（江蘇專版）2018年高考數學二輪復習 第1部分 知識專題突破 專題10 平面解析幾何學案

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1、專題十平面解析幾何命題觀察高考定位(對應學生用書第44頁)1(2016江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距是_2a27，b23，c2a2b27310，c，2c2.2(2016江蘇高考)如圖101，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0) 的右焦點，直線y 與橢圓交于B，C兩點，且BFC90，則該橢圓的離心率是_圖101由題意得B，C，0，因此c22203c22a2e.3(2015江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_(x1)2y22直線mxy2m10經過定點(2，1)當圓與直線相切于點

2、(2，1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2(12)2(01)22.4(2017江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_2如圖所示，雙曲線y21的焦點為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以|F1F2|4.雙曲線y21的右準線方程為x，漸近線方程為yx.由得P.同理可得Q.|PQ|，S四邊形F1PF2Q|F1F2|PQ|42.5(2017江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2y250上若20，則點P的橫坐標的取值范圍是_ 【導學號：56394068】5

3、，1法一：因為點P在圓O：x2y250上，所以設P點坐標為(x，)(5x5)因為A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因為20，先取P(x，)進行計算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.當2x50，即x時，上式恒成立；當2x50，即x時，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)時，x5.又5x5，所以5x1.故點P的橫坐標的取值范圍為5，1法二：設P(x，y)，則(12x，y)，(x,6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如圖，作圓O：x2y250，直線2xy50與O交于E，F(xiàn)兩點，P在圓O上且

4、滿足2xy50，點P在上由得F點的橫坐標為1，又D點的橫坐標為5，P點的橫坐標的取值范圍為5，16(2016江蘇高考) 如圖102，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)圖102 (1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數t的取值范圍【導學號：56394069】解圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，

5、可設N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0y07，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2,4)，T(t,0)，所以因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y

6、3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以5555，解得22t22.因此，實數t的取值范圍是22，22命題規(guī)律(1)題量穩(wěn)定：解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個題目左右，其中填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%.(2)整體平衡，重點突出：重點內容重點考，直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是高考命題的重點主要集中在如下幾個類型：求曲線方程(類型確定，甚至給出曲線方程)；直線、圓和圓錐曲線間的交點問題(含切線問題)；與圓錐曲線定義有關的問題(涉及焦半徑、焦點弦、焦點三角形和準線，利用余弦

7、定理等)；與曲線有關的最值問題(含三角形和四邊形面積)；與曲線有關的幾何證明(圓線相切、四點共圓、對稱性或求對稱曲線、平行、垂直等)；探求曲線方程中幾何量及參數間的數量特征(很少)主干整合歸納拓展(對應學生用書第45頁)第1步 核心知識再整合1直線的方程點斜式：yy1k(xx1); 截距式：ykxb；兩點式：； 截距式：1；一般式：AxByC0，其中A、B不同時為0.2兩條直線的位置關系(1)兩直線平行兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積為1或一直線斜率不存在，另一直線斜率為零；(3)與已知直線AxByC0(A0，B0)平行的直線系方程為AxBym0(Cm)；

8、(4)若給定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，則有下列結論：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.(5)兩平行直線間距離公式：AxByC10(A0，B0)與AxByC20(A0，B0，C1C2)的距離d.3圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.4直線與圓相關問題的兩個關鍵點(1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理(2)兩個公式：點到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d)5

9、圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離)6圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點在x軸上)或1(ab0)(焦點在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點在x軸上)或1(a0，b0)(焦點在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)7圓錐曲線的幾何性質(1)橢圓：e.(2)雙曲線：e；漸近線方程：yx或yx；(3)拋物線：設y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點，F(xiàn)為其焦點焦半徑|

10、CF|x1；過焦點的弦長|CD|x1x2p；若直線CD過焦點，則x1x2，y1y2p2.8直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離(2)直線與雙曲線的位置關系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，當0時，直線與雙曲線相交；當0時，直線與雙曲線相切；當0時，直線與雙曲線相離 .若a0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點(3)直線與拋物線的位置關系的判定方法：將直線方

