（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三單元 直線與圓學(xué)案 理

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1、 第十三單元 直線與圓 教材復(fù)習(xí)課“直線與圓”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò) 直線的方程 [過(guò)雙基] 1．直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 ①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角； ②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為； ③范圍：直線l的傾斜角的取值范圍是[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：當(dāng)直線l的傾斜角α≠時(shí)，其傾斜角α的正切值tan α叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α； ②斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的

2、斜率公式為k＝. 2．直線方程的五種形式 名稱 幾何條件 方程 適用條件 斜截式 縱截距、斜率 y＝kx＋b 與x軸不垂直的直線 點(diǎn)斜式 過(guò)一點(diǎn)、斜率 y－y0＝k(x－x0) 兩點(diǎn)式 過(guò)兩點(diǎn) ＝ 與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 截距式 縱、橫截距 ＋＝1 不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直線 1．已知A(m，－2)，B(3,0)，若直線AB的斜率為2，則m的值為(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．2 C．－1或2 D．－2 解析：選B　由直線AB的斜率k＝＝2， 解得m＝2

3、. 2．若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的直線的斜率大于1，則m的取值范圍是(　　) A．(5,8) B．(8，＋∞) C. D. 解析：選D　由題意知>1， 即<0，∴5

4、＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解析：選D　由題意可知a≠0.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＋2. 當(dāng)y＝0時(shí)，x＝. ∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1. 5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4,1)，且傾斜角為直線y＝－x＋1的傾斜角的的直線方程為_(kāi)_______． 解析：由題意可知，所求直線方程的傾斜角為45°，即斜率k＝1，故所求直線方程為y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0. 答案：x－y＋5＝0 [清易錯(cuò)] 1．用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí)，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會(huì)造成失誤． 2．直線的截距式中易忽視截距

5、均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式． 1．過(guò)點(diǎn)(5,10)且到原點(diǎn)的距離是5的直線的方程為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－5＝0； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k， 則所求直線方程為y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. 由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝5， 解得k＝. 故所求直線方程為3x－4y＋25＝0. 綜上可知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0 2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝x，即x－y＝0

6、； 當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y＝a， 把點(diǎn)(1,1)代入直線方程可得a＝2， 故直線方程為x＋y－2＝0. 綜上可得所求的直線方程為x－y＝0或x＋y－2＝0. 答案：x－y＝0或x＋y－2＝0 圓的方程 [過(guò)雙基] 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a，b)，半徑： 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圓心：， 半徑： 2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：

7、(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪ B. C．(－2,0) D. 解析：選D　由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0， 解得－2

8、(－，) C．(－，) D. 解析：選C　因?yàn)?0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－

9、解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)， ∵點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)在圓C上， ∴|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2，所以圓心為C(2,0)， 半徑|CA|＝＝， ∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 兩條直線的位置關(guān)系 [過(guò)雙基] 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行： ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1

10、·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點(diǎn)的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 3．距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間距離 d＝ 　 1．已知直線l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直線l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，則a＝(　　) A．－7或－1 B．－7 C．7或1

11、D．－1 解析：選B　由題意可得a≠－5，所以＝≠，解得a＝－7(a＝－1舍去)． 2．圓x2＋y2－6x－2y＋3＝0的圓心到直線x＋ay－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 解析：選B　圓x2＋y2－6x－2y＋3＝0可化為(x－3)2＋(y－1)2＝7，其圓心(3,1)到直線x＋ay－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－. 3．已知直線l1：(m＋2)x－y＋5＝0與l2：(m＋3)x＋(18＋m)y＋2＝0垂直，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．－6或2 解析：選D　當(dāng)m＝－18時(shí)，兩條直線不垂直，舍去；

12、 當(dāng)m≠－18時(shí)，由l1⊥l2， 可得(m＋2)·＝－1， 化簡(jiǎn)得(m＋6)(m－2)＝0，解得m＝－6或2. 4．若兩條平行直線4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0之間的距離等于2，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：∵兩條平行直線的方程為4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0， ∴由平行線間的距離公式可得2＝， 即|－6－a|＝10， 解得a＝4或－16. 答案：4或－16 [清易錯(cuò)] 1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮． 2．運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這

