2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第21講 不等式選講學(xué)案 文

第21講不等式選講1.2017·全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.試做 命題角度含絕對(duì)值的不等式的解法含絕對(duì)值不等式的解題策略:關(guān)鍵一:運(yùn)用分類討論思想,根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論;關(guān)鍵二:運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,利用絕對(duì)值的幾何意義求解.2.2017·全國(guó)卷 已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.試做 命題角度不等式的證明不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.3.2016·全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)6的解集;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.試做 命題角度關(guān)于含絕對(duì)值不等式的恒成立問題解決恒成立問題主要利用轉(zhuǎn)化思想,其思路為:f(x)>a恒成立f(x)min>a;f(x)<a恒成立f(x)max<a;f(x)>a有解f(x)max>a;f(x)<a有解f(x)min<a;f(x)>a無(wú)解f(x)maxa;f(x)<a無(wú)解f(x)mina.解答1含絕對(duì)值的不等式的解法1 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.(1)當(dāng)a=3時(shí),求不等式f(x)5x+1的解集;(2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1,求a的值.聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考常考的含有絕對(duì)值的不等式的解法:(1)利用零點(diǎn)分區(qū)間討論法.以絕對(duì)值的零點(diǎn)為分界點(diǎn),將數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間,運(yùn)用分類討論思想對(duì)每個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論.(2)利用絕對(duì)值的幾何意義求解.即運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與在數(shù)軸上的距離(范圍)問題結(jié)合.解題時(shí)強(qiáng)調(diào)函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的靈活應(yīng)用.(3)構(gòu)造函數(shù)去解決.一般是把含有絕對(duì)值的式子構(gòu)造為一個(gè)函數(shù),剩余的部分構(gòu)造成另一個(gè)函數(shù),畫出函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.【自我檢測(cè)】已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)當(dāng)m=-1時(shí),求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含34,2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解答2不等式的證明2 已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)若f(x)-m2+6m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)在(1)的條件下,設(shè)m的最大值為m0,a,b,c均為正實(shí)數(shù),當(dāng)3a+4b+5c=m0 時(shí),證明:a2+b2+c212.聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考中不等式證明的關(guān)注點(diǎn):不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中以比較法和綜合法最為常見,反證法和分析法也是我們常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是證明不等式的利器,又是求二元變量關(guān)系式最值的法寶.【自我檢測(cè)】已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-5|.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>6;(2)記f(x)的最小值為m,已知實(shí)數(shù)a,b,c 都是正實(shí)數(shù),且1a+12b+13c=m4,求證:a+2b+3c9.解答3含絕對(duì)值不等式的恒成立問題3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|2x-2|.(1)求不等式f(x)+1>0的解集;(2)當(dāng)xR時(shí),f(x)<-x+a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.聽課筆記【考場(chǎng)點(diǎn)撥】利用絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)的值或范圍,一般采用分離參數(shù)法,然后使用結(jié)論:(1)如f(x)>g(a)恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)max<g(a).【自我檢測(cè)】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-3a|,aR.(1)若f(x)的最小值是4,求a的值;(2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)xR,總存在a-2,3,使得m2-4|m|-f(x)0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第21講不等式選講 典型真題研析1.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)x<-1時(shí),式化為x2-3x-40,無(wú)解;當(dāng)-1x1時(shí),式化為x2-x-20,從而-1x1;當(dāng)x>1時(shí),式化為x2+x-40,從而1<x-1+172.