11、程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)當a0時，用判定，方法同上當a0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點9有關弦長問題有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用根與系數的關系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)

12、10弦的中點問題有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算第2步 高頻考點細突破直線方程【例1】已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是_解析由題意，m8，所以直線方程為6x8y140，即3x4y70，d2.答案2規(guī)律方法(1)若給定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，則有下列結論：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20. 給定兩條直線l1：yk1xb1和l2：yk2xb2，則有下列結論：l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21；(2)求直線方程就是求出確定直線的幾何要素，

13、即直線經過的點和直線的傾斜角，當直線的斜率存在時，只需求出直線的斜率和直線經過的點即可對于直線的點斜式方程和兩點式方程，前者是直線的斜率和直線經過的一點確定直線，后者是兩點確定直線舉一反三已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20.若l1l2，則實數a的值是_0或3由題意得：aa(a2)0a0或a3.圓的方程及應用【例2】(江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調研) 如圖103所示，已知圓A的圓心在直線y2x上，且該圓存在兩點關于直線xy10對稱，又圓A與直線l1：x2y70相切，過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.圖1

14、03(1)求圓A的方程；(2)當|MN|2時，求直線l的方程；(3)()是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由. 【導學號：56394070】解(1)由圓存在兩點關于直線xy10對稱知圓心A在直線xy10上，由得A(1,2)，設圓A的半徑為R，因為圓A與直線l1：x2y70相切，所以R2，所以圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意，當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0，連接AQ(圖略)，則AQMN，|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k，直線l的方程為3x4y60，所求直線l的方程為x2或3x4y60

15、.(3)AQBP，0，()22()2()2，當直線l與x軸垂直時，得P，則，又(1,2)，()2210.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x2)，由解得P，()22210，綜上所述，()是定值，且為10.規(guī)律方法求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數法，即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數其一般步驟：根據題意選擇方程的形式：標準方程或一般方程；利用條件列出關于a，b，R，或D，E，F(xiàn)的方程組；解出a，b，R，或D，E，F(xiàn)的值，代入標準方程或一般方程，此外，根據條件要盡量減少參數設方程，這樣

16、可減少運算量舉一反三(2017江蘇省淮安市高考數學二模)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x4)2(y8)21，圓C2：(x6)2(y6)29.若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是_x2y281由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑，設C(x,0)，則(x4)2(08)21(x6)2(06)29，x0，圓C的方程是x2y281.直線與圓的位置關系【例3】(江蘇省泰州中學2017屆高三上學期第二次月考)直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點，若|MN|2，則k的取值范圍是_解析由圓的方程得：圓心(2,3)，半徑r2，圓心到

17、直線ykx3的距離d，|MN|2，222，變形得：43，即4k244k23k23，解得：k，則k的取值范圍是.答案規(guī)律方法直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與半徑r的關系確定，dr相切；dr時相離解有關直線與圓的相交問題要靈活運用圓的幾何性質，特別是半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形，滿足勾股定理圓的切線問題一般利用dr求解，但要注意切線斜率不存在的情形，與圓有關的最值，范圍問題要注意數形結合思想的運用直線與圓中常見的最值問題：圓外一點與圓上任一點的距離的最值直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值過圓內一定點的直線被圓截得的弦長的最值直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值

18、問題兩圓相離，兩圓上點的距離的最值舉一反三(2017江蘇省無錫市高考數學一模)在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A，B兩點，其中A點在第一象限，且2，則直線l的方程為_. 【導學號：56394071】xy10由題意，設直線xmy1與圓x2y25聯(lián)立，可得(m21)y22my40，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22y1，y1y2，y1y2，聯(lián)立解得m1，直線l的方程為xy10.圓錐曲線的定義及標準方程【例4】(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)如圖104，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：圖1041(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點

