2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.坐標(biāo)系1.了解坐標(biāo)系的作用及直角坐標(biāo)系內(nèi)的伸縮變換2.了解極坐標(biāo)的概念,會(huì)在極坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互相轉(zhuǎn)化3.能在極坐標(biāo)系中求簡單圖形的極坐標(biāo)方程2017課標(biāo)全國,22;2017課標(biāo)全國,22;2016課標(biāo)全國,23;2015課標(biāo),23解答題2.參數(shù)方程1.了解參數(shù)方程和參數(shù)的意義2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程3.理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,并能用參數(shù)方程解決相關(guān)的問題2017課標(biāo)全國,22;2016課標(biāo)全國,23;2016課標(biāo)全國,23;2015課標(biāo),232014課標(biāo),23填空題、分析解讀坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考數(shù)學(xué)的選考部分,其中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,直線與圓的參數(shù)方程及應(yīng)用是高考的重點(diǎn),難度不大,題型一般為解答題,分值為10分,但部分省份可能以填空題的形式出現(xiàn).本章也是對前面所學(xué)的解析幾何、平面幾何、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步的深化,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y0).(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2-sin2)=4(0<<2,).聯(lián)立得cos -sin =2(cos +sin ).故tan =-,從而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交點(diǎn)M的極徑為.五年高考考點(diǎn)一坐標(biāo)系1.(2015湖南,12,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為=2sin ,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為.答案x2+y2-2y=02.(2014陜西,15C,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線sin=1的距離是.答案13.(2017課標(biāo)全國,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.解析(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(,)(>0),M的極坐標(biāo)為(1,)(1>0).由題設(shè)知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為=4cos (>0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B,)(B>0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S=|OA|·B·sinAOB=4cos ·=22+.當(dāng)=-時(shí),S取得最大值2+.所以O(shè)AB面積的最大值為2+.4.(2016課標(biāo)全國,23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.解析(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分)將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組(6分)若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013遼寧,23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為=4sin ,cos=2.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù)),求a,b的值.解析(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.(6分)(注:極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,3),故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考點(diǎn)二參數(shù)方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C:(t為參數(shù))的普通方程為.答案x-y-1=02.(2017課標(biāo)全國,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a.解析(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cos ,sin )到l的距離為d=.當(dāng)a-4時(shí),d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=8;當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為,由題設(shè)得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.3.(2016課標(biāo)全國,23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為=(R).設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為1,2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =±.(9分)所以l的斜率為或-.(10分)4.(2016課標(biāo)全國,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin=2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解析(1)C1的普通方程為+y2=1.C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5分)(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ,sin ).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()=.(8分)當(dāng)且僅當(dāng)=2k+(kZ)時(shí),d()取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.(10分)5.(2016江蘇,21C,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.解析橢圓C的普通方程為x2+=1.將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015課標(biāo),23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0<.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.解析(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為=(R,0),其中0<.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ,),B的極坐標(biāo)為(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.當(dāng)=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.教師用書專用(711)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l1:(s為參數(shù))和直線l2:(t為參數(shù))平行,則常數(shù)a的值為.答案48.(2015陜西,23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,C的極坐標(biāo)方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程;(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).解析(1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設(shè)P,又C(0,),則|PC|=,故當(dāng)t=0時(shí),|PC|取得最小值,此時(shí),P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0).9.(2014課標(biāo),23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.解析(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ,3sin )到l的距離為d=|4cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當(dāng)sin(+)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為.當(dāng)sin(+)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為.10.(2014課標(biāo),23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,.(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).