（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程教學(xué)案

第九章 平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)最新考綱直線的方程理解平面直角坐標(biāo)系，理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，了解直線方程與一次函數(shù)的關(guān)系.兩直線的位置關(guān)系 能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直 會(huì)求過兩點(diǎn)的直線斜率、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離圓的方程掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程直線、圓的位置關(guān)系會(huì)解決直線與圓的位置關(guān)系的問題，會(huì)判斷圓與圓的位置關(guān)系橢 圓 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 會(huì)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的問題雙曲線了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解直線與雙曲線的位置關(guān)系拋物線 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 會(huì)解決直線與拋物線的位置關(guān)系的問題曲線與方程了解方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系會(huì)求簡(jiǎn)單的曲線的方程.第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°(2)傾斜角的范圍為0，)2直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即ktan ，傾斜角是90°的直線沒有斜率(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.3直線方程的五種形式名稱已知條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x1，y1)yy1k(xx1)不含直線xx1斜截式斜率k與直線在y軸上的截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式 直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b1(a0，b0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(2)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等()(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)教材衍化1(必修2P86練習(xí)T3改編)若過點(diǎn)M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為_解析：由題意得1，解得m1.答案：12(必修2P100A組T8改編)直線3x4yk0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k_解析：令x0，得y； 令y0，得x，則有2，所以k24.答案：24易錯(cuò)糾偏(1)由直線方程求斜率的思路不清；(2)忽視斜率和截距對(duì)直線位置的影響；(3)忽視直線斜率不存在的情況；(4)忽視截距為0的情況1直線l：xsin 30°ycos 150°a0的斜率為_解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k.答案：2如果A·C<0且B·C<0，那么直線AxByC0不通過第_象限解析：由已知得直線AxByC0在x軸上的截距>0，在y軸上的截距>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限答案：三3過直線l：yx上的點(diǎn)P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為_解析：若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；若直線m的斜率k0，則直線m與x軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；若直線m的斜率k0，設(shè)其方程為y2k(x2)，令y0，得x2，依題意有××22，即1，解得k，所以直線m的方程為y2(x2)，即x2y20.綜上可知，直線m的方程為x2y20或x2.答案：x2y20或x24過點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_解析：當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x2y0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為1，則1，解得a5，所以直線方程為xy50.答案：3x2y0或xy50直線的傾斜角與斜率 (1)直線2xcos y30的傾斜角的變化范圍是()A.B.C. D.(2)已知直線l：xmym0上存在點(diǎn)M滿足與兩點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A，B.C.D以上都不對(duì)【解析】(1)直線2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1，由于0，)，所以，即傾斜角的變化范圍是.(2)設(shè)M(x，y)，由kMA·kMB3，得·3，即y23x23.聯(lián)立得x2x60.要使直線l：xmym0上存在點(diǎn)M滿足與兩點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)連線的斜率kMA與kMB之積為3，則240，即m2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選C.【答案】(1)B(2)C (變條件)若本例(1)中直線變?yōu)閤ycos 30(R)，則直線的傾斜角的取值范圍為_解析：當(dāng)cos 0時(shí)，方程變?yōu)閤30，其傾斜角為；當(dāng)cos 0時(shí)，由直線的方程，可得斜率k.因?yàn)閏os 1，1且cos 0，所以k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，所以，綜上知，直線的傾斜角的取值范圍是.答案：(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟求出斜率ktan 的取值范圍利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角的取值范圍提醒求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率 1若直線l的斜率為k，傾斜角為，且，則k的取值范圍是_解析：當(dāng)時(shí)，ktan ；當(dāng)時(shí)，ktan ，0)綜上k，0).答案：，0)2若經(jīng)過點(diǎn)P(1a，1a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由條件知直線的斜率存在，由斜率公式得k.因?yàn)閮A斜角為銳角，所以k>0，解得a>1或a<2.答案：(，2)(1，)求直線的方程 (1)過點(diǎn)(4，0)，傾斜角的正弦值為的直線方程為_(2)過點(diǎn)M(3，5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(3)若直線過點(diǎn)(5，10)，且到原點(diǎn)的距離為5，則該直線的方程為_【解析】(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即直線方程為x3y40或x3y40.