（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題10 平面解析幾何學(xué)案

專題十平面解析幾何命題觀察·高考定位(對應(yīng)學(xué)生用書第44頁)1(2016·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1的焦距是_2a27，b23，c2a2b27310，c，2c2.2(2016·江蘇高考)如圖101，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0) 的右焦點，直線y 與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是_圖101由題意得B，C，·0，因此c22203c22a2e.3(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_(x1)2y22直線mxy2m10經(jīng)過定點(2，1)當(dāng)圓與直線相切于點(2，1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2(12)2(01)22.4(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y21的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是_2如圖所示，雙曲線y21的焦點為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以|F1F2|4.雙曲線y21的右準線方程為x，漸近線方程為y±x.由得P.同理可得Q.|PQ|，S四邊形F1PF2Q·|F1F2|·|PQ|×4×2.5(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2y250上若·20，則點P的橫坐標的取值范圍是_ 【導(dǎo)學(xué)號：56394068】5，1法一：因為點P在圓O：x2y250上，所以設(shè)P點坐標為(x，±)(5x5)因為A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因為·20，先取P(x，)進行計算，所以(12x)·(x)()(6)20，即2x5.當(dāng)2x50，即x時，上式恒成立；當(dāng)2x50，即x時，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)時，x5.又5x5，所以5x1.故點P的橫坐標的取值范圍為5，1法二：設(shè)P(x，y)，則(12x，y)，(x,6y)·20，(12x)·(x)(y)·(6y)20，即2xy50.如圖，作圓O：x2y250，直線2xy50與O交于E，F(xiàn)兩點，P在圓O上且滿足2xy50，點P在上由得F點的橫坐標為1，又D點的橫坐標為5，P點的橫坐標的取值范圍為5，16(2016·江蘇高考) 如圖102，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)圖102 (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍【導(dǎo)學(xué)號：56394069】解圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為A(2,4)，T(t,0)，所以因為點Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點，所以5555，解得22t22.因此，實數(shù)t的取值范圍是22，22命題規(guī)律(1)題量穩(wěn)定：解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個題目左右，其中填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%.(2)整體平衡，重點突出：重點內(nèi)容重點考，直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)等是高考命題的重點主要集中在如下幾個類型：求曲線方程(類型確定，甚至給出曲線方程)；直線、圓和圓錐曲線間的交點問題(含切線問題)；與圓錐曲線定義有關(guān)的問題(涉及焦半徑、焦點弦、焦點三角形和準線，利用余弦定理等)；與曲線有關(guān)的最值問題(含三角形和四邊形面積)；與曲線有關(guān)的幾何證明(圓線相切、四點共圓、對稱性或求對稱曲線、平行、垂直等)；探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少)主干整合·歸納拓展(對應(yīng)學(xué)生用書第45頁)第1步 核心知識再整合1直線的方程點斜式：yy1k(xx1); 截距式：ykxb；兩點式：； 截距式：1；一般式：AxByC0，其中A、B不同時為0.2兩條直線的位置關(guān)系(1)兩直線平行兩直線的斜率相等或兩直線斜率都不存在；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積為1或一直線斜率不存在，另一直線斜率為零；(3)與已知直線AxByC0(A0，B0)平行的直線系方程為AxBym0(Cm)；(4)若給定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，則有下列結(jié)論：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.(5)兩平行直線間距離公式：AxByC10(A0，B0)與AxByC20(A0，B0，C1C2)的距離d.3圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.4直線與圓相關(guān)問題的兩個關(guān)鍵點(1)三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理(2)兩個公式：點到直線的距離公式d，弦長公式|AB|2(弦心距d)5圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離)6圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點在x軸上)或1(ab0)(焦點在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點在x軸上)或1(a0，b0)(焦點在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)7圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)橢圓：e.(2)雙曲線：e；漸近線方程：y±x或y±x；(3)拋物線：設(shè)y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點，F(xiàn)為其焦點焦半徑|CF|x1；過焦點的弦長|CD|x1x2p；若直線CD過焦點，則x1x2，y1y2p2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0，則直線與橢圓相離(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，當(dāng)0時，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時，直線與雙曲線相切；當(dāng)0時，直線與雙曲線相離 .