13、一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯(cuò)． 1．已知直線l1：x＋(a－2)y－2＝0，直線l2：(a－2)x＋ay－1＝0，則“a＝－1”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　法一：(1)當(dāng)直線l1的斜率不存在，即a＝2時(shí)，有l(wèi)1：x－2＝0，l2：2y－1＝0，此時(shí)符合l1⊥l2. (2)當(dāng)直線l1的斜率存在，即a≠2時(shí)，直線l1的斜率k1＝－≠0，若l1⊥l2，則必有直線l2的斜率k2＝－，所以·＝－1，解得a＝－1. 綜上所述，l1⊥l2?a＝－1或a＝2. 故“a＝－1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要

14、條件． 法二：l1⊥l2?1×(a－2)＋(a－2)×a＝0， 解得a＝－1或a＝2. 所以“a＝－1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件． 2．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因?yàn)椋健伲詢芍本€平行．由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為. 直線與圓的位置關(guān)系 [過(guò)雙基] 直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d) 相離 相切 相交 圖形 量化 方程 觀點(diǎn) Δ0 Δ＝0 Δ

15、0 幾何 觀點(diǎn) d＞r dr d＜r 　 1．直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．隨a的變化而變化 解析：選B　因?yàn)橹本€y＝ax＋1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，又點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2－2x－3＝0的內(nèi)部，故直線與圓相交． 2．(2018·大連模擬)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為(　　) A. B．1 C. D. 解析：選D　因?yàn)閳A心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝＝＝，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長(zhǎng)的一半就等于 ＝，所以弦長(zhǎng)為.

16、 3．已知圓C：x2＋y2－6x＋8＝0，則圓心C的坐標(biāo)為_(kāi)_____；若直線y＝kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k的值為_(kāi)_______． 解析：圓的方程可化為(x－3)2＋y2＝1，故圓心坐標(biāo)為(3,0)；由＝1，解得k＝±，由切點(diǎn)在第四象限，可得k＝－. 答案：(3,0)?。? 圓與圓的位置關(guān)系 [過(guò)雙基] 圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑r1，r2，d＝|O1O2|) 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 圖形 量的關(guān)系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 　 1

17、．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案：±2或0 2．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：由得x－y＋2＝0. 又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為＝.由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為＝，所以所求弦長(zhǎng)為2. 答案：2 一、選擇題 1．直線 x＋y－3＝0的傾斜角為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　∵直線x＋y－3＝0可化為y＝－x＋3， ∴直線的斜率為－， 設(shè)傾斜角為α，則tan α＝－， 又∵0≤α<π，

18、 ∴α＝. 2.如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則必有(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析：選D　由圖可知k1＜0，k2＞0，k3＞0，且k2＞k3，所以k1＜k3＜k2. 3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點(diǎn)的圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：選B　由得 即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1)， 又由該圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，得其半徑為1， 故圓

19、的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1. 4．過(guò)直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析：選A　設(shè)過(guò)直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)的直線方程為2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0， 即(2＋λ)x－(1＋λ)y＋4＋5λ＝0， ∵該直線與直線x－2y＝0垂直， ∴k＝＝－2，解得λ＝－. ∴所求的直線方程為x－y＋4＋5×－＝0， 即2x＋y－8＝0. 5．已知直線l1：x＋2y＋t2＝0和直線l2：2x＋4y＋2t－3

20、＝0，則當(dāng)l1與l2間的距離最短時(shí)t的值為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選B　∵直線l2：2x＋4y＋2t－3＝0， 即x＋2y＋＝0. ∴l(xiāng)1∥l2，∴l(xiāng)1與l2間的距離d＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)． ∴當(dāng)l1與l2間的距離最短時(shí)t的值為. 6．已知直線l1：(a＋3)x＋y－4＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，則直線l1在x軸上的截距是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　∵直線l1：(a＋3)x＋y－4＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴a＋3＋a－1＝0，解得a＝－1， ∴直線l1：2x＋y－4＝