解析(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t).(2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐標(biāo)為,即.11.(2013課標(biāo)全國,23,10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=與t=2(0<<2),M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).解析(1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù),0<<2).(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=(0<<2).當(dāng)=時(shí),d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).三年模擬A組20162018年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一坐標(biāo)系1.(人教A選44,一,3,A5,變式)已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為cos =3,=4cos (0),則曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.答案,(kZ)2.(2018衡水中學(xué)、鄭州一中12月聯(lián)考,22)已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos .(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程;(2)若直線=與曲線C交于點(diǎn)A(不同于原點(diǎn)),與直線l交于點(diǎn)B,求|AB|的值.解析(1)=2cos 可化為2=2cos ,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得x2+y2=2x,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x.直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為x-y-1=0,化為極坐標(biāo)方程為cos=.(2)將=代入=2cos ,可求得|OA|=1,將=代入cos=,可求得|OB|=1+,根據(jù)題意可知O、A、B三點(diǎn)共線,且|AB|=|OA|+|OB|=2+,|AB|=2+.3.(2018廣東廣州12月調(diào)研,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線C1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2,在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為cos -sin -10=0.(1)說明曲線C2是哪一種曲線,并將曲線C2的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)M是曲線C2上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值和最小值.解析(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),伸縮變換為所以曲線C2的參數(shù)方程為所以C2的普通方程為x'2+y'2=4.表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓.所以C2的極坐標(biāo)方程為2=4,即=2.(2)直線l的普通方程為x-y-10=0.由(1)知曲線C2表示圓心為原點(diǎn),半徑為2的圓,且圓心到直線l的距離d=5,因?yàn)?>2,所以圓C2與直線l相離.所以圓C2上的點(diǎn)M到直線l的距離的最大值為d+r=5+2,最小值為d-r=5-2.4.(2017山西太原模擬,22)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn),Ox軸為極軸,選擇相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程為=.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并指出曲線是什么曲線;(2)若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|AB|.解析(1)由=得sin2=8cos ,2sin2=8cos ,y2=8x,曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線.(2)由(t為參數(shù))得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1·x2=4,|AB|=·|x1-x2|=·=×=10.考點(diǎn)二參數(shù)方程5.(2018山西康杰中學(xué)等六校12月聯(lián)考,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(0,),曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2cos=.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.解析(1)由2cos=得cos +sin =,即x+y-=0.由(為參數(shù))得+=1.所以曲線C的普通方程為+=1,直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-=0.(2)由(1)知:直線l的傾斜角為,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入曲線C的普通方程可得t2+2t-8=0.設(shè)方程的兩根為t1,t2,則|PA|·|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛陽一模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t參數(shù),mR),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2=(0).(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn),若點(diǎn)P到曲線C1的最小距離為2,求m的值.解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t,可得C1的普通方程為x-y+m=0.由曲線C2的極坐標(biāo)方程得32-22cos2=3,0,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為+y2=1(0y1).(2)設(shè)曲線C2上任意一點(diǎn)P(cos ,sin ),0,則點(diǎn)P到曲線C1的距離d=.0,cos,2cos-2,當(dāng)m+<0時(shí),m+=-4,即m=-4-;當(dāng)m-2>0時(shí),m-2=4,即m=6.m=-4-或m=6.7.(2017安徽黃山二模,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=,過點(diǎn)P(1,0)的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn).(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求|PA|·|PB|的取值范圍.解析(1)由=得2(1+sin2)=2,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.(2)由題意知,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將代入+y2=1得(cos2+2sin2)t2+2tcos -1=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=,則|PA|·|PB|=|t1t2|=,|PA|·|PB|的取值范圍為.8.(2017廣東廣州聯(lián)考,22)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<<),曲線C的極坐標(biāo)方程為cos2=4sin .(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求|AB|的最小值.解析(1)由(t為參數(shù))消去t得xcos -ysin +sin =0.所以直線l的普通方程為xcos -ysin +sin =0,由cos2=4sin 得(cos )2=4sin ,把x=cos ,y=sin 代入上式,得x2=4y,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=4y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入x2=4y,得t2sin2-4tcos -4=0,設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=,0<<,當(dāng)=時(shí),|AB|取最小值4.9.(2016遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考,23)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2-4cos =0.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離d的取值范圍.解析(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將t=x+3代入y=t,得直線l的普通方程為x-y+3=0.曲線C的極坐標(biāo)方程為2-4cos =0,將x=cos ,2=x2+y2代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4.