若a0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)當(dāng)a0時，用判定，方法同上當(dāng)a0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點9有關(guān)弦長問題有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|與|y2y1|時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：|x2x1|，|y2y1|.(2)當(dāng)斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)10弦的中點問題有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算第2步 高頻考點細突破直線方程【例1】已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是_解析由題意，m8，所以直線方程為6x8y140，即3x4y70，d2.答案2規(guī)律方法(1)若給定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，則有下列結(jié)論：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20. 給定兩條直線l1：yk1xb1和l2：yk2xb2，則有下列結(jié)論：l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21；(2)求直線方程就是求出確定直線的幾何要素，即直線經(jīng)過的點和直線的傾斜角，當(dāng)直線的斜率存在時，只需求出直線的斜率和直線經(jīng)過的點即可對于直線的點斜式方程和兩點式方程，前者是直線的斜率和直線經(jīng)過的一點確定直線，后者是兩點確定直線舉一反三已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20.若l1l2，則實數(shù)a的值是_0或3由題意得：aa(a2)0a0或a3.圓的方程及應(yīng)用【例2】(江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研) 如圖103所示，已知圓A的圓心在直線y2x上，且該圓存在兩點關(guān)于直線xy10對稱，又圓A與直線l1：x2y70相切，過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.圖103(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)|MN|2時，求直線l的方程；(3)()·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：56394070】解(1)由圓存在兩點關(guān)于直線xy10對稱知圓心A在直線xy10上，由得A(1,2)，設(shè)圓A的半徑為R，因為圓A與直線l1：x2y70相切，所以R2，所以圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意，當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0，連接AQ(圖略)，則AQMN，|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k，直線l的方程為3x4y60，所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP，·0，()·2·2()·2(··)2·，當(dāng)直線l與x軸垂直時，得P，則，又(1,2)，()·2·2·10.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，由解得P，()·2·2·210，綜上所述，()·是定值，且為10.規(guī)律方法求圓的方程一般有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)其一般步驟：根據(jù)題意選擇方程的形式：標準方程或一般方程；利用條件列出關(guān)于a，b，R，或D，E，F(xiàn)的方程組；解出a，b，R，或D，E，F(xiàn)的值，代入標準方程或一般方程，此外，根據(jù)條件要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運算量舉一反三(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x4)2(y8)21，圓C2：(x6)2(y6)29.若圓心在x軸上的圓C同時平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是_x2y281由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑，設(shè)C(x,0)，則(x4)2(08)21(x6)2(06)29，x0，圓C的方程是x2y281.直線與圓的位置關(guān)系【例3】(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點，若|MN|2，則k的取值范圍是_解析由圓的方程得：圓心(2,3)，半徑r2，圓心到直線ykx3的距離d，|MN|2，222，變形得：43，即4k244k23k23，解得：k，則k的取值范圍是.答案規(guī)律方法直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系確定，dr相切；d<r相交，此時半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形；d>r時相離解有關(guān)直線與圓的相交問題要靈活運用圓的幾何性質(zhì)，特別是半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理圓的切線問題一般利用dr求解，但要注意切線斜率不存在的情形，與圓有關(guān)的最值，范圍問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用直線與圓中常見的最值問題：圓外一點與圓上任一點的距離的最值直線與圓相離，圓上任一點到直線的距離的最值過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最值直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值問題兩圓相離，兩圓上點的距離的最值舉一反三(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A，B兩點，其中A點在第一象限，且2，則直線l的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：56394071】xy10由題意，設(shè)直線xmy1與圓x2y25聯(lián)立，可得(m21)y22my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22y1，y1y2，y1y2，聯(lián)立解得m1，直線l的方程為xy10.圓錐曲線的定義及標準方程【例4】(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)如圖104，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：圖1041(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(3,1)在橢圓上，PF1F2的面積為2.