24、弧的中點為M,則過點M的圓C的切線方程是______________.
解析:因為圓C與兩坐標軸相切,且M是劣弧的中點,
所以直線CM是第二、四象限的角平分線,
所以斜率為-1,所以過M的切線的斜率為1.
因為圓心到原點的距離為,所以|OM|=-1,
所以M,
所以切線方程為y-1+=x-+1,
整理得x-y+2-=0.
答案:x-y+2-=0
三、解答題
13.已知△ABC的三個頂點分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC邊所在直線的方程;
(2)BC邊上中線AD所在直線的方程;
(3)BC邊的垂直平分線DE的方程.
解:(1)因為直線
25、BC經過B(2,1)和C(-2,3)兩點,
由兩點式得BC的方程為=,
即x+2y-4=0.
(2)設BC邊的中點D的坐標為(x,y),
則x==0,y==2.
BC邊的中線AD過點A(-3,0),D(0,2)兩點,由截距式得AD所在直線方程為+=1,即2x-3y+6=0.
(3)由(1)知,直線BC的斜率k1=-,
則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2=2.
由(2)知,點D的坐標為(0,2).
由點斜式得直線DE的方程為y-2=2(x-0),
即2x-y+2=0.
14.已知圓C的方程為x2+(y-4)2=1,直線l的方程為2x-y=0,點P在直線l上,過點P作圓C的
26、切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,求點P的坐標;
(2)求證:經過A,P,C(其中點C為圓C的圓心)三點的圓必經過定點,并求出所有定點的坐標.
解:(1)由條件可得圓C的圓心坐標為(0,4),|PC|=2,
設P(a,2a),則=2,
解得a=2或a=,
所以點P的坐標為(2,4)或.
(2)證明:設P(b,2b),過點A,P,C的圓即是以PC為直徑的圓,其方程為x(x-b)+(y-4)(y-2b)=0,整理得x2+y2-bx-4y-2by+8b=0,
即(x2+y2-4y)-b(x+2y-8)=0.
由解得或
所以該圓必經過定點(0,4)和.
高
27、考研究課(一)
直線方程命題4角度——求方程、判位置、定距離、用對稱
[全國卷5年命題分析]
考點
考查頻度
考查角度
直線方程
5年3考
多與圓、拋物線結合考查
兩直線位置關系
未考查
點到直線的距離
5年3考
多與圓結合考查
對稱問題
未考查
直線方程的求法
[典例] (1)求過點A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的的直線方程.
(2)求經過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.
[解] (1)設所求直線的斜率為k,依題意k=-4×=-.又直線經過點A(1,3),因此所求直線方程為y-3=-(x-1)
28、,即4x+3y-13=0.
(2)當直線不過原點時,設所求直線方程為+=1,將(-5,2)代入所設方程,解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0;當直線過原點時,設直線方程為y=kx,則-5k=2,解得k=-,所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0.
故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.
[方法技巧]
求直線方程的2個注意點
(1)在求直線方程時,應選擇適當的形式,并注意各種形式的適用條件.
(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應判斷截距是否為零).
[即時演練]
1.若直線l過
29、點A(3,4),且點B(-3,2)到直線l的距離最遠,則直線l的方程為( )
A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0
C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0
解析:選D 當l⊥AB時滿足條件.
∵kAB==,則kl=-3.
∴直線l的方程為y-4=-3(x-3),
即3x+y-13=0.
2.已知直線l過點M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,則當|OA|+|OB|取得最小值時,直線l的方程為____________.
解析:設A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
設直線l的方程為+=1,則+=1,所以|OA
30、|+|OB|=a+b=(a+b)·=2++≥2+2·=4,當且僅當a=b=2時取等號,此時直線l的方程為x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
兩直線的位置關系
[典例] (1)若直線l1:(m+3)x+4y+3m-5=0與l2:2x+(m+5)y-8=0平行,則m的值為( )
A.-7 B.-1或-7
C.-6 D.-6或-7
(2)已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直,則cos的值為( )
A. B.-
C.1 D.-
[解析] (1)直線l1的斜率一定存在,因為l2:2x+(m+5)y-8=0,
當m=-5時,l2的斜率不存在,兩直線不
31、平行.