19、P(3,1)在橢圓上，PF1F2的面積為2.(1)求橢圓C的標準方程；若F1QF2，求QF1QF2的值(2)直線yxk與橢圓C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點，求實數k的值解(1)由條件可知1，c2，又a2b2c2，所以a212，b24，所以橢圓的標準方程為1.當時，有所以QF1QF2.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x26kx3k2120，由根與系數的關系及直線方程可知：x1x2，x1x2，y1y2，因為以AB為直徑的圓經過坐標原點，則x1x2y1y2k260，解得k，此時1200，滿足條件，因此k.規(guī)律方法(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解

20、細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求0，n0)，雙曲線的標準方程可設為1(mn0)，這樣可以避免討論和繁瑣的計算舉一反三(江蘇省如東高級中學2017屆高三上學期第二次學情調研)已知橢圓C：1的左焦點為F，點M是橢圓C上一點，點N是MF的中點，O是橢圓的中點，ON4，則點M到橢圓C的左準線的距離為_設點M到右焦點的距離為MF，則MF248，由定義可知該點到左焦點的距離MF1082，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得點M到橢圓C的左準線的距離為d.圓錐曲線的幾何性質【例5】(江蘇省揚州市2017屆高三上學期期末)已知拋物線y216x的焦點恰好是雙曲線1的右焦點，則雙曲線的漸近線方程為_解析根據

21、題意，拋物線的標準方程：y216x，其焦點坐標為(4,0)，則雙曲線1的右焦點坐標為(4,0)，則c4，有12b216，解可得b2，則雙曲線的方程為1，則該雙曲線的漸近線方程yx.答案yx規(guī)律方法求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e212，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關，求離心率的范圍問題關鍵是確立一個關于a，b，c的不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到關于a，c的不等式，由這個不等式確定a，c的關系舉一反三(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)如圖105，在平面直角坐標系xOy中，已

22、知A，B1，B2分別為橢圓C：1(ab0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點若B2FAB1，則橢圓C的離心率是_圖105由題意得1b2aca2c2ac1e2e,0e1e.直線與圓錐曲線的位置關系【例6】(江蘇省揚州市2017屆高三上學期期末)如圖106，橢圓C：圖1061(ab0)，圓O：x2y2b2，過橢圓C的上頂點A的直線l：ykxb分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P、Q，設.(1)若點P(3,0)，點Q(4，1)，求橢圓C的方程；(2)若3，求橢圓C的離心率e的取值范圍 【導學號：56394072】解(1)由P(3,0)在圓O：x2y2b2上，可得b3.又點Q在橢圓C上，得1，解得a21

23、8.橢圓C的方程為1；(2)聯(lián)立得x0或xP，聯(lián)立得x0或xQ.，3，即k24e21.k20，4e21，得e或e.又0e1，e1.規(guī)律方法(1)直線與橢圓的位置關系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0時，直線與雙曲線相交；當0時，直線與雙曲線相切；當0)的過焦點F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.同樣可得拋物線y22px，x22py，x22py類似的性質(4)解決直線與圓錐曲線相交時的弦長問題方法是：設而不求，根據根與系數的關系，進行整體代入即

24、當直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|.舉一反三(2017江蘇省泰州市高考數學一模)如圖107，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為1.圖107(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y于點Q，求的值解(1)由題意得，c1，解得a，c1，b1.所以橢圓的方程為y21.(2)由題意知OP的斜率存在當OP的斜率為0時，OP，OQ，所以1.當OP的斜率不為0時，設直線OP方程為ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以OP2.因為OPOQ，所以

