《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九章 平面解析幾何
知識點
最新考綱
直線的方程
理解平面直角坐標系，理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握直線方程的點斜式、兩點式及一般式，了解直線方程與一次函數(shù)的關系.
兩直線的位置關系
能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．
會求過兩點的直線斜率、兩直線的交點坐標、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離．
圓的方程
掌握圓的標準方程與一般方程．
直線、圓的位置關系
會解決直線與圓的位置關系的問題，會判斷圓與圓的位置關系．
橢 圓
掌握橢圓的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質．
會解決直線與橢圓的位置關系的問題．
雙曲線
了解雙
2、曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質，了解直線與雙曲線的位置關系．
拋物線
掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質．
會解決直線與拋物線的位置關系的問題．
曲線與方程
了解方程與曲線的對應關系．會求簡單的曲線的方程.
第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程
1．直線的傾斜角
(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°．
(2)傾斜角的范圍為[0，π)．
2．直線的斜率
(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α，傾
3、斜角是90°的直線沒有斜率．
(2)過兩點的直線的斜率公式
經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝＝.
3．直線方程的五種形式
名稱
已知條件
方程
適用范圍
點斜式
斜率k與點(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直線x＝x1
斜截式
斜率k與直線在y軸上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
兩點(x1，y1)，(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)
截距式
直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b
＋＝1
(a
4、≠0，b≠0)
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐標系內的直線都適用
[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α.( )
(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．( )
(4)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
5、( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(必修2P86練習T3改編)若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．
解析：由題意得＝1，解得m＝1.
答案：1
2．(必修2P100A組T8改編)直線3x－4y＋k＝0在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數(shù)k＝________．
解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，則有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24
[易錯糾偏]
(1)由直線方程求斜率的思路不清；
(2)忽視斜率和截距對直線位置的影響；
(3)忽視直線斜率不存在的情況；
(4)
6、忽視截距為0的情況．
1．直線l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率為________．
解析：設直線l的斜率為k，則k＝－＝.
答案：
2．如果A·C<0且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第________象限．
解析：由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．
答案：三
3．過直線l：y＝x上的點P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為________．
解析：①若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x＝2，直線m，直線l和x軸圍成
7、的三角形的面積為2，符合題意；②若直線m的斜率k＝0，則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；③若直線m的斜率k≠0，設其方程為y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依題意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直線m的方程為y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.綜上可知，直線m的方程為x－2y＋2＝0或x＝2.
答案：x－2y＋2＝0或x＝2
4．過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________．
解析：當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；
當截距不為0時，設直線方程為＋＝1，
則＋＝1，解得a＝5，所以直線方程為x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋
8、y－5＝0
直線的傾斜角與斜率
(1)直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的變化范圍是( )
A. B.
C. D.
(2)已知直線l：x－my＋m＝0上存在點M滿足與兩點A(－1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．[－，]
B.∪
C.∪
D．以上都不對
【解析】 (1)直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．設直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即傾斜角的變化范
9、圍是.
(2)設M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
聯(lián)立得x2＋x＋6＝0.
要使直線l：x－my＋m＝0上存在點M滿足與兩點A(－1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則Δ＝－24≥0，即m2≥.所以實數(shù)m的取值范圍是∪.故選C.
【答案】 (1)B (2)C
(變條件)若本例(1)中直線變?yōu)閤＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，則直線的傾斜角α的取值范圍為________．
解析：當cos θ＝0時，方程變?yōu)閤－3＝0，其傾斜角為；
當cos θ≠0時，由直線的方程，可得斜率k＝－.
因為cos θ∈[－1，1]且cos
10、 θ≠0，
所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，所以α∈∪，
綜上知，直線的傾斜角α的取值范圍是.
答案：
(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟
①求出斜率k＝tan α的取值范圍．
②利用三角函數(shù)的單調性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．
[提醒] 求傾斜角時要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率．
②公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
1
11、．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈∪，則k的取值范圍是________．
解析：當α∈時，k＝tan α∈；
當α∈時，k＝tan α∈[－，0)．
綜上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
2．若經(jīng)過點P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由條件知直線的斜率存在，
由斜率公式得k＝.
因為傾斜角為銳角，所以k>0，解得a>1或a<－2.
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
求直線的方程
(1)過點(－4，0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為________．
(2)過點M(－3，
12、5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________．
(3)若直線過點(5，10)，且到原點的距離為5，則該直線的方程為________．
【解析】 (1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式．
設傾斜角為α，則sin α＝(0＜α＜π)，
從而cos α＝±，則k＝tan α＝±.
故所求直線方程為y＝±(x＋4)．即直線方程為x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)①當直線過原點時，直線方程為y＝－x；
②當直線不過原點時，設直線方程為＋＝1，
即x－y＝a.代入點(－3，5)，得a＝－8.
即直線方程為x－y＋8＝0.
