《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九章 平面解析幾何知識點最新考綱直線的方程理解平面直角坐標系，理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握直線方程的點斜式、兩點式及一般式，了解直線方程與一次函數(shù)的關系.兩直線的位置關系 能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直 會求過兩點的直線斜率、兩直線的交點坐標、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離圓的方程掌握圓的標準方程與一般方程直線、圓的位置關系會解決直線與圓的位置關系的問題，會判斷圓與圓的位置關系橢 圓 掌握橢圓的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質 會解決直線與橢圓的位置關系的問題雙曲線了解雙曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質，了解直線與雙曲線的位置關系拋物
2、線 掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質 會解決直線與拋物線的位置關系的問題曲線與方程了解方程與曲線的對應關系會求簡單的曲線的方程.第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角當直線與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0(2)傾斜角的范圍為0，)2直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即ktan ，傾斜角是90的直線沒有斜率(2)過兩點的直線的斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.3直線方程的五種形式名稱已知
3、條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x1，y1)yy1k(xx1)不含直線xx1斜截式斜率k與直線在y軸上的截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式 直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b1(a0，b0)不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內的直線都適用疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(2)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(4)經(jīng)過點P(x0，
4、y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修2P86練習T3改編)若過點M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為_解析：由題意得1，解得m1.答案：12(必修2P100A組T8改編)直線3x4yk0在兩坐標軸上的截距之和為2，則實數(shù)k_解析：令x0，得y； 令y0，得x，則有2，所以k24.答案：24易錯糾偏(1)由直線方程求斜率的思路不清；(2)忽視斜率和截距對直線位置的影響；(3)忽視
5、直線斜率不存在的情況；(4)忽視截距為0的情況1直線l：xsin 30ycos 150a0的斜率為_解析：設直線l的斜率為k，則k.答案：2如果AC0且BC0，在y軸上的截距0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限答案：三3過直線l：yx上的點P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為_解析：若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；若直線m的斜率k0，則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；若直線m的斜率k0，設其方程為y2k(x2)，令y0，得x2，依題意有22，即1，解得k，所以直線m的方程為
6、y2(x2)，即x2y20.綜上可知，直線m的方程為x2y20或x2.答案：x2y20或x24過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為_解析：當截距為0時，直線方程為3x2y0；當截距不為0時，設直線方程為1，則1，解得a5，所以直線方程為xy50.答案：3x2y0或xy50直線的傾斜角與斜率 (1)直線2xcos y30的傾斜角的變化范圍是()A.B.C. D.(2)已知直線l：xmym0上存在點M滿足與兩點A(1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實數(shù)m的取值范圍是()A，B.C.D以上都不對【解析】(1)直線2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以c
7、os ，因此k2cos 1，設直線的傾斜角為，則有tan 1，由于0，)，所以，即傾斜角的變化范圍是.(2)設M(x，y)，由kMAkMB3，得3，即y23x23.聯(lián)立得x2x60.要使直線l：xmym0上存在點M滿足與兩點A(1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則240，即m2.所以實數(shù)m的取值范圍是.故選C.【答案】(1)B(2)C (變條件)若本例(1)中直線變?yōu)閤ycos 30(R)，則直線的傾斜角的取值范圍為_解析：當cos 0時，方程變?yōu)閤30，其傾斜角為；當cos 0時，由直線的方程，可得斜率k.因為cos 1，1且cos 0，所以k(，11，)，即tan (
8、，11，)，又0，)，所以，綜上知，直線的傾斜角的取值范圍是.答案：(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟求出斜率ktan 的取值范圍利用三角函數(shù)的單調性，借助圖象，確定傾斜角的取值范圍提醒求傾斜角時要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率 1若直線l的斜率為k，傾斜角為，且，則k的取值范圍是_解析：當時，ktan ；當時，ktan ，0)綜上k，0).答案：，0)2若經(jīng)過點P(1a，1a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)a的取
