2022高考數(shù)學一輪復習 第十四章 坐標系與參數(shù)方程練習 文

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第十四章 坐標系與參數(shù)方程練習 文考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預測熱度1.坐標系1.了解坐標系的作用及直角坐標系內(nèi)的伸縮變換2.了解極坐標的概念,會在極坐標系中刻畫點的位置,能進行極坐標與直角坐標之間的互相轉化3.能在極坐標系中求簡單圖形的極坐標方程2017課標全國,22;2017課標全國,22;2016課標全國,23;2015課標,23解答題2.參數(shù)方程1.了解參數(shù)方程和參數(shù)的意義2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程3.理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,并能用參數(shù)方程解決相關的問題2017課標全國,22;2016課標全國,23;2016課標全國,

2、23;2015課標,232014課標,23填空題、分析解讀坐標系與參數(shù)方程是高考數(shù)學的選考部分,其中極坐標與直角坐標的互化,直線與圓的參數(shù)方程及應用是高考的重點,難度不大,題型一般為解答題,分值為10分,但部分省份可能以填空題的形式出現(xiàn).本章也是對前面所學的解析幾何、平面幾何、三角函數(shù)等知識的綜合應用和進一步的深化,考查學生的轉化與化歸思想的應用.(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).設P(x,y),由題設得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標方程為2(cos2-sin2)=

3、4(00),M的極坐標為(1,)(10).由題設知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程為=4cos (0).因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設點B的極坐標為(B,)(B0).由題設知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.當=-時,S取得最大值2+.所以OAB面積的最大值為2+.4.(2016課標全國,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1

4、)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.解析(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分)將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組(6分)若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(

5、舍去)或a=1.a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013遼寧,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直線C2的極坐標方程分別為=4sin ,cos=2.(1)求C1與C2交點的極坐標;(2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù)),求a,b的值.解析(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0.解得所以C1與C2交點的極坐標為,.(6分)(注:極坐標系下點的表示不唯一.)(2)由(1)可

6、得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3),故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考點二參數(shù)方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐標系中,曲線C:(t為參數(shù))的普通方程為.答案x-y-1=02.(2017課標全國,22,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;(2)若C上的點到l距離的最大值為,求a.解析(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點坐標為

7、(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos ,sin )到l的距離為d=.當a-4時,d的最大值為,由題設得=,所以a=8;當a-4時,d的最大值為,由題設得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.3.(2016課標全國,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圓C的極坐標方程為2+12cos +

8、11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為=(R).設A,B所對應的極徑分別為1,2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.(9分)所以l的斜率為或-.(10分)4.(2016課標全國,23,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin=2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設點P在C1上,點Q在C2上,求

9、|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設點P的直角坐標為(cos ,sin ).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當且僅當=2k+(kZ)時,d()取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.(10分)5.(2016江蘇,21C,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長.解析橢圓C的普通方程為x2+=1.將直線l的參

10、數(shù)方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015課標,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0.在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標;(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.解析(1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標方程為x2+y2-2x=0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標方

11、程為=(R,0),其中0.因此A的極坐標為(2sin ,),B的極坐標為(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.當=時,|AB|取得最大值,最大值為4.教師用書專用(711)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線l1:(s為參數(shù))和直線l2:(t為參數(shù))平行,則常數(shù)a的值為.答案48.(2015陜西,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當P到圓心C的距離最小時,

12、求P的直角坐標.解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設P,又C(0,),則|PC|=,故當t=0時,|PC|取得最小值,此時,P點的直角坐標為(3,0).9.(2014課標,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點P(2cos ,3sin )到l的距離為d=|

13、4cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當sin(+)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.當sin(+)=1時,|PA|取得最小值,最小值為.10.(2014課標,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為=2cos ,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.解析(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t).(2)設D(

14、1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐標為,即.11.(2013課標全國,23,10分)選修44:坐標系與參數(shù)方程已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應參數(shù)分別為t=與t=2(02),M為PQ的中點.(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.解析(1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的軌跡的參數(shù)方程為

15、(為參數(shù),02).(2)M點到坐標原點的距離d=(02,所以圓C2與直線l相離.所以圓C2上的點M到直線l的距離的最大值為d+r=5+2,最小值為d-r=5-2.4.(2017山西太原模擬,22)設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以直角坐標系xOy的O點為極點,Ox軸為極軸,選擇相同的單位長度建立極坐標系,得曲線C的極坐標方程為=.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,并指出曲線是什么曲線;(2)若直線l與曲線C交于A、B兩點,求|AB|.解析(1)由=得sin2=8cos ,2sin2=8cos ,y2=8x,曲線C表示頂點在原點,焦點在x軸正半軸的拋物線.(2)由(t為參數(shù))得y=