當m≠-5時,由l1∥l2,得(m+3)(m+5)-2×4=0,
解得m=-1或-7.
當m=-1時,兩直線重合,故不滿足條件;經檢驗,m=-7滿足條件,故選A.
(2)由已知得tan α=2,則cos=sin 2α===.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
由一般式確定兩直線位置關系的方法
直線方程
l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2+B1B2=0
l1與l2平行的充分條件
=≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1
32、與l2重合的充分條件
==(A2B2C2≠0)
[提醒] 在判斷兩直線位置關系時,比例式與,的關系容易記住,在解答選擇、填空題時,建議多用比例式來解答.
[即時演練]
1.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:選A 依題意,設所求的直線方程為x-2y+a=0,由點(1,0)在所求直線上,得1+a=0,即a=-1,則所求的直線方程為x-2y-1=0.
2.若直線l經過點P(1,2),且垂直于直線2x+y-1=0,則直線l的方程是______________.
33、
解析:設垂直于直線2x+y-1=0的直線l的方程為x-2y+c=0,
∵直線l經過點P(1,2),
∴1-4+c=0,解得c=3,
∴直線l的方程是x-2y+3=0.
答案:x-2y+3=0
距離問題
[典例] (1)過直線x-y+1=0與 x+y-=0的交點,且與原點的距離等于1的直線有( )
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
(2)直線l經過點P(2,-5)且與點A(3,-2)和點B(-1,6)的距離之比為1∶2,求直線l的方程.
[解析] (1)解方程組得
由于2+2=1,則所求直線只有1條.
[答案] B
(2)當直線l與x軸垂直時,此時直
34、線l的方程為x=2,點A到直線l的距離為d1=1,點B到直線l的距離為d2=3,不符合題意,故直線l的斜率必存在.
∵直線l過點P(2,-5),
∴設直線l的方程為y+5=k(x-2).
即kx-y-2k-5=0.
∴點A(3,-2)到直線l的距離
d1==,
點B(-1,6)到直線l的距離
d2==.
∵d1∶d2=1∶2,
∴=,
∴k2+18k+17=0,∴k1=-1,k2=-17.
∴所求直線方程為x+y+3=0和17x+y-29=0.
[方法技巧]
求解距離問題的注意點
解決與點到直線的距離有關的問題應熟記點到直線的距離公式,若已知點到直線的距離求直線方
35、程,一般考慮待定斜率法,此時必須討論斜率是否存在.
[即時演練]
1.已知點A(a,2)到直線l:x-y+3=0距離為,則a等于( )
A.1 B.±1
C.-3 D.1或-3
解析:選D ∵點A(a,2)到直線l:x-y+3=0距離為,
∴=,
∴a+1=±2.
解得a=1或-3.
2.直線l過點P(-1,2)且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為__________.
解析:當直線l的斜率存在時,
設直線l的方程為y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由題意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,
∴k=-.
∴
36、直線l的方程為y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意.
答案:x=-1或x+3y-5=0
對稱問題
對稱問題是高考??純热葜?,也是考查轉化能力的一種常見題型.
常見的命題角度有:
(1)點關于點對稱;
(2)點關于線對稱;
(3)線關于線對稱;
(4)對稱問題的應用.
角度一:點關于點對稱
1.已知A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上,且AB線段的中點為P,則線段AB的長為( )
A.11 B.10
C.9 D.8
解析:選B 依題意a=2,P(
37、0,5),設A(x,2x),B(-2y,y),由得A(4,8),B(-4,2),所以|AB|==10.
[方法技巧]
點P(x,y)關于O(a,b)的對稱點P′(x′,y′)滿足
角度二:點關于線的對稱問題
2.將一張坐標紙折疊一次,使得點(0,2)與點(4,0)重合,點(7,3)與點(m,n)重合,則m+n=( )
A. B.
C. D.
解析:選A 由題意可知紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線,即直線y=2x-3,它也是點(7,3)與點(m,n)連線的中垂線,于是
解得故m+n=
[方法技巧]
解決點關于直線對稱問題要把握兩點,點M與點N關
38、于直線l對稱,則線段MN的中點在直線l上,直線l與直線MN垂直.
角度三:線關于線對稱問題
3.已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).求:
(1)直線m:3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m′的方程;
(2)直線l關于點A(-1,-2)對稱的直線l′的方程.