(1)求橢圓C的標準方程；若F1QF2，求QF1·QF2的值(2)直線yxk與橢圓C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求實數(shù)k的值解(1)由條件可知1，c2，又a2b2c2，所以a212，b24，所以橢圓的標準方程為1.當(dāng)時，有所以QF1·QF2.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x26kx3k2120，由根與系數(shù)的關(guān)系及直線方程可知：x1x2，x1x2，y1y2，因為以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則·x1x2y1y2k260，解得k±，此時1200，滿足條件，因此k±.規(guī)律方法(1)對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求>，雙曲線的定義中要求<.(2)求圓錐曲線標準方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設(shè)為y22ax或x22ay (a0)，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時a不具有p的幾何意義橢圓的標準方程可設(shè)為1(m>0，n>0)，雙曲線的標準方程可設(shè)為1(mn>0)，這樣可以避免討論和繁瑣的計算舉一反三(江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知橢圓C：1的左焦點為F，點M是橢圓C上一點，點N是MF的中點，O是橢圓的中點，ON4，則點M到橢圓C的左準線的距離為_設(shè)點M到右焦點的距離為MF，則MF2×48，由定義可知該點到左焦點的距離MF1082，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得點M到橢圓C的左準線的距離為d.圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例5】(江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知拋物線y216x的焦點恰好是雙曲線1的右焦點，則雙曲線的漸近線方程為_解析根據(jù)題意，拋物線的標準方程：y216x，其焦點坐標為(4,0)，則雙曲線1的右焦點坐標為(4,0)，則c4，有12b216，解可得b2，則雙曲線的方程為1，則該雙曲線的漸近線方程y±x.答案y±x規(guī)律方法求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e212，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)，求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個不等式確定a，c的關(guān)系舉一反三(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖105，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：1(ab0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點若B2FAB1，則橢圓C的離心率是_圖105由題意得×1b2aca2c2ac1e2e,0e1e.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例6】(江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖106，橢圓C：圖1061(ab0)，圓O：x2y2b2，過橢圓C的上頂點A的直線l：ykxb分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P、Q，設(shè).(1)若點P(3,0)，點Q(4，1)，求橢圓C的方程；(2)若3，求橢圓C的離心率e的取值范圍 【導(dǎo)學(xué)號：56394072】解(1)由P(3,0)在圓O：x2y2b2上，可得b3.又點Q在橢圓C上，得1，解得a218.橢圓C的方程為1；(2)聯(lián)立得x0或xP，聯(lián)立得x0或xQ.，3，·，即k24e21.k20，4e21，得e或e.又0e1，e1.規(guī)律方法(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程若>0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若<0，則直線與橢圓相離(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y或x，得到一個一元方程ax2bxc0，或ay2byc0，若a0，當(dāng)>0時，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時，直線與雙曲線相切；當(dāng)<0時，直線與雙曲線相離；若a0，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點(3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y或x，得到一個一元方程ax2bxc0，或ay2byc0，當(dāng)a0時，用判定，方法同上；當(dāng)a0時，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線有一個交點拋物線y22px(p>0)的過焦點F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.同樣可得拋物線y22px，x22py，x22py類似的性質(zhì)(4)解決直線與圓錐曲線相交時的弦長問題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進行整體代入即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|.舉一反三(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖107，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1.圖107(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y于點Q，求的值解(1)由題意得，c1，解得a，c1，b1.所以橢圓的方程為y21.(2)由題意知OP的斜率存在當(dāng)OP的斜率為0時，OP，OQ，所以1.當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP方程為ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以O(shè)P2.因為OPOQ，所以直線OQ的方程為yx.由得xk，所以O(shè)Q22k22.所以1.綜上，可知1.圓錐曲線中的范圍問題【例7】(江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(在x軸上方)，連接PF1并延長交橢圓于另一點Q，設(shè).(1)若點P的坐標為，且PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e，求實數(shù)的取值范圍解(1) 因為F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，所以PF1PF2QF1QF22a，從而PQF2的周長為4a.由題意，得4a8，解得a2.