在棱長為3的正方體ABCD­A1B1C1D1中，A1ECF1.(1)求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值；(2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值解(1)以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，如圖所示，則A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，(3,3,3)，(0，3,2)，所以cos，故兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值為.(2)由(1)知(0，3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，所以(3,0，1)，(0,0,3)設(shè)平面BED1F的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得y2，z3，n(1,2,3)是平面BED1F的一個法向量設(shè)直線BB1與平面BED1F所成的角為，則sin ，所以直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值為.方法歸納直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.變式訓(xùn)練(2017·南通、泰州一調(diào))如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQBB1(0)(1)若，求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數(shù)的值解：以，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)當(dāng)時，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP與AQ所成角的余弦值為. (2)(0,0,2)，(2,0,2)設(shè)平面APQ的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x2，y2.所以n(2，2，2)又因為直線AA1與平面APQ所成角為45°，所以|cosn，|，可得5240，又因為0，所以.運用空間向量求二面角例3(2017·南通調(diào)研)如圖，在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD為矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一點，且SPPD.(1)求直線AB與CP所成角的余弦值；(2)求二面角A­PC­D的余弦值解(1)如圖，分別以AB，AD，AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)設(shè)P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0,2，2)，x00，y0，z0，點P的坐標(biāo)為.，(1,0,0)設(shè)直線AB與CP所成的角為，則cos .(2)設(shè)平面APC的法向量為m(x1，y1，z1)，由于(1,2,0)，即令y12，則x14，z11，所以m(4，2,1)為平面APC的一個法向量設(shè)平面SCD的法向量為n(x2，y2，z2)，由于(1,0,0)，(0，2,2)，即令y21，則z21，所以n(0,1,1)為平面SCD的一個法向量設(shè)二面角A­PC­D的大小為，由圖易知為銳角，所以cos |cosm，n|，所以二面角A­PC­D的余弦值為.方法歸納解決二面角問題的兩種方法(1)坐標(biāo)法建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2求出(結(jié)合圖形取“±”號)(2)定義法構(gòu)造出二面角的平面角，通過解三角形計算變式訓(xùn)練1.直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.(1)若1，求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1­A1C1­D的大小為60°，求實數(shù)的值解：如圖，分別以AB，AC，AA1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(1)當(dāng)1時，D為BC的中點，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)設(shè)平面A1C1D的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得y0，x2，則n(2,0,1)為平面A1C1D的一個法向量，設(shè)直線DB1與平面A1C1D所成角為.則sin ，所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為.(2)因為，所以D，.設(shè)平面A1C1D的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即令z11，得y10，x11，則n1(1,0,1)為平面A1C1D的一個法向量又平面A1B1C1的一個法向量為n2(0,0,1)，由題意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合題意，舍去)，所以實數(shù)的值為1.2(2017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，已知正四棱錐P­ABCD中，PAAB2，點M，N分別在PA，BD上，且.(1)求異面直線MN與PC所成角的大??；(2)求二面角N­PC­B的余弦值解：(1)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC，BD交于點O，在正四棱錐P­ABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以O(shè)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點，方向分別是x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，如圖則A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)故， 所以，(1,1，)，cos，所以MN與PC所成角的大小為30°.(2)(1,1，)，(2,0,0)，.設(shè)m(x，y，z)是平面PCB的一個法向量，則即令y，得z1，所以m(0，1)，設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCN的一個法向量，則即令x12，得y14，z1，所以n(2,4，), 故cosm，n，所以二面角N­PC­B的余弦值為.