解:(1)在直線m上取一點,如M(2,0),則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上.
設對稱點為M′(a,b),則
解得M′.
設直線m與直線l的交點為N,則
由得N(4,3).
又∵m′經過點N(4,3),
∴由兩點式得直線m′的方程為9x-46y+102=0.
(2)在直線l:
39、2x-3y+1=0上任取兩點,如M(1,1),N(4,3),則M,N關于點A(-1,-2)的對稱點M′,N′均在直線l′上.易得M′(-3,-5),N′(-6,-7),再由兩點式可得l′的方程為2x-3y-9=0.
[方法技巧]
若直線l1,l2關于直線l對稱,則有如下性質:①若直線l1與l2相交,則交點在直線l上;②若點B在直線l1上,則其關于直線l的對稱點B′在直線l2上.
角度四:對稱問題的應用
4.已知有條光線從點A(-2,1)出發(fā)射向x軸上的B點,經過x軸反射后射向y軸上的C點,再經過y軸反射后到達點D(-2,7).
(1)求直線BC的方程;
(2)求光線從A點到達D
40、點所經過的路程.
解:作出草圖,如圖所示,
(1)∵A(-2,1),
∴點A關于x軸的對稱點A′(-2,-1),
∵D(-2,7),
∴點D關于y軸的對稱點D′(2,7).
由對稱性可得,A′,D′所在直線方程即為BC所在直線方程,
由兩點式得直線BC的方程為=,
整理得2x-y+3=0.
(2)由圖可得,光線從A點到達D點所經過的路程即為
|A′D′|==4.
[方法技巧]
解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式,而解決軸對稱問題,一般是轉化為求對稱點的問題,在求對稱點時,關鍵是抓住兩點:一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直;二是兩對稱點的中心在對稱軸上
41、,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一個方程,由“平分”列出一個方程,聯(lián)立求解.
1.(2013·全國卷Ⅱ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為( )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
解析:選C 法一:如圖所示,作出拋物線的準線l1及點A,B到準線的垂線段AA1,BB1,并設直線l交準線于點M.
設|BF|=m,由拋物線的定義可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥AA1可知=
42、,即=,所以|MB|=2m,則|MA|=6m.故∠AMA1=30°,得∠AFx=∠MAA1=60°,結合選項知選C項.
法二:由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),設B(x0,y0),則從而可解得A的坐標為(4-3x0,-3y0).因為點A,B都在拋物線上,
所以解得x0=,y0=±,
所以kl==±.
2.(2013·全國卷Ⅱ)已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是( )
A.(0,1) B.
C. D.
解析:選B 由消去x,得y=,當a>0時,直線y=ax+b與x軸交
43、于點,結合圖形知××=,化簡得(a+b)2=a(a+1),則a=.∵a>0,∴>0,解得b<.考慮極限位置,即a=0,此時易得b=1-,故選B.
一、選擇題
1.如果AB>0,BC<0,則直線Ax+By+C=0不經過的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:選C 由AB>0,BC<0,可得直線Ax+By+C=0的斜率為-<0,直線在y軸上的截距->0, 故直線不經過第三象限.
2.直線xsin α+y+2=0的傾斜角的取值范圍是( )
A.[0,π) B.∪
C. D.∪
解析:選B 直線xsin α+y+2=0的
44、斜率為k=-sin α,
∵-1≤sin α≤1, ∴-1≤k≤1,
∴直線傾斜角的取值范圍是∪.
3.已知點M是直線x+y=2上的一個動點,且點P(,-1),則|PM|的最小值為( )
A. B.1
C.2 D.3
解析:選B |PM|的最小值即點P(,-1)到直線x+y=2的距離,又=1,故|PM|的最小值為1.
4.(2018·鄭州質量預測)“a=1”是“直線ax+y+1=0與直線(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選B ∵ax+y+1=0與(a+2)x-3y-
45、2=0垂直,
∴a(a+2)-3=0,解得a=1或a=-3.
∴“a=1”是兩直線垂直的充分不必要條件.
5.已知點A(1,-2),B(m,2),若線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數m的值為( )
A.-2 B.-7
C.3 D.1
解析:選C ∵A(1,-2)和B(m,2)的中點在直線x+2y-2=0上,
∴+2×0-2=0,
∴m=3.