16、2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1x2=4,|AB|=|x1-x2|=10.考點二參數(shù)方程5.(2018山西康杰中學等六校12月聯(lián)考,22)在直角坐標系xOy中,已知點P(0,),曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2cos=.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程;(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求|PA|PB|的值.解析(1)由2cos=得cos +sin =,即x+y-=0.由(為參數(shù))得+=1.所以曲線C的普通方程為+=1,直線l的直角坐

17、標方程為x+y-=0.(2)由(1)知:直線l的傾斜角為,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入曲線C的普通方程可得t2+2t-8=0.設方程的兩根為t1,t2,則|PA|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛陽一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t參數(shù),mR),以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為2=(0).(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)已知點P是曲線C2上一點,若點P到曲線C1的最小距離為2,求m的值.解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t,可得C1的普通方程為x-y+m=0.由曲線C2的極坐

18、標方程得32-22cos2=3,0,曲線C2的直角坐標方程為+y2=1(0y1).(2)設曲線C2上任意一點P(cos ,sin ),0,則點P到曲線C1的距離d=.0,cos,2cos-2,當m+0時,m-2=4,即m=6.m=-4-或m=6.7.(2017安徽黃山二模,22)已知曲線C的極坐標方程為=,過點P(1,0)的直線l交曲線C于A,B兩點.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)求|PA|PB|的取值范圍.解析(1)由=得2(1+sin2)=2,故曲線C的直角坐標方程為+y2=1.(2)由題意知,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將代入+y2=1得(cos2+2sin2)t

19、2+2tcos -1=0,設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=,則|PA|PB|=|t1t2|=,|PA|PB|的取值范圍為.8.(2017廣東廣州聯(lián)考,22)以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0),曲線C的極坐標方程為cos2=4sin .(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,當變化時,求|AB|的最小值.解析(1)由(t為參數(shù))消去t得xcos -ysin +sin =0.所以直線l的普通方程為xcos -ysin +sin =0,由cos2=4sin

20、 得(cos )2=4sin ,把x=cos ,y=sin 代入上式,得x2=4y,所以曲線C的直角坐標方程為x2=4y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入x2=4y,得t2sin2-4tcos -4=0,設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=,0,當=時,|AB|取最小值4.9.(2016遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考,23)已知在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為2-4cos =0.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;(2)設點P是曲線C上的一個動

21、點,求它到直線l的距離d的取值范圍.解析(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將t=x+3代入y=t,得直線l的普通方程為x-y+3=0.曲線C的極坐標方程為2-4cos =0,將x=cos ,2=x2+y2代入即得曲線C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.(2)設點P(2+2cos ,2sin ),R,則d=,R,d的取值范圍是.B組20162018年模擬提升題組(滿分:40分時間:40分鐘)解答題(每小題10分,共50分)1.(2018河南百校聯(lián)盟12月聯(lián)考,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C2:

22、=2sin.(1)求曲線C1的普通方程及C2的直角坐標方程;(2)設P(k,2k),若曲線C1與C2只有一個公共點Q(Q與P不重合),求|PQ|.解析(1)由(t為參數(shù))消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x+y-3k=0.由=2sin可得2=2sin +2cos ,由2=x2+y2,cos =x,sin =y得C2的直角坐標方程為x2+y2-2x-2y=0.(2)曲線C1為直線,曲線C2表示以C2(1,1)為圓心,為半徑的圓,若曲線C1與C2只有一個公共點Q,則圓心C2(1,1)到直線x+y-3k=0的距離為,即=,解得k=0或k=.當k=0時,P,Q重合于點(0,0),不滿足題意,舍去.當k=

23、時,P的坐標為,易知點P在直線C1上,|PC2|=.所以|PQ|=.2.(2017豫北名校聯(lián)盟聯(lián)考,22)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程;(2)經(jīng)過點M(2,1)(平面直角坐標系xOy中的點)作直線l交曲線C于A,B兩點,若M恰好為線段AB的三等分點,求直線l的斜率.解析(1)由曲線C的參數(shù)方程得(為參數(shù)),所以曲線C的普通方程為+=1.(2)設直線l的傾斜角為1,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).代入曲線C的普通方程,得(cos21+4sin21)t2+(4cos 1+8sin 1)t-8=0,設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,所以由題意可