課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1(2017·南京、鹽城二模)如圖，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1AAB2，ABC60°，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點(1)求異面直線EF，AD所成角的余弦值；(2)點M在線段A1D上，.若CM平面AEF，求實數(shù)的值解：因為四棱柱ABCD­A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD.在菱形ABCD中，ABC60°，則ABC是等邊三角形因為E是BC的中點，所以BCAE.因為BCAD，所以AEAD.故以A為原點，AE，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F(xiàn).(1)因為(0,2,0)，所以cos，所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為.(2)設(shè)M(x，y，z)，由于點M在線段A1D上，且 ，即，則(x，y，z2)(0,2，2)解得M(0,2，22)，(，21,22)設(shè)平面AEF的法向量為n(x0，y0，z0)因為(，0,0)，所以即令y02，得z01，所以平面AEF的一個法向量為n(0,2，1)由于CM平面AEF，則n·0，即2(21)(22)0，解得.2.如圖，已知四棱錐P­ABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90°，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(1)證明：平面PAD平面PCD；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.(1)證明：因為(0,0,1)，(0,1,0)，故·0，所以APDC.由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD.(2)因為(1,1,0)，(0,2，1)，所以cos，.所以AC與PB所成角的余弦值為.(3)設(shè)平面AMC的一個法向量為n1(x1，y1，z1)因為，(1,1,0)，所以即取x11，得y11，z12，所以n1(1，1,2)同理可得平面BMC的一個法向量為n2(1,1,2)因為cosn1，n2.所以平面AMC與平面BMC所成二面角(銳角)的余弦值為.3(2017·江蘇高考)如圖，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B­A1D­A的正弦值解：(1)在平面ABCD內(nèi)，過點A作AEAD，交BC于點E.因為AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.因為ABAD2，AA1，BAD120°，則A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)則cos，.因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)可知平面A1DA的一個法向量為(，0,0)設(shè)m(x，y，z)為平面BA1D的一個法向量，又(，1，)，(，3,0)，則即不妨取x3，則y，z2，所以m(3，2)為平面BA1D的一個法向量，從而cos，m.設(shè)二面角B­A1D­A的大小為，則|cos |.因為0，所以sin .因此二面角B­A1D­A的正弦值為.4.如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，點P是棱BB1上一點，滿足 (01)(1)若，求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角P­A1C­B的正弦值為，求的值解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.因為ABAC1，AA12，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2)(1)由得，(1,0，2)，(0,1，2)設(shè)平面A1BC的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得不妨取z11，則x1y12，從而平面A1BC的一個法向量為n1(2,2,1)設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為，則sin ，所以直線PC與平面A1BC所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面PA1C的法向量為n2(x2，y2，z2)，又(1,0,22)，故由得不妨取z21，則x222，y22，所以平面PA1C的一個法向量為n2(22，2,1)則cosn1，n2，又二面角P­A1C­B的正弦值為，所以，化簡得2890，解得1或9(舍去)，故的值為1.5.如圖，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD1，D1D2，點P為棱CC1的中點(1)設(shè)二面角A­A1B­P的大小為，求sin 的值；(2)設(shè)M為線段A1B上的一點，求的取值范圍解：(1)如圖，以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)所以(0,0,2)，(0,1,0)設(shè)平面AA1B的法向量為n(x1，y1，z1)，則即取n(1,0,0)為平面AA1B的一個法向量又(1，1,1)，(1,0，1)設(shè)平面PA1B的法向量為m(x2，y2，z2)，則即取m(1,2,1)為平面PA1B的一個法向量所以cosn，m，則sin .(2)設(shè)M(x，y，z)， (01)，即(x1，y1，z)(0，1,2)，所以M(1,1，2)所以(0，1，2)，(1，12)，.令21t1,1，則，當(dāng)t1,0)時，；當(dāng)t(0,1時，；當(dāng)t0時，0.所以，則.故的取值范圍為.6(2017·南通三模)如圖，在四棱錐S­ABCD中，SD平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，ADCDAB90°，SDADAB2，DC1.(1)求二面角S­BC­A的余弦值；(2)設(shè)P是棱BC上一點，E是SA的中點，若PE與平面SAD所成角的正弦值為，求線段CP的長解：(1)以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，所以(2,2，2)，(0,1，2)，(0,0,2)設(shè)平面SBC的法向量為n1(x，y，z)，則即令z1，得x1，y2，所以n1(1,2,1)是平面SBC的一個法向量. 因為SD平面ABC，取平面ABC的一個法向量n2(0,0,1)設(shè)二面角S­BC­A的大小為，由圖可知二面角S­BC­A為銳二面角，所以|cos |，所以二面角S­BC­A的余弦值為. (2)由(1)知E(1,0,1)，(2,1,0)，(1，1，1)設(shè) (01)，則(2,1,0)(2，0)，所以(12，1，1)易知CD平面SAD，所以(0,1,0)是平面SAD的一個法向量設(shè)PE與平面SAD所成的角為，所以sin |cos，|， 即，得或(舍去)所以，|，所以線段CP的長為.29