(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級 難點(diǎn)自選 專題四“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略講義 理(普通生含解析)

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1、(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級 難點(diǎn)自選 專題四“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略講義 理(普通生,含解析)全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)極值與不等式證明T21函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明、函數(shù)的零點(diǎn)問題T21導(dǎo)數(shù)在研究不等式及極值問題的應(yīng)用T212017利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問題T21利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的證明T21導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用、不等式的放縮T212016利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題、不等式的證明T21利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明及值域問題T21三角函數(shù)的導(dǎo)

2、數(shù)運(yùn)算、最值問題及不等式證明T21導(dǎo)數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型,而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題,是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)解答題的熱點(diǎn)題型有:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值;(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根;(3)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值考法策略(一)利用分類討論思想探究函數(shù)的性質(zhì)典例設(shè)f(x)xln xax2(2a1)x,aR.(1)令g(x)f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知f(x)在x1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由f(x)ln x2ax2a,可得g(x)ln x2ax2a,x(0,)所以

3、g(x)2a.當(dāng)a0,x(0,)時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a0,x時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x時(shí),g(x)0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)a0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,);當(dāng)a0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)由(1)知,f(1)0.當(dāng)a0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在x1處取得極小值,不合題意當(dāng)0a時(shí),1,由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0,當(dāng)x時(shí),f(x)0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以f

4、(x)在x1處取得極小值,不合題意當(dāng)a時(shí),1,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意當(dāng)a時(shí),01,當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減所以f(x)在x1處取極大值,符合題意綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題后悟通 分類討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題的策略(1)何時(shí)討論參數(shù)?在求解中,若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果,就要分類討論如本例(1)中由g(x)確定單調(diào)區(qū)間時(shí),對a的取值要分類討論(2)如何討論參數(shù)?解答此類問題的關(guān)鍵是如何分類,分類時(shí)要結(jié)合題目條件,對參數(shù)取值范圍進(jìn)行劃分,進(jìn)而研

5、究其問題如本例(2)中分類的依據(jù)是與1的大小比較應(yīng)用體驗(yàn)1(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:2,令f(x)0,得x或x.當(dāng)x時(shí),f(x)0.所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)證明:由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí),f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2ax10,所以x1x21,不妨設(shè)x11.由于1a2a2a,所以a2等價(jià)于x22ln x20.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x,由(1)知,g(x)在(0,)上單調(diào)遞減又g(1)0,從而當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)0.所以x22ln x2

6、0,即0),f(1)a10,解得a1,當(dāng)a1時(shí),f(x)xxln x,即f(x)ln x,令f(x)0,解得x1;令f(x)0,解得0x1,即m2,當(dāng)0x1時(shí),f(x)x(1ln x)0且x0時(shí),f(x)0;當(dāng)x時(shí),顯然f(x).如圖,由圖象可知,m10,即m1,由可得2m1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,1)題后悟通 轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問題的策略(1)直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題(2)分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為ag(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線ya與函數(shù)yg

7、(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題只需要用a與函數(shù)g(x)的極值和最值進(jìn)行比較即可如本例函數(shù)yf(x)m1的零點(diǎn)問題即可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1兩圖象的交點(diǎn)問題應(yīng)用體驗(yàn)2已知函數(shù)f(x)的圖象在xe處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1,e),其中e2.718 28.(1)求a的值;(2)若函數(shù)g(x)tf(x)x在(1,e2上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍解:(1)由題意,得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1,)因?yàn)閒(x),所以f(e)ae.所以f(x)的圖象在xe處的切線方程為yf(e)f(e)(xe),即yae2ae(xe),所以yeax.因?yàn)閒(x)的圖象在xe處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1,e),所以a1.(2)函數(shù)g(

8、x)tf(x)x在(1,e2上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)h(x)與yt的圖象在(1,e2上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)因?yàn)閔(x),由h(x)0,得0xe且x1;由h(x)0,得xe.所以當(dāng)xe時(shí),h(x)有極大值,即為最大值h(e).又因?yàn)閔e,h(e2),h(1)0且0e,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.考法策略(三)利用函數(shù)思想探究不等式問題典例已知函數(shù)f(x)ln xa(x1),aR的圖象在(1,f(1)處的切線與x軸平行(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在x01,當(dāng)x(1,x0)時(shí),恒有f(x)2xk(x1)成立,求k的取值范圍解(1)由已知可得f(x)的定義域?yàn)?0,)f(x)a,f(1)1a0,a1,

9、f(x)1,令f(x)0,得0x1;令f(x)0,得x1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,)(2)由(1)知f(x)ln xx1,不等式f(x)2xk(x1)可化為ln xxk(x1),令g(x)ln xxk(x1),則g(x)x1k.令h(x)x2(1k)x1,則h(x)的對稱軸為直線x,當(dāng)1,即k1時(shí),易知h(x)在(1,)上單調(diào)遞減,x(1,)時(shí),h(x)h(1)1k,若k1,則h(x)0,g(x)0,g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,g(x)g(1)0,不符合題意若1k1,則h(1)0,存在x01,使得x(1,x0)時(shí),h(x)0,即g(x)0,g(x)在(1,x0

10、)上單調(diào)遞增,g(x)g(1)0恒成立,符合題意當(dāng)1,即k1時(shí),易知存在x01,使得h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,h(x)h(1)1k0,g(x)0,g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,g(x)g(1)0恒成立,符合題意綜上,k的取值范圍是(,1)題后悟通函數(shù)思想解決不等式問題的策略移項(xiàng)法證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(如本例)構(gòu)造“形似”函數(shù)對原不等式同解變形,如移項(xiàng)、通分、取對數(shù);把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu),根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)主元法對于(或可化為)f

11、(x1,x2)A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構(gòu)造函數(shù)f(x,x2)(或f(x1,x)應(yīng)用體驗(yàn)3(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)aexln x1.(1)設(shè)x2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)a時(shí),f(x)0.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)aex.由題設(shè)知,f(2)0,所以a.從而f(x)exln x1,f(x)ex.可知f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,又f(2)0,所以當(dāng)0x2時(shí),f(x)2時(shí),f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,)(2)證明:當(dāng)a時(shí),f(x)ln x1.設(shè)g(x)ln x1,則g(x).可知g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,且g(1)0,所以當(dāng)0x1時(shí),g(x)1時(shí),g(x)0.所以x1是g(x)的最小值點(diǎn)故當(dāng)x0時(shí),g(x)g(1)0.因此,當(dāng)a時(shí),f(x)0.

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