21、0， ∴直線l1在x軸上的截距是2. 7．一條光線從A處射到點(diǎn)B(0,1)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程為(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：選B　由題意可得點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′在反射光線所在的直線上， 又點(diǎn)B(0,1)也在反射光線所在的直線上， 則兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為＝，即2x＋y－1＝0. 8．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x－2)2＋2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(

22、y－1)2＝1 D.2＋(y－1)2＝1 解析：選A　由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又由圓與直線4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1. 二、填空題 9．已知直線l過(guò)點(diǎn)A(0,2)和B(－，3m2＋12m＋13)(m∈R)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：設(shè)此直線的傾斜角為θ，0≤θ<π， 則tan θ＝＝－(m＋2)2＋≤. 因?yàn)棣取蔥0，π)，所以θ∈∪. 答案：∪ 10．已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，若直線l：x＋y－c＝0與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l在y軸上

23、的截距的取值范圍為_(kāi)_________． 解析：如圖， 把A(－1，－2)，B(2,3)分別代入直線l：x＋y－c＝0，得c的值分別為－3,5. 故若直線l：x＋y－c＝0與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距的取值范圍為[－3,5]． 答案：[－3,5] 11．已知直線x＋y－3m＝0與2x－y＋2m－1＝0的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：聯(lián)立 解得 ∵兩直線的交點(diǎn)在第四象限， ∴>0，且<0， 解得－1

24、弧的中點(diǎn)為M，則過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程是______________． 解析：因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸相切，且M是劣弧的中點(diǎn)， 所以直線CM是第二、四象限的角平分線， 所以斜率為－1，所以過(guò)M的切線的斜率為1. 因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為，所以|OM|＝－1， 所以M， 所以切線方程為y－1＋＝x－＋1， 整理得x－y＋2－＝0. 答案：x－y＋2－＝0 三、解答題 13．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程． 解：(1)因?yàn)橹本€

25、BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)， 由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝， 即x＋2y－4＝0. (2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)， 則x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－， 則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2. 由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)． 由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)， 即2x－y＋2＝0. 14．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝1，直線l的方程為2x－y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)點(diǎn)P作圓C的

26、切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B. (1)若∠APB＝60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)求證：經(jīng)過(guò)A，P，C(其中點(diǎn)C為圓C的圓心)三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由條件可得圓C的圓心坐標(biāo)為(0,4)，|PC|＝2， 設(shè)P(a,2a)，則＝2， 解得a＝2或a＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)或. (2)證明：設(shè)P(b,2b)，過(guò)點(diǎn)A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，其方程為x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0， 即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0. 由解得或 所以該圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,4)和. 高

27、考研究課(一) 直線方程命題4角度——求方程、判位置、定距離、用對(duì)稱 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 直線方程 5年3考 多與圓、拋物線結(jié)合考查 兩直線位置關(guān)系 未考查 點(diǎn)到直線的距離 5年3考 多與圓結(jié)合考查 對(duì)稱問(wèn)題 未考查 直線方程的求法 [典例]　(1)求過(guò)點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程． (2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程． [解]　(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)

28、，即4x＋3y－13＝0. (2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－，所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. [方法技巧] 求直線方程的2個(gè)注意點(diǎn) (1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件． (2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)．　　 [即時(shí)演練] 1．若直線l過(guò)

29、點(diǎn)A(3,4)，且點(diǎn)B(－3,2)到直線l的距離最遠(yuǎn)，則直線l的方程為(　　) A．3x－y－5＝0　　　　　 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：選D　當(dāng)l⊥AB時(shí)滿足條件． ∵kAB＝＝，則kl＝－3. ∴直線l的方程為y－4＝－3(x－3)， 即3x＋y－13＝0. 2．已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)|OA|＋|OB|取得最小值時(shí)，直線l的方程為_(kāi)___________． 解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)． 設(shè)直線l的方程為＋＝1，則＋＝1，所以|OA

30、|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2·＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 兩直線的位置關(guān)系 [典例]　(1)若直線l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0與l2：2x＋(m＋5)y－8＝0平行，則m的值為(　　) A．－7 B．－1或－7 C．－6 D．－6或－7 (2)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－ [解析]　(1)直線l1的斜率一定存在，因?yàn)閘2：2x＋(m＋5)y－8＝0， 當(dāng)m＝－5時(shí)，l2的斜率不存在，兩直線不