25、直線OQ的方程為yx.由得xk，所以OQ22k22.所以1.綜上，可知1.圓錐曲線中的范圍問題【例7】(江蘇省南京市2017屆高三上學期學情調研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(在x軸上方)，連接PF1并延長交橢圓于另一點Q，設.(1)若點P的坐標為，且PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e，求實數的取值范圍解(1) 因為F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，所以PF1PF2QF1QF22a，從而PQF2的周長為4a.由題意，得4a8，解得a2.因為點P的坐標為，所以1，解得

26、b23.所以橢圓C的方程為1.(2)法一：因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y00.設Q(x1，y1)因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P.因為F1(c,0)，所以，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q.因為點Q在橢圓上，所以2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因為10，所以(3)e21，從而3.因為e，所以e2，即5.所以的取值范圍為.法二因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y00.因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P.因為F1(c,0)，故直線PF1的方程為y(xc)由得(4c2b2)x22b2cx

27、c2(b24a2)0.因為直線PF1與橢圓有一個交點為P.設Q(x1，y1)，則x1c，即cx1.因為，所以3.因為e，所以e2，即5.所以的取值范圍為.規(guī)律方法(1)求范圍問題的關鍵是建立求解關于某個變量的目標函數，通過求這個函數的值域確定目標的范圍在建立函數的過程中要根據題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算的方便，在建立關系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結果中把多變量歸結為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍(2)求解特定字母取值范圍問題的常用方法：構造不等式法：根據題設條件以及曲線的幾何性質(如：曲線的范圍、對稱性、位置關系等)，建立關于特定字母

28、的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍構造函數法：根據題設條件，用其他的變量或參數表示欲求范圍的特定字母，即建立關于特定字母的目標函數，然后研究該函數的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍數形結合法：研究特定字母所對應的幾何意義，然后根據相關曲線的定義、幾何性質，利用數形結合的方法求解舉一反三(2017江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數學二模)已知橢圓C：1(a0，b0)的左焦點為F(1,0)，左準線為x2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知直線l交橢圓C于A，B兩點若直線l經過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足，求證：為常數；若OAOB(O為原點)

29、，求AOB的面積的取值范圍解(1) 橢圓C：1(a0，b0)的左焦點為F(1,0)，左準線為x2，由題設知c1，2，a22c，a22，b2a2c21，橢圓C的標準方程為y21.(2)由題設知直線l的斜率存在，設直線l的方程為yk(x1)，則P(0，k)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l代入橢圓得x22k2(x1)22，整理，得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，由，知，4(定值)為常數4.當直線OA，OB分別與坐標軸重合時，AOB的面積SAOB，當直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設OA：ykx，OB：yx，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，將ykx代入

30、橢圓C，得到x22k2x22，x，y，同理，x，y，AOB的面積SAOB，令tk211，)，則SAOB，令(0,1，則SAOB.綜上所述，AOB的面積的取值范圍是.圓錐曲線中的存在性問題【例8】(淮安市20142015學年度第二學期高二調查測試)已知橢圓M：1(ab0)，點F1(1,0)、C(2,0)分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點F1的直線l(不與x軸重合)交M于A，B兩點(1)求橢圓M的標準方程；(2)若A(0，)，求AOB的面積；(3)是否存在直線l，使得點B在以線段F1C為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)由F1(1,0)、C(2,0)得：a2，b，所以

31、橢圓M的標準方程為1；(2)因為A(0，)，F(xiàn)1(1,0)，所以過A，F(xiàn)1的直線l的方程為：1，即xy0，解方程組得y1，y2，SABC1|y1y2|；(3)設B(x0，y0)(2x02)，則1.因為C(2,0)，F(xiàn)1(1,0)，所以(1x0，y0)(2x0，y0)23x0xyx3x050，解得：x02或10，又因為2x02，所以點B不在以F1C為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點B在以F1C為直徑的圓上規(guī)律方法(1)求解存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應的幾何元素或參數值，就說

32、明滿足條件的幾何元素或參數值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程(2)解決存在性問題應注意以下幾點：當條件和結論不唯一時要分類討論；當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑(3)解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設存在，引入參變量，根據題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結論舉一反三(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學期第二次調研)在