6.已知直線l過點P(1,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,則當△AOB的面積取得最小值時,直線l的方程為( )
A.2x+y-4=0 B.x-2y+3=0
C.x+y-3=0 D.x-y
46、+1=0
解析:選A 由題可知,直線l的斜率k存在,且k<0,則直線l的方程為y-2=k(x-1).
∴A,B(0,2-k),
∴S△OAB=(2-k)=≥=4,當且僅當k=-2時取等號.
∴直線l的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
7.(2018·豫南九校質量考評)若直線x+ay-2=0與以A(3,1),B(1,2)為端點的線段沒有公共點,則實數a的取值范圍是( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.
D.(-∞,-1)∪
解析:選D 直線x+ay-2=0過定點C(2,0),直線CB的斜率kCB=-2,直線CA的斜率kCA=1,所
47、以由題意可得a≠0且-2<-<1,解得a<-1或a>.
8.已知P(x0,y0)是直線l:Ax+By+C=0外一點,則方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示( )
A.過點P且與l垂直的直線
B.過點P且與l平行的直線
C.不過點P且與l垂直的直線
D.不過點P且與l平行的直線
解析:選D 因為P(x0,y0)是直線l:Ax+By+C=0外一點,所以Ax0+By0+C=k,k≠0.
若方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0,
則Ax+By+C+k=0.
因為直線Ax+By+C+k=0和直線l斜率相等,
但在y軸上的截距不相等,
故直線Ax+By+C+
48、k=0和直線l平行.
因為Ax0+By0+C=k,且k≠0,
所以Ax0+By0+C+k≠0,
所以直線Ax+By+C+k=0不過點P,故選D.
二、填空題
9.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為________.
解析:由題意及點到直線的距離公式得=,解得a=-或-.
答案:-或-
10.與直線2x+3y+5=0平行,且在兩坐標軸上截距的和為6的直線方程是________________.
解析:由平行關系設所求直線方程為2x+3y+c=0,
令x=0,可得y=-;令y=0,可得x=-,
∴--=6,解得c=-,
49、
∴所求直線方程為2x+3y-=0,
化為一般式可得10x+15y-36=0.
答案:10x+15y-36=0
11.已知直線l1的方程為3x+4y-7=0,直線l2的方程為6x+8y+1=0,則直線l1與l2的距離為________.
解析:直線l1的方程為3x+4y-7=0,直線l2的方程為6x+8y+1=0,即3x+4y+=0,∴直線l1與l2的距離為=.
答案:
12.在平面直角坐標系中,已知點P(-2,2),對于任意不全為零的實數a,b,直線l:a(x-1)+b(y+2)=0,若點P到直線l的距離為d,則d的取值范圍是____________.
解析:由題意,直線
50、過定點Q(1,-2),PQ⊥l時,d取得最大值=5,
直線l過點P時,d取得最小值0,
所以d的取值范圍[0,5].
答案:[0,5]
三、解答題
13.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+5-2m=0(m∈R).
(1)求方程表示一條直線的條件;
(2)當m為何值時,方程表示的直線與x軸垂直;
(3)若方程表示的直線在兩坐標軸上的截距相等,求實數m的值.
解:(1)由解得m=-1,
∵方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+5-2m=0(m∈R)表示直線,
∴m2-2m-3,2m2+m-1不同時為0,∴m≠-1.
故方程表示一條直線的條
51、件為m≠-1.
(2)∵方程表示的直線與x軸垂直,
∴解得m=.
(3)當5-2m=0,即m=時,直線過原點,在兩坐標軸上的截距均為0;
當m≠時,由=,解得m=-2.
故實數m的值為或-2.
14.已知直線m:2x-y-3=0與直線n:x+y-3=0的交點為P.
(1)若直線l過點P,且點A(1,3)和點B(3,2)到直線l的距離相等,求直線l的方程;
(2)若直線l1過點P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,△ABO的面積為4,求直線l1的方程.
解:(1)由得即交點P(2,1).
由直線l與A,B的距離相等可知,l∥AB或l過AB的中點.