因為點P的坐標為，所以1，解得b23.所以橢圓C的方程為1.(2)法一：因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y00.設(shè)Q(x1，y1)因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P.因為F1(c,0)，所以，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q.因為點Q在橢圓上，所以2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因為10，所以(3)e21，從而3.因為e，所以e2，即5.所以的取值范圍為.法二因為PF2x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y00.因為P在橢圓上，所以1，解得y0，即P.因為F1(c,0)，故直線PF1的方程為y(xc)由得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0.因為直線PF1與橢圓有一個交點為P.設(shè)Q(x1，y1)，則x1c，即cx1.因為，所以3.因為e，所以e2，即5.所以的取值范圍為.規(guī)律方法(1)求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個變量的目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運算的方便，在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍(2)求解特定字母取值范圍問題的常用方法：構(gòu)造不等式法：根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對稱性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解舉一反三(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知橢圓C：1(a0，b0)的左焦點為F(1,0)，左準線為x2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知直線l交橢圓C于A，B兩點若直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足，求證：為常數(shù)；若OAOB(O為原點)，求AOB的面積的取值范圍解(1) 橢圓C：1(a0，b0)的左焦點為F(1,0)，左準線為x2，由題設(shè)知c1，2，a22c，a22，b2a2c21，橢圓C的標準方程為y21.(2)由題設(shè)知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，則P(0，k)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l代入橢圓得x22k2(x1)22，整理，得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，由，知，4(定值)為常數(shù)4.當(dāng)直線OA，OB分別與坐標軸重合時，AOB的面積SAOB，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設(shè)OA：ykx，OB：yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將ykx代入橢圓C，得到x22k2x22，x，y，同理，x，y，AOB的面積SAOB，令tk211，)，則SAOB，令(0,1，則SAOB.綜上所述，AOB的面積的取值范圍是.圓錐曲線中的存在性問題【例8】(淮安市20142015學(xué)年度第二學(xué)期高二調(diào)查測試)已知橢圓M：1(ab0)，點F1(1,0)、C(2,0)分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點F1的直線l(不與x軸重合)交M于A，B兩點(1)求橢圓M的標準方程；(2)若A(0，)，求AOB的面積；(3)是否存在直線l，使得點B在以線段F1C為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)由F1(1,0)、C(2,0)得：a2，b，所以橢圓M的標準方程為1；(2)因為A(0，)，F(xiàn)1(1,0)，所以過A，F(xiàn)1的直線l的方程為：1，即xy0，解方程組得y1，y2，SABC×1×|y1y2|；(3)設(shè)B(x0，y0)(2x02)，則1.因為C(2,0)，F(xiàn)1(1,0)，所以·(1x0，y0)·(2x0，y0)23x0xyx3x050，解得：x02或10，又因為2x02，所以點B不在以F1C為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點B在以F1C為直徑的圓上規(guī)律方法(1)求解存在性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程(2)解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑(3)解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論舉一反三(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，P是動點，且POA的三邊所在直線的斜率滿足kOPkOAkPA.圖108(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M.問：是否存在點P，使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：56394073】解(1)設(shè)點P(x，y)kOPkOAkPA，(1)，化為yx2(x0且x1)即為點P的軌跡方程(2)假設(shè)存在點P(x1，x)，Q(x2，x)，使得PQA和PAM的面積滿足SPQA2SPAM，如圖所示，點M為線段AQ的中點，PQOA，得kPQkAO1.解得此時P(1,1)，Q(0,0)分別與A，O重合，因此不符合題意故假設(shè)不成立，此時不存在滿足條件的點P.如圖所示，當(dāng)點M在QA的延長線時，由SPQA2SPAM，可得2，2，PQOA.由PQOA，可得kPQkAO1.設(shè)M(m，n)由2，2，可得：1x22(m1)，x12m，化為x1x23.聯(lián)立解得此時，P(1,1)滿足條件綜上可知：P(1,1)滿足條件.圓錐曲線中的定值問題【例9】(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓1(ab0)的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點為A.圖109(1)求該橢圓的方程；(2)過點D(，)作直線PQ交橢圓于兩個不同點P，Q，求證：直線AP，AQ的斜率之和為定值解(1)由題意可知：橢圓1(ab0)，焦點在x軸上，2c1，c1，橢圓的離心率e，則a，b2a2c21，則橢圓的標準方程為y21；(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由題意PQ的方程：yk(x)，則整理得：(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1x2，x1x2，則y1y2k(x1x2)2k2，則kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直線AP，AQ的斜率之和為定值1.