24、知t1=-2t2.所以12sin21+16sin 1cos 1+3cos21=0,即12tan21+16tan 1+3=0.解得tan 1=.所以直線l的斜率為.3.(2017河北衡水中學二調(diào),22)已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(為參數(shù)).(1)設l與C1相交于A,B兩點,求|AB|;(2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的,縱坐標壓縮為原來的,得到曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.解析(1)l的普通方程為y=(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1,聯(lián)立得方程組解得或所以l與C1的交點為A(1,0),B,所以|AB|=1.(2)由題意知C2的參

25、數(shù)方程為(為參數(shù)),所以點P的坐標是,從而點P到直線l的距離d=,因此當sin=-1時,d取得最小值且最小值為(-1).4.(2016廣東肇慶三模,23)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為2+2cos -4=0. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;(2)求C1與C2交點的極坐標(0,02).解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),可得C1的普通方程為y2=x,將代入上式整理得sin2=cos ,即C1的極坐標方程為sin2-cos =0.(2)將曲線C2的極坐標方程2+2cos -4=0化為直

26、角坐標方程為x2+y2+2x-4=0,將y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),當x=1時,y=1,所以C1與C2交點的平面直角坐標為A(1,1),B(1,-1),A=,B=,tan A=1,tan B=-1,0,02,A=,B=.故C1與C2交點的極坐標為,.C組20162018年模擬方法題組方法1極坐標方程與直角坐標方程的互化方法1.(2018湖北八校12月聯(lián)考,22)已知曲線C的極坐標方程為2=,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C的普通方程;(2)A,B為曲線C上兩點,若OAOB,求+的值.解析(1)由2=得2c

27、os2+92sin2=9,將x=cos ,y=sin 代入得曲線C的普通方程是+y2=1.(2)因為2=,所以=+sin2,設A(1,),由OAOB知B點的坐標可設為,所以+=+=+sin2+cos2=+1=.2.(2017四川廣安等四市一模,22)在平面直角坐標系中,曲線C1:(為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C2的極坐標方程;(2)設曲線C3的極坐標方程為sin=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點,求|PQ|的值.解析(1)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則曲線C2的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1,所以曲線C2

28、的極坐標方程為=2cos .(2)由(1)知曲線C2是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓,易知曲線C3的直角坐標方程為x-y-2=0,表示直線,所以曲線C2的圓心(1,0)到直線C3的距離d=,所以|PQ|=2=.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為其中為參數(shù),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線l:=(0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(均異于原點O).(1)求曲線C1,C2的極坐標方程;(2)當0時,求|OA|2+|OB|2的取值范圍.解析(1)C1的普通方程為+y2=1,C1的極坐標方程為2cos2+

29、22sin2-2=0,C2的極坐標方程為=2sin .(2)聯(lián)立=(0)與C1的極坐標方程得|OA|2=,聯(lián)立=(0)與C2的極坐標方程得|OB|2=4sin2,則|OA|2+|OB|2=+4sin2=+4(1+sin2)-4.令t=1+sin2,則|OA|2+|OB|2=+4t-4,當0時,t(1,2).設f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增,|OA|2+|OB|2(2,5).方法2參數(shù)方程與普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲線C的極坐標方程是=2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)寫出直

30、線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;(2)設曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C,過點F(,0)作傾斜角為60的直線交曲線C于A,B兩點,求|FA|FB|.解析(1)直線l的普通方程為2x-y+2=0,曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4.(2)C的直角坐標方程為+y2=1.易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將直線AB的參數(shù)方程代入+y2=1,得t2+t-1=0,則t1t2=-,|FA|FB|=|t1t2|=.方法3與參數(shù)方程有關問題的求解方法5.(2018四川成都七中一診,22)已知曲線C:(為參數(shù))和定點A(0,),F1、F2是此曲線的左、右焦點,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線AF2的極坐標方程;(2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點,求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化為+=1,表示橢圓,焦點為F1(-1,0)和F2(1,0).經(jīng)過A(0,)和F2(1,0)的直線方程為x+=1,即x+y-=0,極坐標方程為cos +sin =.(2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因為lAF2,所以l的斜率為,l的傾斜角為30,l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將其代入橢圓C的直角坐標方程,整理得13t2-12t-36=0.M,N在點F1的兩側,|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.