綜上直線方程為y＝－x或x
13、－y＋8＝0.
(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0；
當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.
由點線距離公式，得＝5，解得k＝.
故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.
綜上所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
【答案】 (1)x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0
(2)y＝－x或x－y＋8＝0
(3)x－5＝0或3x－4y＋25＝0
(1)求直線方程的兩種常用方法
①直接法：根據(jù)已知條件，確定適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；
②待定系數(shù)法：先設出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定的系
14、數(shù)，最后代入求出直線的方程．
(2)求直線方程應注意的問題
①選擇直線方程時，應注意分類討論思想的應用：選用點斜式或斜截式時，需討論直線的斜率是否存在；選用截距式時，需討論直線是否過原點．
②求直線方程時，如果沒有特別要求，求出的方程應化為一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)．
1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，則△ABC的BC邊上的高所在的直線方程為( )
A．x＋y＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0
D．x－y＝0
解析：選B.因為B(3，1)，C(1，3)，
所以kBC＝＝－1，
故BC邊上的高所在直線的斜率k＝1，
15、又高線經(jīng)過點A，所以其直線方程為x－y＋2＝0.
2．過點M(－1，－2)作一條直線l，使得l夾在兩坐標軸之間的線段被點M平分，則直線l的方程為________．
解析：由題意，可設所求直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直線l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，則A，B(0，k－2)．因為AB的中點為M，所以解得k＝－2.所以所求直線l的方程為2x＋y＋4＝0.
答案：2x＋y＋4＝0
直線方程的綜合應用(高頻考點)
直線方程的綜合應用是解析幾何的一個基礎內容，在高考中常與其他知識結合考查，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度為中、低檔題目．主要命題角度有：
16、(1)與基本不等式相結合求最值問題；
(2)由直線方程解決參數(shù)問題．
角度一 與基本不等式相結合求最值問題
(2020·杭州七校聯(lián)考)直線l過點P(1，4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點，O為坐標原點，當|OA|＋|OB|最小時，求l的方程．
【解】 依題意，l的斜率存在，且斜率為負，
設直線l的斜率為k，
則直線l的方程為y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－
＝5＋≥5＋4＝9.
所以當且僅當－k＝且k<0，
即k＝－2時，|OA|＋|OB|取最小值．
這時l
17、的方程為2x＋y－6＝0.
(變問法)在本例條件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．
解：|PA|·|PB|＝ ·
＝－(1＋k2)＝4≥8(k<0)．
所以當且僅當＝－k且k<0，
即k＝－1時，|PA|·|PB|取最小值．
這時l的方程為x＋y－5＝0.
角度二 由直線方程解決參數(shù)問題
已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，求實數(shù)a的值．
【解】 由題意知直線l1，l2恒過定點P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2
18、＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，當a＝時，面積最?。?
直線方程綜合問題的兩大類型及其解法
(1)求解與直線方程有關的最值問題
先設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．
(2)求參數(shù)值或范圍
注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的單調性或基本不等式求解．
1．直線x－2y＋b＝0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
解析：選C.令x＝0，得y＝，令y＝
19、0，得x＝－b，
所以所求三角形的面積為|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2，0)∪(0，2]．
2．已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．
解析：直線方程可化為＋y＝1，故直線與x軸的交點為A(2，0)，與y軸的交點為B(0，1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故當b＝時，ab取得最大值.
答案：
核心素養(yǎng)系列18 直觀想象——巧構造，妙用斜率求解問
20、題
一、比較大小
已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，則，，的大小關系為________．
【解析】 作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的大致圖象，如圖所示，可知當x>0時，曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，
因為a>b>c>0，
所以<<.
【答案】 <<
對于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(a，f(a))，(b，f(b))，比較與的大小時，可轉化為這兩點與原點連線的斜率來比較大?。?
二、求最值
已知實數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，試求的最大值和最小值．
【解】 如圖，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的圖象(曲
21、線段AB)，則表示定點P(－2，－3)和曲線段AB上任一點(x，y)的連線的斜率k，連接PA，PB，則kPA≤k≤kPB.
易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
對于求形如k＝，y＝的最值問題，可利用定點與動點的相對位置，轉化為求直線斜率的范圍，借助數(shù)形結合進行求解．
三、證明不等式
已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a.
【證明】 如圖，設點P，M的坐標分別為(b，a)，(－m，－m)．
因為00，所以點M在第三象限，且在直
22、線y＝x上．
連接OP，PM，則kOP＝，kMP＝.
因為直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角，且兩條直線的傾斜角都是銳角，
所以kMP>kOP，即>.
根據(jù)所證不等式的特點，尋找與斜率公式有關的信息，從而轉變思維角度，構造直線斜率解題，這也是解題中思維遷移的一大技巧，可取得意想不到的效果．
[基礎題組練]
1．(2020·麗水模擬)傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是( )
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
解析：選D.由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－
23、(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：選A.因為直線x－2y－4＝0的斜率為，
所以直線l在y軸上的截距為2，
所以直線l的方程為y＝x＋2.