31、平行． 當(dāng)m≠－5時(shí)，由l1∥l2，得(m＋3)(m＋5)－2×4＝0， 解得m＝－1或－7. 當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，故不滿足條件；經(jīng)檢驗(yàn)，m＝－7滿足條件，故選A. (2)由已知得tan α＝2，則cos＝sin 2α＝＝＝. [答案]　(1)A　(2)A [方法技巧] 由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1

32、與l2重合的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) [提醒]　在判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，建議多用比例式來(lái)解答． [即時(shí)演練] 1．過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　依題意，設(shè)所求的直線方程為x－2y＋a＝0，由點(diǎn)(1,0)在所求直線上，得1＋a＝0，即a＝－1，則所求的直線方程為x－2y－1＝0. 2．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且垂直于直線2x＋y－1＝0，則直線l的方程是______________．

33、 解析：設(shè)垂直于直線2x＋y－1＝0的直線l的方程為x－2y＋c＝0， ∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)， ∴1－4＋c＝0，解得c＝3， ∴直線l的方程是x－2y＋3＝0. 答案：x－2y＋3＝0 距離問(wèn)題 [典例]　(1)過(guò)直線x－y＋1＝0與 x＋y－＝0的交點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離等于1的直線有(　　) A．0條 B．1條 C．2條 D．3條 (2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－5)且與點(diǎn)A(3，－2)和點(diǎn)B(－1,6)的距離之比為1∶2，求直線l的方程． [解析]　(1)解方程組得 由于2＋2＝1，則所求直線只有1條． [答案]　B (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)直

34、線l的方程為x＝2，點(diǎn)A到直線l的距離為d1＝1，點(diǎn)B到直線l的距離為d2＝3，不符合題意，故直線l的斜率必存在． ∵直線l過(guò)點(diǎn)P(2，－5)， ∴設(shè)直線l的方程為y＋5＝k(x－2)． 即kx－y－2k－5＝0. ∴點(diǎn)A(3，－2)到直線l的距離 d1＝＝， 點(diǎn)B(－1,6)到直線l的距離 d2＝＝. ∵d1∶d2＝1∶2， ∴＝， ∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直線方程為x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0. 　[方法技巧] 求解距離問(wèn)題的注意點(diǎn) 解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方

35、程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在．　 [即時(shí)演練] 1．已知點(diǎn)A(a,2)到直線l：x－y＋3＝0距離為，則a等于(　　) A．1 B．±1 C．－3 D．1或－3 解析：選D　∵點(diǎn)A(a,2)到直線l：x－y＋3＝0距離為， ∴＝， ∴a＋1＝±2. 解得a＝1或－3. 2．直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_________． 解析：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|， ∴k＝－. ∴

36、直線l的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 答案：x＝－1或x＋3y－5＝0 對(duì)稱問(wèn)題　　　　 　　對(duì)稱問(wèn)題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查轉(zhuǎn)化能力的一種常見(jiàn)題型． 常見(jiàn)的命題角度有： (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱； (2)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱； (3)線關(guān)于線對(duì)稱； (4)對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用． 角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 1．已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長(zhǎng)為(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：選B　依題意a＝2，P(

37、0,5)，設(shè)A(x,2x)，B(－2y，y)，由得A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10. [方法技巧] 點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足 　　 角度二：點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題 2．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是 解得故m＋n＝ [方法技巧] 解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)

38、于直線l對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，直線l與直線MN垂直．　　 角度三：線關(guān)于線對(duì)稱問(wèn)題 3．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程； (2)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． 解：(1)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上． 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則 解得M′. 設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則 由得N(4,3)． 又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， ∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (2)在直線l：

39、2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0. [方法技巧] 若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，則有如下性質(zhì)：①若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；②若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′在直線l2上．　　 角度四：對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用 4．已知有條光線從點(diǎn)A(－2,1)出發(fā)射向x軸上的B點(diǎn)，經(jīng)過(guò)x軸反射后射向y軸上的C點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)y軸反射后到達(dá)點(diǎn)D(－2，7)． (1)求直線BC的方程； (2)求光線從A點(diǎn)到達(dá)D

