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1、2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理 (IV)
說明:本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分,共150分;答題時(shí)間120分鐘。
一、選擇題:在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)(本大題共12個小題,每小題5分,共60分)。
1.等于 ( )
A.1 B. C. D.
2.曲線y=x2+3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3時(shí)取得極值,則
2、a等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若f(x)=x2-2x-4ln x,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(-1,0) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
5.曲線在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ( )
A.―9 B.―3 C.9 D.15
6.下列式子中與相等的是 ( )
(1); (2);
(3) (4)
3、。
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)
7.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-),∪(,+∞) B.(-,)
C.(-∞,-]∪[,+∞) D.[-,]
8.若關(guān)于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為(
4、 ).
A.-1<a<2 B.-3<a<6
C.a(chǎn)<-1或a>2 D.a(chǎn)<-3或a>6
10.函數(shù)f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的圖象大致為 ( )
11.對于上的任意函數(shù),若滿足,則必有 ( ?。?
A. B.
C. D.
12.設(shè)f(x)、g(x)是定義域?yàn)镽的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,則當(dāng)af(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
5、 D.f(x)g(x)>f(a)g(x)
第Ⅱ卷
二、填空題:請把答案填在題中橫線上(本大題共4個小題,每小題5分,共20分)。
13.已知函數(shù),則 .
14.一物體作直線運(yùn)動,其運(yùn)動方程為 .
15.設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則fxx(x)= .
16.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a999的值為________.
6、
三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在(0, 1]上 的最大值為,求a的值.
18.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處與直線y=8相切,求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).
19.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2
7、-8lnx,g(x)=-x2+14x.
(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,試求實(shí)數(shù)m的值.
20.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+lnx.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大、最小值;
(2)求證:在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.
21. (本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=,x∈[0,1].
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)設(shè)a≥1,函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若對于任意x1∈[0
8、,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.
22.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=-k(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)k≤0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),求k的取值范圍.
月考數(shù)學(xué)(理)試題答案
一,選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
C
C
B
D
A
D
C
D
C
二、 填空題
13、
9、 14、 0 15、-cosx 16、-3
三、 解答題
17.
[解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2),
f ′(x)=-+a,
(1)當(dāng)a=1時(shí),f ′(x)=,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f ′(x)=+a>0,
即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)=a,因此a=.
18.
[解析] (1)f ′(x)=3x2-3a.
因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處與直線y=8相切,
所以即
解得a=4,b=24.
(
10、2)f ′(x)=3(x2-a)(a≠0).
當(dāng)a<0時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn).
當(dāng)a>0時(shí),由f ′(x)=0得x=±.
當(dāng)x∈(-∞,-)時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(-,)時(shí),f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
此時(shí)x=-是f(x)的極大值點(diǎn),x=是f(x)的極小值點(diǎn).
19.
[解析] (1)因?yàn)閒 ′(x)=2x-,所以切線的斜率k=f ′(1)=-6.
又f(1)=1,故所求的切線方程為y-1=-6(x-1).
11、
即y=-6x+7.
(2)原方程等價(jià)于2x2-8lnx-14x=m,
令h(x)=2x2-8lnx-14x,則原方程即為h(x)=m.
因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)原方程有唯一解,所以函數(shù)y=h(x)與y=m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn).
又h′(x)=4x--14=,且x>0,
所以當(dāng)x>4時(shí),h′(x)>0;當(dāng)00時(shí)原方程有唯一解的充要條件是m=h(4)=-16ln2-24.
20.
[解析] (1)由已知f ′(x)=x+,
當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f
12、′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大、最小值分別為f(e)=+1,f(1)=,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值為+1,最小值為;
(2)證明:設(shè)F(x)=x2+lnx-x3,則F′(x)=x+-2x2=.
因?yàn)閤>1,所以F′(x)<0,
所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,
又F(1)=-<0,所以在區(qū)間(1,+∞)上,F(xiàn)(x)<0,即x2+lnx
13、(x),f(x)的變化情況如下表:
x
0
(0,)
(,1)
1
f ′(x)
-
0
+
f(x)
-
↘
-4
↗
-3
所以,當(dāng)x∈(0,)時(shí),f(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈時(shí),f(x)是增函數(shù).
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇-4,-3].
(2)g′(x)=3(x2-a2).
因?yàn)閍≥1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0.
因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)為減函數(shù),從而當(dāng)x∈[0,1]時(shí)有g(shù)(x)∈[g(1),g(0)].
又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]時(shí)有g(shù)(x)∈[1-2a-3a
14、2,-2a].
任給x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立,
則[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3].
即
解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.
又a≥1,故a的取值范圍為1≤a≤.
22.解:(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=-k
=-
=.
由k≤0可得ex-kx>0,
所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)
15、.
(2)由(1)知,k≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,
故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn);
當(dāng)k>0時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞).
因?yàn)間′(x)=ex-k=ex-eln k,
當(dāng)00,y=g(x)單調(diào)遞增.
故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點(diǎn).
當(dāng)k>1時(shí),
得x∈(0,ln k)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減;
x∈(ln k,+∞)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln k)=k(1-ln k).
函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點(diǎn),
當(dāng)且僅當(dāng)
解得e