3．直線xsin 2－ycos 2＝0的傾斜角的大小是( )
A．－ B．－2
C. D．2
解析：選D.因為直線xsin 2－ycos 2＝0的斜率k＝＝tan 2，所以直線的傾斜角為2.
4．已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，當x＜0時
24、，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直線是( )
解析：選C.因為x＜0時，ax＞1，所以0＜a＜1.
則直線y＝ax＋的斜率0＜a＜1，
在y軸上的截距＞1.故選C.
5．(2020·溫州質檢)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為( )
A. B．－
C．－ D.
解析：選B.依題意，設點P(a，1)，Q(7，b)，則有解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為＝－.
6．過點(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝
25、0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
解析：選B.當直線過原點時，由直線過點(5，2)，可得直線的斜率為，故直線的方程為y＝x，即2x－5y＝0.當直線不過原點時，設直線在x軸上的截距為k(k≠0)，則在y軸上的截距是2k，直線的方程為＋＝1，把點(5，2)代入可得＋＝1，解得k＝6.故直線的方程為＋＝1，即2x＋y－12＝0.
7．過點A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－的直線方程為________．
解析：設所求直線的斜率為k，依題意
k＝－×3＝－.
又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)
26、，
即3x＋4y＋15＝0.
答案：3x＋4y＋15＝0
8．若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則a的值為________．
解析：因為kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三點共線，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
9．設點A(－1，0)，B(1，0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________．
解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，
如圖，當直線y＝－2x＋b過點A(－1，0)和點B(1，0)時b分別取得最小值和最大值．
所以b的取值范圍是[－2，2]．
答案：[－2，2]
10．一條直線經(jīng)過點
27、A(－2，2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________________．
解析：設所求直線的方程為＋＝1，
因為A(－2，2)在直線上，所以－＋＝1.①
又因為直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，
所以|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程組(2)無解．
故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
11．設直線l的方程為x＋my－2m＋6＝0，根據(jù)下列條件分別確定m的值：
(1)直線l的斜率為1；
(2)直線l在x軸上的截
28、距為－3.
解：(1)因為直線l的斜率存在，所以m≠0，
于是直線l的方程可化為y＝－x＋.
由題意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.
由題意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直線l的方程可化為x＝－my＋2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝.
12．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．
解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依題意得
解得k＞0.
因為S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·
29、＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k＞0且4k＝，
即k＝，所以Smin＝4，
此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.
[綜合題組練]
1．(2020·富陽市場口中學高三質檢)已知點A(2，－3)、B(－3，－2)，直線l過點P(1，1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是( )
A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－
C．－4≤k≤ D.≤k≤4
解析：選A.如圖所示，由題意得，所求直線l的斜率k滿足k≥kPB或k≤kPA，即k≥或k≤－4，故選A.
2．已知動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過點P(1，m)且Q(4，
30、0)到動直線l的最大距離為3，則＋的最小值為( )
A. B.
C．1 D．9
解析：選B.因為動直線l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過點P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，則＋＝(a＋c)·＝≥＝，當且僅當c＝2a＝時取等號，故選B.
3．(2020·金麗衢十二校高考模擬)直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過定點________，P(1，1)到該直線的距離的最大值為________．
解析：直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令，解得x＝
31、－2，y＝3.
所以直線l恒過定點Q(－2，3)，
P(1，1)到該直線的距離最大值為|PQ|＝＝.
答案：(－2，3)
4．直線l的傾斜角是直線4x＋3y－1＝0的傾斜角的一半，若l不過坐標原點，則l在x軸上與y軸上的截距之比為________．
解析：設直線l的傾斜角為θ.所以tan 2θ＝－.
＝－，所以tan θ＝2或tan θ＝－，
由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．
所以tan θ＝2.
又設l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.
所以tan θ＝－.即＝－＝－.
答案：－
5.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，
32、過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程．
解：由題意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
設A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中點C，
由點C在直線y＝x上，且A，P，B三點共線得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0.
6．為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內建一個矩形草坪(如圖)，另外△EFA內部有一文物
33、保護區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應如何設計才能使草坪面積最大？
解：如圖所示，建立平面直角坐標系，則E(30，0)，F(xiàn)(0，20)，
所以直線EF的方程為＋＝1(0≤x≤30)．
易知當矩形草坪的一個頂點在EF上時，可取最大值，
在線段EF上取點P(m，n)，作PQ⊥BC于點Q，
PR⊥CD于點R，設矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m.
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以當m＝5時，S有最大值，這時＝5∶1.
所以當矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分有向線段EF成5∶1時，草坪面積最大．
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（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案