(2)設(shè)點(diǎn)P(2+2cos ,2sin ),R,則d=,R,d的取值范圍是.B組20162018年模擬·提升題組(滿分:40分時(shí)間:40分鐘)解答題(每小題10分,共50分)1.(2018河南百校聯(lián)盟12月聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C2:=2sin.(1)求曲線C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)P(k,2k),若曲線C1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)Q(Q與P不重合),求|PQ|.解析(1)由(t為參數(shù))消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x+y-3k=0.由=2sin可得2=2sin +2cos ,由2=x2+y2,cos =x,sin =y得C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0.(2)曲線C1為直線,曲線C2表示以C2(1,1)為圓心,為半徑的圓,若曲線C1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)Q,則圓心C2(1,1)到直線x+y-3k=0的距離為,即=,解得k=0或k=.當(dāng)k=0時(shí),P,Q重合于點(diǎn)(0,0),不滿足題意,舍去.當(dāng)k=時(shí),P的坐標(biāo)為,易知點(diǎn)P在直線C1上,|PC2|=.所以|PQ|=.2.(2017豫北名校聯(lián)盟聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)(平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn))作直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),若M恰好為線段AB的三等分點(diǎn),求直線l的斜率.解析(1)由曲線C的參數(shù)方程得(為參數(shù)),所以曲線C的普通方程為+=1.(2)設(shè)直線l的傾斜角為1,則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).代入曲線C的普通方程,得(cos21+4sin21)t2+(4cos 1+8sin 1)t-8=0,設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以由題意可知t1=-2t2.所以12sin21+16sin 1cos 1+3cos21=0,即12tan21+16tan 1+3=0.解得tan 1=.所以直線l的斜率為.3.(2017河北衡水中學(xué)二調(diào),22)已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(為參數(shù)).(1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|;(2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的,縱坐標(biāo)壓縮為原來的,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.解析(1)l的普通方程為y=(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1,聯(lián)立得方程組解得或所以l與C1的交點(diǎn)為A(1,0),B,所以|AB|=1.(2)由題意知C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是,從而點(diǎn)P到直線l的距離d=,因此當(dāng)sin=-1時(shí),d取得最小值且最小值為(-1).4.(2016廣東肇慶三模,23)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2+2cos -4=0. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,0<2).解析(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),可得C1的普通方程為y2=x,將代入上式整理得sin2=cos ,即C1的極坐標(biāo)方程為sin2-cos =0.(2)將曲線C2的極坐標(biāo)方程2+2cos -4=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x-4=0,將y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),當(dāng)x=1時(shí),y=±1,所以C1與C2交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為A(1,1),B(1,-1),A=,B=,tan A=1,tan B=-1,0,0<2,A=,B=.故C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.C組20162018年模擬·方法題組方法1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法1.(2018湖北八校12月聯(lián)考,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2=,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的普通方程;(2)A,B為曲線C上兩點(diǎn),若OAOB,求+的值.解析(1)由2=得2cos2+92sin2=9,將x=cos ,y=sin 代入得曲線C的普通方程是+y2=1.(2)因?yàn)?=,所以=+sin2,設(shè)A(1,),由OAOB知B點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為,所以+=+=+sin2+cos2=+1=.2.(2017四川廣安等四市一模,22)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1:(為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C2的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為sin=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點(diǎn),求|PQ|的值.解析(1)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x'-1)2+y'2=1,所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos .(2)由(1)知曲線C2是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓,易知曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0,表示直線,所以曲線C2的圓心(1,0)到直線C3的距離d=,所以|PQ|=2=.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為其中為參數(shù),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l:=(0)與曲線C1,C2分別交于點(diǎn)A,B(均異于原點(diǎn)O).(1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)0<<時(shí),求|OA|2+|OB|2的取值范圍.解析(1)C1的普通方程為+y2=1,C1的極坐標(biāo)方程為2cos2+22sin2-2=0,C2的極坐標(biāo)方程為=2sin .(2)聯(lián)立=(0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2=,聯(lián)立=(0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2=4sin2,則|OA|2+|OB|2=+4sin2=+4(1+sin2)-4.令t=1+sin2,則|OA|2+|OB|2=+4t-4,當(dāng)0<<時(shí),t(1,2).設(shè)f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增,|OA|2+|OB|2(2,5).方法2參數(shù)方程與普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C',過點(diǎn)F(,0)作傾斜角為60°的直線交曲線C'于A,B兩點(diǎn),求|FA|·|FB|.解析(1)直線l的普通方程為2x-y+2=0,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4.(2)C'的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將直線AB的參數(shù)方程代入+y2=1,得t2+t-1=0,則t1·t2=-,|FA|·|FB|=|t1·t2|=.方法3與參數(shù)方程有關(guān)問題的求解方法5.(2018四川成都七中一診,22)已知曲線C:(為參數(shù))和定點(diǎn)A(0,),F1、F2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點(diǎn),求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化為+=1,表示橢圓,焦點(diǎn)為F1(-1,0)和F2(1,0).經(jīng)過A(0,)和F2(1,0)的直線方程為x+=1,即x+y-=0,極坐標(biāo)方程為cos +sin =.(2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因?yàn)閘AF2,所以l的斜率為,l的傾斜角為30°,l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將其代入橢圓C的直角坐標(biāo)方程,整理得13t2-12t-36=0.M,N在點(diǎn)F1的兩側(cè),|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.