(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為yx；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為1，即xya.代入點(diǎn)(3，5)，得a8.即直線方程為xy80.綜上直線方程為yx或xy80.(3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點(diǎn)線距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上所求直線方程為x50或3x4y250.【答案】(1)x3y40或x3y40(2)yx或xy80(3)x50或3x4y250(1)求直線方程的兩種常用方法直接法：根據(jù)已知條件，確定適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定的系數(shù)，最后代入求出直線的方程(2)求直線方程應(yīng)注意的問題選擇直線方程時(shí)，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用：選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，需討論直線的斜率是否存在；選用截距式時(shí)，需討論直線是否過原點(diǎn)求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的方程應(yīng)化為一般式AxByC0(A，B不同時(shí)為0) 1已知A(1，1)，B(3，1)，C(1，3)，則ABC的BC邊上的高所在的直線方程為()Axy0Bxy20Cxy20Dxy0解析：選B.因?yàn)锽(3，1)，C(1，3)，所以kBC1，故BC邊上的高所在直線的斜率k1，又高線經(jīng)過點(diǎn)A，所以其直線方程為xy20.2過點(diǎn)M(1，2)作一條直線l，使得l夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被點(diǎn)M平分，則直線l的方程為_解析：由題意，可設(shè)所求直線l的方程為y2k(x1)(k0)，直線l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則A，B(0，k2)因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M，所以解得k2.所以所求直線l的方程為2xy40.答案：2xy40直線方程的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))直線方程的綜合應(yīng)用是解析幾何的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，在高考中常與其他知識(shí)結(jié)合考查，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度為中、低檔題目主要命題角度有：(1)與基本不等式相結(jié)合求最值問題；(2)由直線方程解決參數(shù)問題角度一與基本不等式相結(jié)合求最值問題 (2020·杭州七校聯(lián)考)直線l過點(diǎn)P(1，4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|OA|OB|最小時(shí)，求l的方程【解】依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y4k(x1)(k<0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.所以當(dāng)且僅當(dāng)k且k<0，即k2時(shí)，|OA|OB|取最小值這時(shí)l的方程為2xy60. (變問法)在本例條件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程解：|PA|·|PB| ·(1k2)48(k<0)所以當(dāng)且僅當(dāng)k且k<0，即k1時(shí)，|PA|·|PB|取最小值這時(shí)l的方程為xy50. 角度二由直線方程解決參數(shù)問題 已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值【解】由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a4，當(dāng)a時(shí)，面積最小直線方程綜合問題的兩大類型及其解法(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解 1直線x2yb0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A2，2B(，22，)C2，0)(0，2D(，)解析：選C.令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形的面積為|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b的取值范圍是2，0)(0，22已知直線x2y2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為_解析：直線方程可化為y1，故直線與x軸的交點(diǎn)為A(2，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，1)，由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，可知0b1，且a2b2，從而a22b，故ab(22b)b2b22b2，由于0b1，故當(dāng)b時(shí)，ab取得最大值.答案：核心素養(yǎng)系列18直觀想象巧構(gòu)造，妙用斜率求解問題一、比較大小 已知函數(shù)f(x)log2(x1)，且a>b>c>0，則，的大小關(guān)系為_【解析】作出函數(shù)f(x)log2(x1)的大致圖象，如圖所示，可知當(dāng)x>0時(shí)，曲線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨x的增大而減小，因?yàn)閍>b>c>0，所以<<.【答案】<<對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)(a，f(a)，(b，f(b)，比較與的大小時(shí)，可轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率來比較大小 二、求最值 已知實(shí)數(shù)x，y滿足yx22x2(1x1)，試求的最大值和最小值【解】如圖，作出yx22x2(1x1)的圖象(曲線段AB)，則表示定點(diǎn)P(2，3)和曲線段AB上任一點(diǎn)(x，y)的連線的斜率k，連接PA，PB，則kPAkkPB.易得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA，kPB8，所以k8，故的最大值是8，最小值是.對(duì)于求形如k，y的最值問題，可利用定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)位置，轉(zhuǎn)化為求直線斜率的范圍，借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解 三、證明不等式 已知a，b，m(0，)，且a<b，求證：>.【證明】如圖，設(shè)點(diǎn)P，M的坐標(biāo)分別為(b，a)，(m，m)因?yàn)?<a<b，所以點(diǎn)P在第一象限，且位于直線yx的下方又m>0，所以點(diǎn)M在第三象限，且在直線yx上連接OP，PM，則kOP，kMP.因?yàn)橹本€MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角，且兩條直線的傾斜角都是銳角，所以kMP>kOP，即>.根據(jù)所證不等式的特點(diǎn)，尋找與斜率公式有關(guān)的信息，從而轉(zhuǎn)變思維角度，構(gòu)造直線斜率解題，這也是解題中思維遷移的一大技巧，可取得意想不到的效果 基礎(chǔ)題組練1(2020·麗水模擬)傾斜角為120°，在x軸上的截距為1的直線方程是()A.xy10B.xy0C.xy0 D.xy0解析：選D.由于傾斜角為120°，故斜率k.