9、值范圍是_解析：由條件知直線的斜率存在，由斜率公式得k.因為傾斜角為銳角，所以k0，解得a1或a2.答案：(，2)(1，)求直線的方程 (1)過點(4，0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為_(2)過點M(3，5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(3)若直線過點(5，10)，且到原點的距離為5，則該直線的方程為_【解析】(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設傾斜角為，則sin (0)，從而cos ，則ktan .故所求直線方程為y(x4)即直線方程為x3y40或x3y40.(2)當直線過原點時，直線方程為yx；當直線不過原點時，設直線方程為1，即xya.代入點(3，5)，得
10、a8.即直線方程為xy80.綜上直線方程為yx或xy80.(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x50；當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點線距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上所求直線方程為x50或3x4y250.【答案】(1)x3y40或x3y40(2)yx或xy80(3)x50或3x4y250(1)求直線方程的兩種常用方法直接法：根據(jù)已知條件，確定適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；待定系數(shù)法：先設出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定的系數(shù)，最后代入求出直線的方程(2)求直線方程應注意的問題選擇直線方程時，應注意分類
11、討論思想的應用：選用點斜式或斜截式時，需討論直線的斜率是否存在；選用截距式時，需討論直線是否過原點求直線方程時，如果沒有特別要求，求出的方程應化為一般式AxByC0(A，B不同時為0) 1已知A(1，1)，B(3，1)，C(1，3)，則ABC的BC邊上的高所在的直線方程為()Axy0Bxy20Cxy20Dxy0解析：選B.因為B(3，1)，C(1，3)，所以kBC1，故BC邊上的高所在直線的斜率k1，又高線經(jīng)過點A，所以其直線方程為xy20.2過點M(1，2)作一條直線l，使得l夾在兩坐標軸之間的線段被點M平分，則直線l的方程為_解析：由題意，可設所求直線l的方程為y2k(x1)(k0)，直線
12、l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，則A，B(0，k2)因為AB的中點為M，所以解得k2.所以所求直線l的方程為2xy40.答案：2xy40直線方程的綜合應用(高頻考點)直線方程的綜合應用是解析幾何的一個基礎內容，在高考中常與其他知識結合考查，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度為中、低檔題目主要命題角度有：(1)與基本不等式相結合求最值問題；(2)由直線方程解決參數(shù)問題角度一與基本不等式相結合求最值問題 (2020杭州七校聯(lián)考)直線l過點P(1，4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點，O為坐標原點，當|OA|OB|最小時，求l的方程【解】依題意，l的斜率存在，且斜率為負，設直線l的斜
13、率為k，則直線l的方程為y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.所以當且僅當k且k0，即k2時，|OA|OB|取最小值這時l的方程為2xy60. (變問法)在本例條件下，若|PA|PB|最小，求l的方程解：|PA|PB| (1k2)48(k0)所以當且僅當k且kbc0，則，的大小關系為_【解析】作出函數(shù)f(x)log2(x1)的大致圖象，如圖所示，可知當x0時，曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，因為abc0，所以.【答案】對于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(a，f(a)，(b，f(b)，比較與的大小時，可轉化為這兩點與原點連線的斜率
14、來比較大小 二、求最值 已知實數(shù)x，y滿足yx22x2(1x1)，試求的最大值和最小值【解】如圖，作出yx22x2(1x1)的圖象(曲線段AB)，則表示定點P(2，3)和曲線段AB上任一點(x，y)的連線的斜率k，連接PA，PB，則kPAkkPB.易得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA，kPB8，所以k8，故的最大值是8，最小值是.對于求形如k，y的最值問題，可利用定點與動點的相對位置，轉化為求直線斜率的范圍，借助數(shù)形結合進行求解 三、證明不等式 已知a，b，m(0，)，且a.【證明】如圖，設點P，M的坐標分別為(b，a)，(m，m)因為0a0，所以點M在第三象限，且在直線yx上連接OP，
15、PM，則kOP，kMP.因為直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角，且兩條直線的傾斜角都是銳角，所以kMPkOP，即.根據(jù)所證不等式的特點，尋找與斜率公式有關的信息，從而轉變思維角度，構造直線斜率解題，這也是解題中思維遷移的一大技巧，可取得意想不到的效果 基礎題組練1(2020麗水模擬)傾斜角為120，在x軸上的截距為1的直線方程是()A.xy10B.xy0C.xy0 D.xy0解析：選D.由于傾斜角為120，故斜率k.又直線過點(1，0)，所以方程為y(x1)，即xy0.2已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx
16、2解析：選A.因為直線x2y40的斜率為，所以直線l在y軸上的截距為2，所以直線l的方程為yx2.3直線xsin 2ycos 20的傾斜角的大小是()A B2C. D2解析：選D.因為直線xsin 2ycos 20的斜率ktan 2，所以直線的傾斜角為2.4已知函數(shù)f(x)ax(a0且a1)，當x0時，f(x)1，方程yax表示的直線是()解析：選C.因為x0時，ax1，所以0a1.則直線yax的斜率0a1，在y軸上的截距1.故選C.5(2020溫州質檢)若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B.依題意，設點P(
17、a，1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為.6過點(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析：選B.當直線過原點時，由直線過點(5，2)，可得直線的斜率為，故直線的方程為yx，即2x5y0.當直線不過原點時，設直線在x軸上的截距為k(k0)，則在y軸上的截距是2k，直線的方程為1，把點(5，2)代入可得1，解得k6.故直線的方程為1，即2xy120.7過點A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的的直線方程為_解析：設所求直線的斜率為k，依題意k3.又直線經(jīng)過點A(1，3
18、)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.答案：3x4y1508若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則a的值為_解析：因為kAC1，kABa3.由于A，B，C三點共線，所以a31，即a4.答案：49設點A(1，0)，B(1，0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當直線y2xb過點A(1，0)和點B(1，0)時b分別取得最小值和最大值所以b的取值范圍是2，2答案：2，210一條直線經(jīng)過點A(2，2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_解析：設所求直線的方程為1，因為A(2，2)在直線上
19、，所以1.又因為直線與坐標軸圍成的三角形面積為1，所以|a|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程答案：x2y20或2xy2011設直線l的方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解：(1)因為直線l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yx.由題意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由題意得2m63，解得m.法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得m.12已知直線l：kxy12k0(kR)若直線l交x軸負
20、半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程解：由l的方程，得A，B(0，12k)依題意得解得k0.因為S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的條件是k0且4k，即k，所以Smin4，此時直線l的方程為x2y40.綜合題組練1(2020富陽市場口中學高三質檢)已知點A(2，3)、B(3，2)，直線l過點P(1，1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()Ak或k4 Bk或kC4k D.k4解析：選A.如圖所示，由題意得，所求直線l的斜率k滿足kkPB或kkPA，即k或k4，故選A.2已知動直線l：axbyc20(a0，c0)
21、恒過點P(1，m)且Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，則的最小值為()A. B.C1 D9解析：選B.因為動直線l：axbyc20(a0，c0)恒過點P(1，m)，所以abmc20，又Q(4，0)到動直線l的最大距離為3，所以3，解得m0，所以ac2，則(ac)，當且僅當c2a時取等號，故選B.3(2020金麗衢十二校高考模擬)直線l：xy230(R)恒過定點_，P(1，1)到該直線的距離的最大值為_解析：直線l：xy230(R)即(y3)x20，令，解得x2，y3.所以直線l恒過定點Q(2，3)，P(1，1)到該直線的距離最大值為|PQ|.答案：(2，3)4直線l的傾斜角是直線4x3y1
22、0的傾斜角的一半，若l不過坐標原點，則l在x軸上與y軸上的截距之比為_解析：設直線l的傾斜角為.所以tan 2.，所以tan 2或tan ，由20，180)知，0，90)所以tan 2.又設l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.所以tan .即.答案：5.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線yx上時，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點C，由點C在直線yx上，且A，P，B
23、三點共線得解得m，所以A(，)又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.6為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內建一個矩形草坪(如圖)，另外EFA內部有一文物保護區(qū)不能占用，經(jīng)測量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，應如何設計才能使草坪面積最大？解：如圖所示，建立平面直角坐標系，則E(30，0)，F(xiàn)(0，20)，所以直線EF的方程為1(0x30)易知當矩形草坪的一個頂點在EF上時，可取最大值，在線段EF上取點P(m，n)，作PQBC于點Q，PRCD于點R，設矩形PQCR的面積為S，則S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，所以n20m.所以S(100m)(m5)2(0m30)所以當m5時，S有最大值，這時51.所以當矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分有向線段EF成51時，草坪面積最大17
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學案