①由l∥AB,得k
52、l=kAB==-,
所以直線l的方程為y-1=-(x-2),
即x+2y-4=0,
②由l過AB的中點得l的方程為x=2,
故x+2y-4=0或x=2為所求.
(2)法一:由題可知,直線l1的斜率k存在,且k<0.
則直線l1的方程為y=k(x-2)+1=kx-2k+1.
令x=0,得y=1-2k>0,
令y=0,得x=>0,
∴S△ABO=×(1-2k)×=4,解得k=-,
故直線l1的方程為y=-x+2,即x+2y-4=0.
法二:由題可知,直線l1的橫、縱截距a,b存在,且a>0,b>0,則l1:+=1.
又l1過點(2,1),△ABO的面積為4,
∴解得
53、
故直線l1的方程為+=1,即x+2y-4=0.
1.設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y)(點P與點A,B不重合),則△PAB的面積最大值是( )
A.2 B.5
C. D.
解析:選C 由題意可知,動直線x+my=0過定點A(0,0).
動直線mx-y-m+3=0?m(x-1)+3-y=0,
因此直線過定點B(1,3).
當m=0時,兩條直線分別為x=0,y=3,交點P(0,3),
S△PAB=×1×3=.
當m≠0時,兩條直線的斜率分別為-,m,
則-·m=-1,因此兩條直線相互垂直.
當|PA|=|
54、PB|時,△PAB的面積取得最大值.
由|PA|=|AB|==,
解得|PA|=.
∴S△PAB=|PA|2=.
綜上可得,△PAB的面積最大值是.
2.已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線,若點A,B的坐標分別是(-4,2),(3,1),則點C的坐標為( )
A.(-2,4) B.(-2,-4)
C.(2,4) D.(2,-4)
解析:選C 設A(-4,2)關于直線y=2x的對稱點為(x,y),則解得,即(4,-2).
∴直線BC所在方程為y-1=(x-3),
即3x+y-10=0.
聯(lián)立解得可得C(2,4).
3.在平面直角坐標系內,到點A(1,
55、2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和最小的點的坐標是________.
解析:設平面上任一點M,因為|MA|+|MC|≥|AC|,當且僅當A,M,C共線時取等號,同理|MB|+|MD|≥|BD|,當且僅當B,M,D共線時取等號,連接AC,BD交于一點M,若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,則點M為所求.
∵kAC==2,
∴直線AC的方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.①
又∵kBD==-1,
∴直線BD的方程為y-5=-(x-1),即x+y-6=0.②
由①②得∴即M(2,4).
答案:(2,4)
高考研究課(二)
圓的方程命題3角度
56、——求方程、算最值、定軌跡
[全國卷5年命題分析]
考點
考查頻度
考查角度
圓的方程
5年4考
求圓的方程及先求圓的方程再考查應用
與圓有關的最值問題
5年1考
求范圍
與圓有關的軌跡問題
未考查
圓的方程
圓的方程的求法,應根據條件選用合適的圓的方程,一般來說,求圓的方程有兩種方法:
(1)幾何法,通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.
(2)代數法,即設出圓的方程,用待定系數法求解.
[典例] 求經過點A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.
[解] 法一:用“幾何法”解題
由題意知kAB=2,A
57、B的中點為(4,0),設圓心為C(a,b),
∵圓過A(5,2),B(3,-2)兩點,
∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上.
則解得∴C(2,1),
∴r=|CA|==.
∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.
法二:用“代數法”解題
設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
則解得
故圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.
法三:用“代數法”解題
設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則解得
∴所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0.
[方法技巧]
求圓的方程的方法
(1)方程選擇原則
若條件中圓
58、心坐標明確時,常設為圓的標準方程,不明確時,常設為一般方程.
(2)求圓的方程的方法和步驟
確定圓的方程的主要方法是代數法,大致步驟如下:
①根據題意,選擇標準方程或一般方程;
②根據條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組;
③解出a,b,r或D,E,F代入標準方程或一般方程.
[即時演練]
根據下列條件,求圓的方程.
(1)已知圓心為C的圓經過點A(0,-6),B(1,-5),且圓心在直線l:x-y+1=0上;
(2)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2).
解:(1)法一:設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-
59、4F>0),則圓心坐標為.
由題意可得解得
所以圓的方程為x2+y2+6x+4y-12=0.
