2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第21講 不等式選講學(xué)案 文

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1、第21講不等式選講1.2017全國卷 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.試做 命題角度含絕對值的不等式的解法含絕對值不等式的解題策略:關(guān)鍵一:運用分類討論思想,根據(jù)零點分區(qū)間討論;關(guān)鍵二:運用數(shù)形結(jié)合思想,利用絕對值的幾何意義求解.2.2017全國卷 已知a0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.試做 命題角度不等式的證明不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中公式法常用

2、的是基本不等式和柯西不等式.3.2016全國卷 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)6的解集;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)xR時,f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.試做 命題角度關(guān)于含絕對值不等式的恒成立問題解決恒成立問題主要利用轉(zhuǎn)化思想,其思路為:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)0.(1)當(dāng)a=3時,求不等式f(x)5x+1的解集;(2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1,求a的值.聽課筆記【考場點撥】高考?？嫉暮薪^對值的不等

3、式的解法:(1)利用零點分區(qū)間討論法.以絕對值的零點為分界點,將數(shù)軸分成幾個區(qū)間,運用分類討論思想對每個區(qū)間進行討論.(2)利用絕對值的幾何意義求解.即運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與在數(shù)軸上的距離(范圍)問題結(jié)合.解題時強調(diào)函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的靈活應(yīng)用.(3)構(gòu)造函數(shù)去解決.一般是把含有絕對值的式子構(gòu)造為一個函數(shù),剩余的部分構(gòu)造成另一個函數(shù),畫出函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.【自我檢測】已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)當(dāng)m=-1時,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含34,2,求實數(shù)m的取值范圍.解答2不等式的證明2 已知函數(shù)

4、f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)若f(x)-m2+6m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(2)在(1)的條件下,設(shè)m的最大值為m0,a,b,c均為正實數(shù),當(dāng)3a+4b+5c=m0 時,證明:a2+b2+c212.聽課筆記【考場點撥】高考中不等式證明的關(guān)注點:不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中以比較法和綜合法最為常見,反證法和分析法也是我們常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是證明不等式的利器,又是求二元變量關(guān)系式最值的法寶.【自我檢測】已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-5|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)6;(2)記f(x)的

5、最小值為m,已知實數(shù)a,b,c 都是正實數(shù),且1a+12b+13c=m4,求證:a+2b+3c9.解答3含絕對值不等式的恒成立問題3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|2x-2|.(1)求不等式f(x)+10的解集;(2)當(dāng)xR時,f(x)g(a)恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)ming(a);(2)如f(x)g(a)恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(a).【自我檢測】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-3a|,aR.(1)若f(x)的最小值是4,求a的值;(2)若對于任意的實數(shù)xR,總存在a-2,3,使得m2-4|m|-f(x)0成立,求實數(shù)m的取值范圍.第21講不等式選講 典型真題研析1.解:(1)當(dāng)

6、a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)x1時,式化為x2+x-40,從而11時,等價于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,+). 考點考法探究解答1例1解:(1)當(dāng)a=3時,不等式f(x)5x+1即|2x-3|+5x5x+1,即|2x-3|1,解得x2或x1,不等式f(x)5x+1的解集為x|x1或x2.(2)由f(x)0得|2x-a|+5x0,即xa2,7x-a0或x0,不等式f(x)0的解集為xx-a3,由題意得-a3=-1,解得a=3.【自我檢測】解:(1)當(dāng)m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|.當(dāng)x1時,f(x)=3x-22

7、,此時1x43;當(dāng)12x1時,f(x)=x2,此時12x6得x6或1x5,x-1+5-x6或x5,x-1+x-56,解得x6,所以不等式f(x)6的解集為(-,0)(6,+).(2)證明:由f(x)=|x-1|+|x-5|x-1-(x-5)|=4(當(dāng)且僅當(dāng)1x5時取等號),得f(x)min=4,即m=4,從而1a+12b+13c=1,所以a+2b+3c=1a+12b+13c(a+2b+3c)=3+a2b+2ba+a3c+3ca+2b3c+3c2b9(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=3時取等號).解答3例3解:(1)當(dāng)x1時,f(x)=x,f(x)+10即為x+10,解得x-1,此時-1x1;當(dāng)10即為

8、-3x+50,解得x53,此時1x2時,f(x)=-x,f(x)+10即為-x+10,解得x0的解集為x-1x53.(2)由(1)知f(x)=x,x1,-3x+4,12.作出y=f(x)的圖像,如圖所示:結(jié)合圖像可知,要使f(x)-x+a恒成立,只需當(dāng)x=1時,f(x)-x+a,即12,實數(shù)a的取值范圍為(2,+).【自我檢測】解:(1)f(x)=|x+a|+|x-3a|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,且f(x)min=4,4|a|=4,解得a=1.(2)由題知|m|2-4|m|4|a|,又a是存在的且a-2,3.|m|2-4|m|4|a|max=12,即|m|2-4|m|-120,即(

9、|m|-6)(|m|+2)0,|m|6,-6m6,即實數(shù)m的取值范圍為-6,6.備選理由 在不等式的證明中,反證法也是解決問題的一個重要思路,備用例1是對例2應(yīng)用的一個補充.例1配例2使用 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,aR.(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)+f(-x)g(x)的解集;(2)若bR,求證:fb2,f-b2,f12中至少有一個不小于12.解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)+f(-x)g(x)即|2x-1|+|2x+1|x+2,所以x-12,-4xx+2,無解;-12x12,2x+2,解得0x12;x12,4xx+2,解得12x23.綜上,原不等式的解集為x0x23.(2)證明:(反證法)假設(shè)fb2,f-b2,f12都小于12,則-12a-b12,-12a+b12,-12a-112,前兩式相加可得-12a12,與第三式12a32矛盾,故假設(shè)不成立.所以fb2,f-b2,f12中至少有一個不小于12.8