33、平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，P是動點，且POA的三邊所在直線的斜率滿足kOPkOAkPA.圖108(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M.問：是否存在點P，使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由. 【導學號：56394073】解(1)設點P(x，y)kOPkOAkPA，(1)，化為yx2(x0且x1)即為點P的軌跡方程(2)假設存在點P(x1，x)，Q(x2，x)，使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM，如圖所示，點M為線段AQ的中點，PQOA，得kPQkAO1.解

34、得此時P(1,1)，Q(0,0)分別與A，O重合，因此不符合題意故假設不成立，此時不存在滿足條件的點P.如圖所示，當點M在QA的延長線時，由SPQA2SPAM，可得2，2，PQOA.由PQOA，可得kPQkAO1.設M(m，n)由2，2，可得：1x22(m1)，x12m，化為x1x23.聯(lián)立解得此時，P(1,1)滿足條件綜上可知：P(1,1)滿足條件.圓錐曲線中的定值問題【例9】(2017江蘇省無錫市高考數學一模)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點為A.圖109(1)求該橢圓的方程；(2)過點D(，)作直線PQ交橢圓于兩個不同點P，Q，求證：直線A

35、P，AQ的斜率之和為定值解(1)由題意可知：橢圓1(ab0)，焦點在x軸上，2c1，c1，橢圓的離心率e，則a，b2a2c21，則橢圓的標準方程為y21；(2)證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由題意PQ的方程：yk(x)，則整理得：(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根與系數的關系可知：x1x2，x1x2，則y1y2k(x1x2)2k2，則kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直線AP，AQ的斜率之和為定值1.規(guī)律方法(1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度

36、數、直線的斜率等的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值(2)求定值問題常見的方法有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值(3)定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題的關鍵就是引進變化的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量舉一反三(江蘇省南京市2017屆高考

37、三模)如圖1010，在平面直角坐標系xOy中，橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為點A，B，M是線段AB的中點，且b2.圖1010(1)求橢圓的離心率；(2)若a2，四邊形ABCD內接于橢圓，ABCD，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值解(1)A(a,0)，B(0，b)，線段AB的中點M.(a，b)，.b2.b2b2，化為：a2b.橢圓的離心率e.(2)證明：由a2，可得b1，橢圓的標準方程為y21，A(2,0)，B(0,1)設直線BC的方程為yk2x1，聯(lián)立化為：(14k)x28k2x0，解得xC，yC.即C.直線AD的方程為yk1(x2)，聯(lián)立化為(14k)x2

38、16kx16k40，2xD，解得xD，yD，可得D，kCD，化為：116kk2k12k28k1k8k2k0.(4k1k24k14k21)0，k1k2.圓錐曲線中的最值問題【例10】如圖1011，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左，右頂點分別為A1(，0)，A2(，0)，若直線3x4y50上有且僅有一個點M，使得F1MF290.圖1011(1)求橢圓C的標準方程；(2)設圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經過橢圓C兩焦點點P，Q分別為橢圓C和圓T上的一動點若0時，PQ取得最大值為，求實數t的值 【導學號：56394074】解(1)因為橢圓C：1(ab0)左，右頂點分別為A1

39、(，0)，A2(，0)，所以a22.又因為直線3x4y50上恰存在一個點M，使得F1MF290，即以原點O為圓心，半徑為rOF1c作圓O，使得圓O與直線3x4y50相切即可(圖略)又圓心O到直線3x4y50的距離d1，所以c1，b2a2c21，所以橢圓C的標準方程為y21；(2)設P(x0，y0)，因為點P在橢圓上，所以有y1，因為圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經過橢圓C兩焦點，所以圓T的方程為x2(yt)2t21(t0)，由0得PQ2PT2QT2x(y0t)2(t21)，又y1，所以PQ2(y0t)2t21，當t1即t1時，當y01時，PQ取得最大值，因為PQ的最大值為，所以，解得