又直線過點(diǎn)(1，0)，所以方程為y(x1)，即xy0.2已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：選A.因?yàn)橹本€x2y40的斜率為，所以直線l在y軸上的截距為2，所以直線l的方程為yx2.3直線xsin 2ycos 20的傾斜角的大小是()A B2C. D2解析：選D.因?yàn)橹本€xsin 2ycos 20的斜率ktan 2，所以直線的傾斜角為2.4已知函數(shù)f(x)ax(a0且a1)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，方程yax表示的直線是()解析：選C.因?yàn)閤0時(shí)，ax1，所以0a1.則直線yax的斜率0a1，在y軸上的截距1.故選C.5(2020·溫州質(zhì)檢)若直線l與直線y1，x7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B.依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)，Q(7，b)，則有解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為.6過點(diǎn)(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析：選B.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，由直線過點(diǎn)(5，2)，可得直線的斜率為，故直線的方程為yx，即2x5y0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線在x軸上的截距為k(k0)，則在y軸上的截距是2k，直線的方程為1，把點(diǎn)(5，2)代入可得1，解得k6.故直線的方程為1，即2xy120.7過點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的的直線方程為_解析：設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k×3.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.答案：3x4y1508若點(diǎn)A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點(diǎn)共線，則a的值為_解析：因?yàn)閗AC1，kABa3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a31，即a4.答案：49設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(1，0)，直線2xyb0與線段AB相交，則b的取值范圍是_解析：b為直線y2xb在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y2xb過點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(1，0)時(shí)b分別取得最小值和最大值所以b的取值范圍是2，2答案：2，210一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_解析：設(shè)所求直線的方程為1，因?yàn)锳(2，2)在直線上，所以1.又因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，所以|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無(wú)解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程答案：x2y20或2xy2011設(shè)直線l的方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yx.由題意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由題意得2m63，解得m.法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得m.12已知直線l：kxy12k0(kR)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程解：由l的方程，得A，B(0，12k)依題意得解得k0.因?yàn)镾·|OA|·|OB|··|12k|·×(2×24)4，“”成立的條件是k0且4k，即k，所以Smin4，此時(shí)直線l的方程為x2y40.綜合題組練1(2020·富陽(yáng)市場(chǎng)口中學(xué)高三質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(2，3)、B(3，2)，直線l過點(diǎn)P(1，1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()Ak或k4 Bk或kC4k D.k4解析：選A.如圖所示，由題意得，所求直線l的斜率k滿足kkPB或kkPA，即k或k4，故選A.2已知?jiǎng)又本€l：axbyc20(a0，c0)恒過點(diǎn)P(1，m)且Q(4，0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，則的最小值為()A. B.C1 D9解析：選B.因?yàn)閯?dòng)直線l：axbyc20(a0，c0)恒過點(diǎn)P(1，m)，所以abmc20，又Q(4，0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，所以3，解得m0，所以ac2，則(ac)·，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)取等號(hào)，故選B.3(2020·金麗衢十二校高考模擬)直線l：xy230(R)恒過定點(diǎn)_，P(1，1)到該直線的距離的最大值為_解析：直線l：xy230(R)即(y3)x20，令，解得x2，y3.所以直線l恒過定點(diǎn)Q(2，3)，P(1，1)到該直線的距離最大值為|PQ|.答案：(2，3)4直線l的傾斜角是直線4x3y10的傾斜角的一半，若l不過坐標(biāo)原點(diǎn)，則l在x軸上與y軸上的截距之比為_解析：設(shè)直線l的傾斜角為.所以tan 2.，所以tan 2或tan ，由20°，180°)知，0°，90°)所以tan 2.又設(shè)l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.所以tan .即.答案：5.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線yx上時(shí)，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設(shè)A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點(diǎn)C，由點(diǎn)C在直線yx上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得m，所以A(，)又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.6為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則E(30，0)，F(xiàn)(0，20)，所以直線EF的方程為1(0x30)易知當(dāng)矩形草坪的一個(gè)頂點(diǎn)在EF上時(shí)，可取最大值，在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQBC于點(diǎn)Q，PRCD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則S|PQ|·|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，所以n20m.所以S(100m)(m5)2(0m30)所以當(dāng)m5時(shí)，S有最大值，這時(shí)51.所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分有向線段EF成51時(shí)，草坪面積最大17