40、點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程． 解：作出草圖，如圖所示， (1)∵A(－2,1), ∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－2，－1), ∵D(－2,7), ∴點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(2,7). 由對(duì)稱性可得，A′，D′所在直線方程即為BC所在直線方程， 由兩點(diǎn)式得直線BC的方程為＝， 整理得2x－y＋3＝0. (2)由圖可得，光線從A點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程即為 |A′D′|＝＝4. [方法技巧] 解決中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上

41、，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解．　　 1．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 解析：選C　法一：如圖所示，作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點(diǎn)A，B到準(zhǔn)線的垂線段AA1，BB1，并設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)M. 設(shè)|BF|＝m，由拋物線的定義可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝

42、，即＝，所以|MB|＝2m，則|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，結(jié)合選項(xiàng)知選C項(xiàng)． 法二：由|AF|＝3|BF|可知＝3，易知F(1,0)，設(shè)B(x0，y0)，則從而可解得A的坐標(biāo)為(4－3x0，－3y0)．因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線上， 所以解得x0＝，y0＝±， 所以kl＝＝±. 2．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：選B　由消去x，得y＝，當(dāng)a＞0時(shí)，直線y＝ax＋b與x軸交

43、于點(diǎn)，結(jié)合圖形知××＝，化簡(jiǎn)得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考慮極限位置，即a＝0，此時(shí)易得b＝1－，故選B. 一、選擇題 1．如果AB＞0，BC＜0，則直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過(guò)的象限是(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C　由AB＞0，BC＜0，可得直線Ax＋By＋C＝0的斜率為－＜0，直線在y軸上的截距－＞0, 故直線不經(jīng)過(guò)第三象限． 2．直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．[0，π) B.∪ C. D.∪ 解析：選B　直線xsin α＋y＋2＝0的

44、斜率為k＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k≤1, ∴直線傾斜角的取值范圍是∪. 3．已知點(diǎn)M是直線x＋y＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P(，－1)，則|PM|的最小值為(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：選B　|PM|的最小值即點(diǎn)P(，－1)到直線x＋y＝2的距離，又＝1，故|PM|的最小值為1. 4．(2018·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　∵ax＋y＋1＝0與(a＋2)x－3y－

45、2＝0垂直， ∴a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3. ∴“a＝1”是兩直線垂直的充分不必要條件． 5．已知點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)，若線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：選C　∵A(1，－2)和B(m,2)的中點(diǎn)在直線x＋2y－2＝0上， ∴＋2×0－2＝0， ∴m＝3. 6．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)△AOB的面積取得最小值時(shí)，直線l的方程為(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y

46、＋1＝0 解析：選A　由題可知，直線l的斜率k存在，且k<0，則直線l的方程為y－2＝k(x－1)． ∴A，B(0,2－k)， ∴S△OAB＝(2－k)＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－2時(shí)取等號(hào)． ∴直線l的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 7．(2018·豫南九校質(zhì)量考評(píng))若直線x＋ay－2＝0與以A(3,1)，B(1,2)為端點(diǎn)的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C. D．(－∞，－1)∪ 解析：選D　直線x＋ay－2＝0過(guò)定點(diǎn)C(2,0)，直線CB的斜率kCB＝－2，直線CA的斜率kCA＝1，所

47、以由題意可得a≠0且－2<－<1，解得a<－1或a>. 8．已知P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)，則方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線 B．過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線 C．不過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線 D．不過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線 解析：選D　因?yàn)镻(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0外一點(diǎn)，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0. 若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0， 則Ax＋By＋C＋k＝0. 因?yàn)橹本€Ax＋By＋C＋k＝0和直線l斜率相等， 但在y軸上的截距不相等， 故直線Ax＋By＋C＋