40、t，又t1，故舍去當t1即0t1時，當y0t時，PQ取最大值，所以，解得t2，又0t1，所以t.綜上，當t時，PQ的最大值為.規(guī)律方法(1)圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數方法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解(2)常見的幾何方法有：直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為該點P到直線的垂線段的長度；圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|R，最小值為|PC|R(R為圓C半徑)；過

41、圓C內一定點P的圓的最長的弦即為經過P點的直徑，最短的弦為過P點且與經過P點直徑垂直的弦；圓錐曲線上本身存在最值問題，如a.橢圓上兩點間最大距離為2a(長軸長)；b.雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長)；c.橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距離；d.拋物線中頂點與拋物線的準線距離最近(3)常用的代數方法有：a.利用二次函數求最值；b.通過三角換元，利用正、余弦函數的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用導數法求最值；e.利用函數單調性求最值舉一反三已知圓M：x2(y4)24，點P是直線l：x2y0上的一動點，過點P作圓M

42、的切線PA、PB，切點為A、B.(1)當切線PA的長度為2時，求點P的坐標；(2)若PAM的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；(3)求線段AB長度的最小值解(1)由題可知，圓M的半徑r2，設P(2b，b)，因為PA是圓M的一條切線，所以MAP90，所以MP4，解得b0或b，所以P(0,0)或P.(2)設P(2b，b)，因為MAP90，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為：(xb)22，即(2xy4)b(x2y24y)0，由解得或所以圓過定點(0,4)，.(3)因為圓N方程為(xb)22，即x2y22bx(b4)y4b

43、0.圓M：x2(y4)24，即x2y28y120.得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為2bx(b4)y124b0，點M到直線AB的距離d.相交弦長即：AB244，b時，AB有最小值.第3步 高考易錯明辨析1忽視直線斜率不存在的情況已知圓C的方程為x2y24，直線l過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點若|AB|2，求直線l的方程錯解方程可設為y2k(x1)，又設圓心到直線l的距離為d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直線l的方程為3x4y50.錯解分析在利用直線的點斜式與斜截式解題時，要防止由于“無斜率”而漏解，本題就是忽略斜率不存在導致圓的切

44、線方程只有一條正解(1)當直線l的斜率不存在時，畫出圖象可知，直線x1也符合題意(2)當直線l的斜率k存在時，其方程可設為y2k(x1)，又設圓心到直線l的距離為d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直線l的方程為3x4y50和x1.2忽略對直線與圓錐曲線位置關系的判斷的情況已知雙曲線x21，問過點A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由錯解設符合題意的直線l存在，并設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因為A(1,1

45、)為線段PQ的中點，所以將代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，則直線l的斜率k2，所以符合題設條件的直線l存在，其方程為2xy10.錯解分析由于點A(1,1)在雙曲線外，過點A(1,1)的直線，不一定都與雙曲線相交，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的正解設符合題意的直線l存在，并設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因為A(1,1)為線段PQ的中點，所以將代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，則直線l的斜率k2，再由得2x24x30，根據80，說明所求直線不存在3忽略對定義的理解的情況已知圓O1：x2y21，圓

46、O2：x2y210x90都內切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程錯解圓O2：x2y210x90，即為(x5)2y216，所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r24，而圓O1：x2y21的圓心為O1(0,0)，半徑r11，設所求動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，則r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化簡得16x280x9y2640，即1為所求動圓圓心的軌跡方程錯解分析上述解法將|O1M|O2M|3看成|O1M|O2M|3，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致正解圓O2：x2y210x90，即為(x5)2y216，所以圓O2的圓心為O2(5,0)，