規(guī)律方法(1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值(2)求定值問題常見的方法有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值(3)定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量舉一反三(江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖1010，在平面直角坐標系xOy中，橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為點A，B，M是線段AB的中點，且·b2.圖1010(1)求橢圓的離心率；(2)若a2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，ABCD，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值解(1)A(a,0)，B(0，b)，線段AB的中點M.(a，b)，.·b2.b2b2，化為：a2b.橢圓的離心率e.(2)證明：由a2，可得b1，橢圓的標準方程為y21，A(2,0)，B(0,1)設(shè)直線BC的方程為yk2x1，聯(lián)立化為：(14k)x28k2x0，解得xC，yC.即C.直線AD的方程為yk1(x2)，聯(lián)立化為(14k)x216kx16k40，2xD，解得xD，yD，可得D，kCD，化為：116kk2k12k28k1k8k2k0.(4k1k24k14k21)0，k1k2.圓錐曲線中的最值問題【例10】如圖1011，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的左，右頂點分別為A1(，0)，A2(，0)，若直線3x4y50上有且僅有一個點M，使得F1MF290°.圖1011(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過橢圓C兩焦點點P，Q分別為橢圓C和圓T上的一動點若·0時，PQ取得最大值為，求實數(shù)t的值 【導(dǎo)學(xué)號：56394074】解(1)因為橢圓C：1(ab0)左，右頂點分別為A1(，0)，A2(，0)，所以a22.又因為直線3x4y50上恰存在一個點M，使得F1MF290°，即以原點O為圓心，半徑為rOF1c作圓O，使得圓O與直線3x4y50相切即可(圖略)又圓心O到直線3x4y50的距離d1，所以c1，b2a2c21，所以橢圓C的標準方程為y21；(2)設(shè)P(x0，y0)，因為點P在橢圓上，所以有y1，因為圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過橢圓C兩焦點，所以圓T的方程為x2(yt)2t21(t0)，由·0得PQ2PT2QT2x(y0t)2(t21)，又y1，所以PQ2(y0t)2t21，當(dāng)t1即t1時，當(dāng)y01時，PQ取得最大值，因為PQ的最大值為，所以，解得t，又t1，故舍去當(dāng)t1即0t1時，當(dāng)y0t時，PQ取最大值，所以，解得t2，又0t1，所以t.綜上，當(dāng)t時，PQ的最大值為.規(guī)律方法(1)圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解(2)常見的幾何方法有：直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為該點P到直線的垂線段的長度；圓C外一定點P到圓上各點距離的最大值為|PC|R，最小值為|PC|R(R為圓C半徑)；過圓C內(nèi)一定點P的圓的最長的弦即為經(jīng)過P點的直徑，最短的弦為過P點且與經(jīng)過P點直徑垂直的弦；圓錐曲線上本身存在最值問題，如a.橢圓上兩點間最大距離為2a(長軸長)；b.雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長)；c.橢圓上的點到焦點的距離的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最小與最大距離；d.拋物線中頂點與拋物線的準線距離最近(3)常用的代數(shù)方法有：a.利用二次函數(shù)求最值；b.通過三角換元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用導(dǎo)數(shù)法求最值；e.利用函數(shù)單調(diào)性求最值舉一反三已知圓M：x2(y4)24，點P是直線l：x2y0上的一動點，過點P作圓M的切線PA、PB，切點為A、B.(1)當(dāng)切線PA的長度為2時，求點P的坐標；(2)若PAM的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；(3)求線段AB長度的最小值解(1)由題可知，圓M的半徑r2，設(shè)P(2b，b)，因為PA是圓M的一條切線，所以MAP90°，所以MP4，解得b0或b，所以P(0,0)或P.(2)設(shè)P(2b，b)，因為MAP90°，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為：(xb)22，即(2xy4)b(x2y24y)0，由解得或所以圓過定點(0,4)，.(3)因為圓N方程為(xb)22，即x2y22bx(b4)y4b0.圓M：x2(y4)24，即x2y28y120.得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為2bx(b4)y124b0，點M到直線AB的距離d.相交弦長即：AB244，b時，AB有最小值.第3步 高考易錯明辨析1忽視直線斜率不存在的情況已知圓C的方程為x2y24，直線l過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點若|AB|2，求直線l的方程錯解方程可設(shè)為y2k(x1)，又設(shè)圓心到直線l的距離為d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直線l的方程為3x4y50.錯解分析在利用直線的點斜式與斜截式解題時，要防止由于“無斜率”而漏解，本題就是忽略斜率不存在導(dǎo)致圓的切線方程只有一條正解(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，畫出圖象可知，直線x1也符合題意(2)當(dāng)直線l的斜率k存在時，其方程可設(shè)為y2k(x1)，又設(shè)圓心到直線l的距離為d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直線l的方程為3x4y50和x1.2忽略對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷的情況已知雙曲線x21，問過點A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由錯解設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因為A(1,1)為線段PQ的中點，所以將代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，則直線l的斜率k2，所以符合題設(shè)條件的直線l存在，其方程為2xy10.