法二:因為A(0,-6),B(1,-5),
所以線段AB的中點D的坐標為,
直線AB的斜率kAB==1,
因此線段AB的垂直平分線的方程是
y+=-,即x+y+5=0.
則圓心C的坐標是方程組的解,
解得所以圓心C的坐標是(-3,-2).
圓的半徑長r=|AC|==5,
所以圓的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)法一:如圖,設圓心坐標為(x0,-4x0),依題意得=1,
∴x0=1,即圓心坐標為(1,-4),半徑r==2,故圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=
60、8.
法二:設所求方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根據已知條件得
解得
因此所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
與圓有關的最值問題
與圓有關的最值問題是命題的熱點內容,它著重考查數形結合與轉化思想.
常見的命題角度有:
(1)斜率型最值問題;
(2)截距型最值問題;
(3)距離型最值問題;
(4)距離和(差)的最值問題;
(5)三角形的面積的最值問題.
角度一:斜率型最值問題
1.已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.
解:原方程可化為(x-2)2+y2=3,
表示以(2,0)為圓心,為半徑
61、的圓.
的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,
所以設=k,即y=kx.
當直線y=kx與圓相切時(如圖),斜率k取最大值或最小值,
此時=,
解得k=±.
所以的最大值為,最小值為-.
角度二:截距型最值問題
2.在[角度一]條件下求y-x的最大值和最小值.
解:y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,如圖所示,當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時=,解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+,最小值為-2-.
角度三:距離型最值問題
3.設P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值為(
62、 )
A.6 B.25
C.26 D.36
解析:選D (x-5)2+(y+4)2表示點P(x,y)到點(5,-4)的距離的平方,又點(5,-4)到圓心(2,0)的距離d==5,
則點P(x,y)到點(5,-4)的距離最大值為6,從而(x-5)2+(y+4)2的最大值為36.
角度四:距離和(差)的最值問題
4.已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( )
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.
解析:選A 圓
63、心C1(2,3),C2(3,4),作C1關于x軸的對稱點C1′(2,-3),連接C1′C2與x軸交于點P,此時|PM|+|PN|取得最小值,為|C1′C2|-1-3=5-4.
角度五:三角形的面積的最值問題
5.已知兩點A(-1,0),B(0,2),點P是圓(x-1)2+y2=1上任意一點,則△PAB面積的最大值與最小值分別是( )
A.2,(4-) B.(4+),(4-)
C.,4- D.(+2),(-2)
解析:選B 直線AB的方程為+=1,
即2x-y+2=0,
圓心(1,0)到直線AB的距離d==,則點P到直線AB的距離最大值為+1,最小值為-1,
又|AB|
64、=,則(S△PAB)max=××=(4+),(S△PAB)min=××=(4-),故選B.
[方法技巧]
求解與圓有關的最值問題的2大規(guī)律
(1)借助幾何性質求最值
處理與圓有關的最值問題,應充分考慮圓的幾何性質,并根據代數式的幾何意義,借助數形結合思想求解.
(2)建立函數關系式求最值
根據題目條件列出關于所求目標式子的函數關系式,然后根據關系式的特征選用基本不等式法、參數法、配方法、判別式法等,利用基本不等式求最值是比較常用的.
與圓有關的軌跡問題
[典例] 已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點.
(1)求線段A
65、P中點的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.
[解] (1)設AP的中點為M(x,y),由中點坐標公式可知,P點坐標為(2x-2,2y).
因為P點在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.
故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設PQ的中點為N(x,y).
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
設O為坐標原點,連接ON,則ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.
66、[方法技巧]
求與圓有關的軌跡問題的4種常用方法
直接法
直接根據題目提供的條件列出方程
定義法
根據圓、直線等定義列方程
幾何法
利用圓的幾何性質列方程
代入法
找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式等
[即時演練]
1.(2018·唐山調研)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析:選A 設圓上任意一點為(x1,y1),中點為(x,y),則即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4.化簡得(x-2)2+(y+1)2=1.
2.設點A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則點P的軌跡方程為( )
A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4
C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2
解析:選D 設P(x,y),則由題意知,圓(x-1)2+y2=1的圓心為C(1,0)、半徑為1,∵PA是圓的切線,且|PA