所以f(x)g(x)的解集為x-1x-1+172.(2)當(dāng)x-1,1時(shí),g(x)=2,所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等價(jià)于當(dāng)x-1,1時(shí)f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)2,且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范圍為-1,1.2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.3.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26,得-1x3.因此,f(x)6的解集為x|-1x3.(2)當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng)x=12時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3等價(jià)于|1-a|+a3.當(dāng)a1時(shí),等價(jià)于1-a+a3,無(wú)解.當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,+). 考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(1)當(dāng)a=3時(shí),不等式f(x)5x+1即|2x-3|+5x5x+1,即|2x-3|1,解得x2或x1,不等式f(x)5x+1的解集為x|x1或x2.(2)由f(x)0得|2x-a|+5x0,即xa2,7x-a0或x<a2,3x+a0,又a>0,不等式f(x)0的解集為xx-a3,由題意得-a3=-1,解得a=3.【自我檢測(cè)】解:(1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|.當(dāng)x1時(shí),f(x)=3x-22,此時(shí)1x43;當(dāng)12<x<1時(shí),f(x)=x2,此時(shí)12<x<1;當(dāng)x12時(shí),f(x)=2-3x2,此時(shí)0x12.綜合可知,原不等式的解集為x|0x43.(2)由題意可知f(x)|2x+1|在34,2上恒成立,當(dāng)x34,2時(shí),由f(x)=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1|2x+1|=2x+1,可得|x+m|2,即-2x+m2,所以-2-xm2-x,又(-2-x)max=-114,(2-x)min=0,所以m-114,0.解答2例2解:(1)不等式f(x)-m2+6m恒成立等價(jià)于f(x)max-m2+6m,而f(x)=|x+1|-|x-4|x+1-(x-4)|=5,-m2+6m5,1m5,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為1,5.(2)證明:在(1)的條件下,m的最大值m0=5,即3a+4b+5c=5,由柯西不等式得(a2+b2+c2)·(9+16+25)(3a+4b+5c)2,即50(a2+b2+c2)25,a2+b2+c212.【自我檢測(cè)】解:(1)f(x)=|x-1|+|x-5|,所以由f(x)>6得x<1,1-x+5-x>6或1x5,x-1+5-x>6或x>5,x-1+x-5>6,解得x<0或x>6,所以不等式f(x)>6的解集為(-,0)(6,+).(2)證明:由f(x)=|x-1|+|x-5|x-1-(x-5)|=4(當(dāng)且僅當(dāng)1x5時(shí)取等號(hào)),得f(x)min=4,即m=4,從而1a+12b+13c=1,所以a+2b+3c=1a+12b+13c(a+2b+3c)=3+a2b+2ba+a3c+3ca+2b3c+3c2b9(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=3時(shí)取等號(hào)).解答3例3解:(1)當(dāng)x1時(shí),f(x)=x,f(x)+1>0即為x+1>0,解得x>-1,此時(shí)-1<x1;當(dāng)1<x2時(shí),f(x)=-3x+4,f(x)+1>0即為-3x+5>0,解得x<53,此時(shí)1<x<53;當(dāng)x>2時(shí),f(x)=-x,f(x)+1>0即為-x+1>0,解得x<1,此時(shí)x.綜上可知,f(x)+1>0的解集為x-1<x<53.(2)由(1)知f(x)=x,x1,-3x+4,1<x2,-x,x>2.作出y=f(x)的圖像,如圖所示:結(jié)合圖像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需當(dāng)x=1時(shí),f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+).【自我檢測(cè)】解:(1)f(x)=|x+a|+|x-3a|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,且f(x)min=4,4|a|=4,解得a=±1.(2)由題知|m|2-4|m|4|a|,又a是存在的且a-2,3.|m|2-4|m|4|a|max=12,即|m|2-4|m|-120,即(|m|-6)(|m|+2)0,|m|6,-6m6,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-6,6.備選理由 在不等式的證明中,反證法也是解決問題的一個(gè)重要思路,備用例1是對(duì)例2應(yīng)用的一個(gè)補(bǔ)充.例1配例2使用 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,aR.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)+f(-x)g(x)的解集;(2)若bR,求證:fb2,f-b2,f12中至少有一個(gè)不小于12.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)+f(-x)g(x)即|2x-1|+|2x+1|x+2,所以x-12,-4xx+2,無(wú)解;-12<x<12,2x+2,解得0x<12;x12,4xx+2,解得12x23.綜上,原不等式的解集為x0x23.(2)證明:(反證法)假設(shè)fb2,f-b2,f12都小于12,則-12<a-b<12,-12<a+b<12,-12<a-1<12,前兩式相加可得-12<a<12,與第三式12<a<32矛盾,故假設(shè)不成立.所以fb2,f-b2,f12中至少有一個(gè)不小于12.8