錯解分析由于點A(1,1)在雙曲線外，過點A(1,1)的直線，不一定都與雙曲線相交，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的正解設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因為A(1,1)為線段PQ的中點，所以將代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，則直線l的斜率k2，再由得2x24x30，根據(jù)80，說明所求直線不存在3忽略對定義的理解的情況已知圓O1：x2y21，圓O2：x2y210x90都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程錯解圓O2：x2y210x90，即為(x5)2y216，所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r24，而圓O1：x2y21的圓心為O1(0,0)，半徑r11，設(shè)所求動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，則r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化簡得16x280x9y2640，即1為所求動圓圓心的軌跡方程錯解分析上述解法將|O1M|O2M|3看成|O1M|O2M|3，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致正解圓O2：x2y210x90，即為(x5)2y216，所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r24，而圓O1：x2y21的圓心為O1(0,0)，半徑r11，設(shè)所求動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，則r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化簡得16x280x9y2640，又因為|O1M|O2M|3，表示動點M到定點O1及O2的距離差為常數(shù)3.且|O1O2|53，點M的軌跡為雙曲線右支，方程為1(x4)4忽略直線與雙曲線的漸進線平行只有一個交點過點(0,3)作直線l，如果它與雙曲線1只有一個公共點，則直線l的條數(shù)是_錯解2錯解分析在探討直線與雙曲線的位置關(guān)系時，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進線平行的特殊情況，這時構(gòu)成的方程是一次的直線與雙曲線的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種其判定方法有兩種：一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程ax2bxc0.若a0，0，直線與雙曲線相交，有兩個交點；若a0，直線與漸進線平行，有一個交點若a0，0，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點若a0，0，直線與雙曲線相離，沒有公共點二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想正解用數(shù)形結(jié)合的方法：過點(0,3)與雙曲線只有一個公共點的直線分兩類一類是平行于漸進線的，有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條如圖所示：故填4.專家預(yù)測·鞏固提升(對應(yīng)學(xué)生用書第53頁)1(改編題)已知拋物線y24x與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點F，點A，B是兩曲線的交點，若()·0，則雙曲線的離心率為_1因為拋物線y24x與雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點F，點A，B是兩曲線的交點，且()·0，由二次曲線對稱性可得，AFx軸，所以F(1,0)，AF2，A(1,2)，則解得a1，所以e1.2(改編題)已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且傾斜角為135°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為6，則該拋物線的準線方程為_x2因為直線傾斜角為135°，故它的斜率為1，又焦點為，設(shè)直線為y，直線交拋物線于A，B兩點，消參得4x212pxp20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x23p，線段AB的中點的橫坐標為6，6，p4，拋物線的準線方程為x2.3(改編題)已知橢圓C：1(ab0)的一個焦點是(1,0)，兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形(1)求橢圓C的方程；(2)如圖1012，動直線l：ykxm與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1Ml，F(xiàn)2Nl.求四邊形F1MNF2面積S的最大值【導(dǎo)學(xué)號：56394075】圖1012解(1)橢圓C：1(ab0)的一個焦點是(1,0)，所以半焦距c1，又因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，所以，解得a2，b，所以橢圓C的標準方程為1；4分(2)將直線l的方程ykxm代入橢圓C的方程3x24y212中，得(4k23)x28kmx4m2120，由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得：m24k23.6分設(shè)d1|F1M|，d2|F2N|，法一：當(dāng)k0時，設(shè)直線l的傾斜角為，則|d1d2|MN|×|tan |，|MN|，S(d1d2)，8分m24k23，當(dāng)k0時，|m|，|m|，S2.當(dāng)k0時，四邊形F1MNF2是矩形，S2.所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為2.12分法二：dd22，d1d2·3.|MN|.8分四邊形F1MNF2的面積S|MN|(d1d2)(d1d2)，S2(dd2d1d2)164212.當(dāng)且僅當(dāng)k0時，S212，S2，故Smax2.所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2.12分4(改編題)設(shè)定圓M：(x)2y216，動圓N過點F(，0)且與圓M相切，記動圓N圓心N的軌跡為N.過曲線N上任一點P作PQx軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|PC|.(1)求動圓N圓心N的軌跡N與動點C的軌跡E的方程；(2)設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC(C點不同于A，B)與直線x2交于點R，D為線段RB的中點試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)點F(，0)在圓M：(x)2y216內(nèi)，圓N內(nèi)切于圓M，|NM|NF|4|FM|，點N的軌跡N的方程為y21.設(shè)C(x，y)，P(x0，y0)，由題意得即又y1，代入得21，即x2y24.即動點C的軌跡E的方程為x2y24.6分(2)設(shè)C(m，n)，點R的坐標為(2，t)，A，C，R三點共線，而(m2，n)，(4，t)，則4nt(m2)，t，8分點R的坐標為，點D的坐標為，直線CD的斜率為k，而m2n24，m24n2，k，10分直線CD的方程為yn(xm)，化簡得mxny40，圓心O到直線CD的距離d2r，所以直線CD與圓O相切.32