48、k＝0和直線l平行． 因?yàn)锳x0＋By0＋C＝k，且k≠0， 所以Ax0＋By0＋C＋k≠0， 所以直線Ax＋By＋C＋k＝0不過(guò)點(diǎn)P，故選D. 二、填空題 9．已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：由題意及點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得a＝－或－. 答案：－或－ 10．與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為6的直線方程是________________． 解析：由平行關(guān)系設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋c＝0, 令x＝0，可得y＝－；令y＝0，可得x＝－， ∴－－＝6，解得c＝－，

49、 ∴所求直線方程為2x＋3y－＝0, 化為一般式可得10x＋15y－36＝0. 答案：10x＋15y－36＝0 11．已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為_(kāi)_______． 解析：直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直線l1與l2的距離為＝. 答案： 12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,2)，對(duì)于任意不全為零的實(shí)數(shù)a，b，直線l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是____________． 解析：由題意，直線

50、過(guò)定點(diǎn)Q(1，－2)，PQ⊥l時(shí)，d取得最大值＝5, 直線l過(guò)點(diǎn)P時(shí)，d取得最小值0, 所以d的取值范圍[0,5]． 答案：[0,5] 三、解答題 13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)． (1)求方程表示一條直線的條件； (2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程表示的直線與x軸垂直； (3)若方程表示的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)m的值． 解：(1)由解得m＝－1， ∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直線， ∴m2－2m－3,2m2＋m－1不同時(shí)為0，∴m≠－1. 故方程表示一條直線的條

51、件為m≠－1. (2)∵方程表示的直線與x軸垂直， ∴解得m＝. (3)當(dāng)5－2m＝0，即m＝時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0； 當(dāng)m≠時(shí)，由＝，解得m＝－2. 故實(shí)數(shù)m的值為或－2. 14．已知直線m：2x－y－3＝0與直線n：x＋y－3＝0的交點(diǎn)為P. (1)若直線l過(guò)點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程； (2)若直線l1過(guò)點(diǎn)P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，△ABO的面積為4，求直線l1的方程． 解：(1)由得即交點(diǎn)P(2,1)． 由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過(guò)AB的中點(diǎn)． ①由l∥AB，得k

52、l＝kAB＝＝－， 所以直線l的方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0， ②由l過(guò)AB的中點(diǎn)得l的方程為x＝2， 故x＋2y－4＝0或x＝2為所求． (2)法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k＜0. 則直線l1的方程為y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1. 令x＝0，得y＝1－2k＞0， 令y＝0，得x＝>0， ∴S△ABO＝×(1－2k)×＝4，解得k＝－， 故直線l1的方程為y＝－x＋2，即x＋2y－4＝0. 法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a，b存在，且a＞0，b＞0，則l1：＋＝1. 又l1過(guò)點(diǎn)(2,1)，△ABO的面積為4， ∴解得

53、 故直線l1的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0. 1．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合)，則△PAB的面積最大值是(　　) A．2 B．5 C. D. 解析：選C　由題意可知，動(dòng)直線x＋my＝0過(guò)定點(diǎn)A(0,0)． 動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0?m(x－1)＋3－y＝0， 因此直線過(guò)定點(diǎn)B(1,3)． 當(dāng)m＝0時(shí)，兩條直線分別為x＝0，y＝3，交點(diǎn)P(0,3)， S△PAB＝×1×3＝. 當(dāng)m≠0時(shí)，兩條直線的斜率分別為－，m， 則－·m＝－1，因此兩條直線相互垂直． 當(dāng)|PA|＝|

54、PB|時(shí)，△PAB的面積取得最大值． 由|PA|＝|AB|＝＝， 解得|PA|＝. ∴S△PAB＝|PA|2＝. 綜上可得，△PAB的面積最大值是. 2．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) 解析：選C　設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則解得，即(4，－2)． ∴直線BC所在方程為y－1＝(x－3)， 即3x＋y－10＝0. 聯(lián)立解得可得C(2,4)． 3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,

55、2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)平面上任一點(diǎn)M，因?yàn)閨MA|＋|MC|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時(shí)取等號(hào)，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時(shí)取等號(hào)，連接AC，BD交于一點(diǎn)M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，則點(diǎn)M為所求． ∵kAC＝＝2， ∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.① 又∵kBD＝＝－1， ∴直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.② 由①②得∴即M(2,4)． 答案：(2,4) 高考研究課(二) 圓的方程命題3角度