47、半徑r24，而圓O1：x2y21的圓心為O1(0,0)，半徑r11，設所求動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，則r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化簡得16x280x9y2640，又因為|O1M|O2M|3，表示動點M到定點O1及O2的距離差為常數3.且|O1O2|53，點M的軌跡為雙曲線右支，方程為1(x4)4忽略直線與雙曲線的漸進線平行只有一個交點過點(0,3)作直線l，如果它與雙曲線1只有一個公共點，則直線l的條數是_錯解2錯解分析在探討直線與雙曲線的位置關系時，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進線平行的特殊情況，這時構成的方程

48、是一次的直線與雙曲線的位置關系分為：相交、相離、相切三種其判定方法有兩種：一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數，得到一個一元二次方程ax2bxc0.若a0，0，直線與雙曲線相交，有兩個交點；若a0，直線與漸進線平行，有一個交點若a0，0，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點若a0，0，直線與雙曲線相離，沒有公共點二是可以利用數形結合的思想正解用數形結合的方法：過點(0,3)與雙曲線只有一個公共點的直線分兩類一類是平行于漸進線的，有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條如圖所示：故填4.專家預測鞏固提升(對應學生用書第53頁)1(改編題)已知拋物線y24x與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點

49、F，點A，B是兩曲線的交點，若()0，則雙曲線的離心率為_1因為拋物線y24x與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點F，點A，B是兩曲線的交點，且()0，由二次曲線對稱性可得，AFx軸，所以F(1,0)，AF2，A(1,2)，則解得a1，所以e1.2(改編題)已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且傾斜角為135的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為6，則該拋物線的準線方程為_x2因為直線傾斜角為135，故它的斜率為1，又焦點為，設直線為y，直線交拋物線于A，B兩點，消參得4x212pxp20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x23p，線段AB的中點的橫坐標為6，6，p

50、4，拋物線的準線方程為x2.3(改編題)已知橢圓C：1(ab0)的一個焦點是(1,0)，兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形(1)求橢圓C的方程；(2)如圖1012，動直線l：ykxm與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1Ml，F(xiàn)2Nl.求四邊形F1MNF2面積S的最大值【導學號：56394075】圖1012解(1)橢圓C：1(ab0)的一個焦點是(1,0)，所以半焦距c1，又因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，所以，解得a2，b，所以橢圓C的標準方程為1；4分(2)將直線l的方程ykxm代入橢圓C的方程3x24y212中，得(4k23)x28kmx4m21

51、20，由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得：m24k23.6分設d1|F1M|，d2|F2N|，法一：當k0時，設直線l的傾斜角為，則|d1d2|MN|tan |，|MN|，S(d1d2)，8分m24k23，當k0時，|m|，|m|，S2.當k0時，四邊形F1MNF2是矩形，S2.所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為2.12分法二：dd22，d1d23.|MN|.8分四邊形F1MNF2的面積S|MN|(d1d2)(d1d2)，S2(dd2d1d2)164212.當且僅當k0時，S212，S2，故Smax2.所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值

52、為2.12分4(改編題)設定圓M：(x)2y216，動圓N過點F(，0)且與圓M相切，記動圓N圓心N的軌跡為N.過曲線N上任一點P作PQx軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|PC|.(1)求動圓N圓心N的軌跡N與動點C的軌跡E的方程；(2)設橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC(C點不同于A，B)與直線x2交于點R，D為線段RB的中點試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論解(1)點F(，0)在圓M：(x)2y216內，圓N內切于圓M，|NM|NF|4|FM|，點N的軌跡N的方程為y21.設C(x，y)，P(x0，y0)，由題意得即又y1，代入得21，即x2y24.即動點C的軌跡E的方程為x2y24.6分(2)設C(m，n)，點R的坐標為(2，t)，A，C，R三點共線，而(m2，n)，(4，t)，則4nt(m2)，t，8分點R的坐標為，點D的坐標為，直線CD的斜率為k，而m2n24，m24n2，k，10分直線CD的方程為yn(xm)，化簡得mxny40，圓心O到直線CD的距離d2r，所以直線CD與圓O相切.32