56、——求方程、算最值、定軌跡 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 圓的方程 5年4考 求圓的方程及先求圓的方程再考查應(yīng)用 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 5年1考 求范圍 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 未考查 圓的方程　　　　 圓的方程的求法，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法： (1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量. (2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解. [典例]　求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程． [解]　法一：用“幾何法”解題 由題意知kAB＝2，A

57、B的中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)， ∵圓過(guò)A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 則解得∴C(2,1)， ∴r＝|CA|＝＝. ∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：用“代數(shù)法”解題 設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則解得 故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法三：用“代數(shù)法”解題 設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 則解得 ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0. [方法技巧] 求圓的方程的方法 (1)方程選擇原則 若條件中圓

58、心坐標(biāo)明確時(shí)，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時(shí)，常設(shè)為一般方程． (2)求圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程的主要方法是代數(shù)法，大致步驟如下： ①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．　　 [即時(shí)演練] 根據(jù)下列條件，求圓的方程． (1)已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－6)，B(1，－5)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上； (2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)． 解：(1)法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－

59、4F>0)，則圓心坐標(biāo)為. 由題意可得解得 所以圓的方程為x2＋y2＋6x＋4y－12＝0. 法二：因?yàn)锳(0，－6)，B(1，－5)， 所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為， 直線AB的斜率kAB＝＝1， 因此線段AB的垂直平分線的方程是 y＋＝－，即x＋y＋5＝0. 則圓心C的坐標(biāo)是方程組的解， 解得所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)． 圓的半徑長(zhǎng)r＝|AC|＝＝5， 所以圓的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)法一：如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0，－4x0)，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝

60、8. 法二：設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2， 根據(jù)已知條件得 解得 因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題　　　　 　　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想． 常見(jiàn)的命題角度有： (1)斜率型最值問(wèn)題； (2)截距型最值問(wèn)題； (3)距離型最值問(wèn)題； (4)距離和(差)的最值問(wèn)題； (5)三角形的面積的最值問(wèn)題． 角度一：斜率型最值問(wèn)題 1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值． 解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)為圓心，為半徑

61、的圓． 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值， 此時(shí)＝， 解得k＝±. 所以的最大值為，最小值為－. 角度二：截距型最值問(wèn)題 2．在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值． 解：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. 角度三：距離型最值問(wèn)題 3．設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　

62、　) A．6　　　　　　　　　　 B．25 C．26 D．36 解析：選D　(x－5)2＋(y＋4)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，－4)的距離的平方，又點(diǎn)(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5， 則點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36. 角度四：距離和(差)的最值問(wèn)題 4．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4　　　　　　　　B.－1 C．6－2 D. 解析：選A　圓

63、心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′(2，－3)，連接C1′C2與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|＋|PN|取得最小值，為|C1′C2|－1－3＝5－4. 角度五：三角形的面積的最值問(wèn)題 5．已知兩點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　) A．2，(4－) B.(4＋)，(4－) C.，4－ D.(＋2)，(－2) 解析：選B　直線AB的方程為＋＝1， 即2x－y＋2＝0， 圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，則點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為＋1，最小值為－1， 又|AB|

64、＝，則(S△PAB)max＝××＝(4＋)，(S△PAB)min＝××＝(4－)，故選B. [方法技巧] 求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的2大規(guī)律 (1)借助幾何性質(zhì)求最值 處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解． (2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值 根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式法、參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的．　　 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 [典例]　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段A

65、P中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)． 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.

66、[方法技巧] 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的4種常用方法 直接法 直接根據(jù)題目提供的條件列出方程 定義法 根據(jù)圓、直線等定義列方程 幾何法 利用圓的幾何性質(zhì)列方程 代入法 找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等 [即時(shí)演練] 1．(2018·唐山調(diào)研)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：選A　設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 2．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：選D　設(shè)P(x，y)，則由題意知，圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)、半徑為1，∵PA是圓的切線，且|PA