2019屆高考數(shù)學總復習 模塊七 選考模塊 第22講 不等式選講學案 理

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1、第22講不等式選講1.2018全國卷設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當a=1時,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.試做2.2018全國卷已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)時不等式f(x)x成立,求a的取值范圍.試做3.2017全國卷已知a0,b0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.試做 (1)形如|x-a|+|x-b|c(或c)的不等式主要有兩種解法:分段討論法:利用絕對值內(nèi)表達式對應(yīng)方程的根,將數(shù)軸分為(-,a,(a,b,(b,+)(此處設(shè)

2、a0).(1)當a=1時,解不等式f(x)x-1;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)4有解,求a的取值范圍.聽課筆記 【考場點撥】(1)對于形如|f(x)|g(x)|的不等式,可利用不等式兩邊平方的技巧去掉絕對值;(2)對于形如|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a的不等式,通常利用“零點”分區(qū)間法去掉絕對值.【自我檢測】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式f(x)x的解集;(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|a成立,求實數(shù)a的取值范圍.解答2不等式的證明2 已知a0,b0,且a2+b2=2.(1)若1a2+4b2|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范圍;(2

3、)證明:1a+1b(a5+b5)4.聽課筆記 【考場點撥】(1)證明不等式的基本方法有綜合法、分析法,也常用到基本不等式進行證明;(2)對于含有絕對值的不等式,在證明時常用到絕對值三角不等式;(3)對于含有根號的不等式,在證明時可用平方法(前提是不等式兩邊均為正數(shù));(4)如果所證命題是否定性命題或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,可以考慮反證法.【自我檢測】已知關(guān)于x的不等式12x+m|x+2|的解集為R.(1)求實數(shù)m的值;(2)若a,b,c0,且a+b+c=m,求證:a+b+c3.解答3含絕對值不等式的恒成立問題3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+2|x-1|.(1)求不等式f(

4、x)4的解集;(2)若不等式f(x)2m2-7m+4對任意xR恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.聽課筆記 【考場點撥】利用絕對值不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍常用以下結(jié)論:若f(x)g(a)恒成立,則f(x)ming(a);若f(x)g(a)恒成立,則f(x)max0的解集;(2)若對于任意xR,不等式f(x)2恒成立,求m的取值范圍.第22講不等式選講典型真題研析1.解:(1)當a=1時,f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集為x|-2x3.(2)f(x)1等價于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且當x=2時等號成立,故f(x)1等價于|a+2|4

5、.由|a+2|4可得a-6或a2,所以a的取值范圍是(-,-62,+).2.解:(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集為xx12.(2)當x(0,1)時|x+1|-|ax-1|x成立等價于當x(0,1)時|ax-1|0,|ax-1|1的解集為x0x2a,所以2a1,故0x-1即為|x-1|-|3x+2|x-1.當x1時,不等式可化為-2x-3x-1,解得x1矛盾,此時不等式無解;當-23x1時,不等式可化為-4x-1x-1,解得x0,所以-23x0;當xx-1,解得x-4,所以-4x-23.綜上所述,不等式的解集為x|-4x0.(2)

6、f(x)=2x+a+2,xa.因為函數(shù)f(x)在-,-23上單調(diào)遞增,在-23,+上單調(diào)遞減,所以當x=-23時,f(x)max=23+a.不等式f(x)4有解等價于f(x)max=23+a4,解得a103,故a的取值范圍為103,+.【自我檢測】解:(1)由f(x)x,得|2x-7|+1x,即|2x-7|x-1.當x1時,顯然不成立.當x1時,兩邊平方得3x2-26x+480,即(x-6)(3x-8)0,解得83x6,綜上得,不等式的解集為x83x6.(2)因為存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.又因為|2x-7|-2|x

7、-1|+1=6,x1,-4x+10,1x72,-4,x72,所以a-4.解答2例2解:(1)設(shè)f(x)=|2x-1|-|x-1|,則f(x)=x,x1,3x-2,12x1,-x,x12.由a2+b2=2,得12(a2+b2)=1,所以1a2+4b2=121a2+4b2(a2+b2)=121+4+b2a2+4a2b2121+4+2b2a24a2b2=92,當且僅當a2=23,b2=43時等號成立,所以92|2x-1|-|x-1|.當x1時,得x92,所以1x92;當12x1時,得3x-292,解得x136,所以12x1;當x12時,得-x92,解得x-92,所以-92x12.綜上可得-92x92

8、.(2)證明:1a+1b(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2(a2+b2)2+2b5aa5b-2a2b2=(a2+b2)2=4,當且僅當b5a=a5b,即a=b=1時等號成立.【自我檢測】解:(1)12x+m|x+2|,12x+m2(x+2)2,整理得3x2+(16-4m)x+16-4m20.由題意得=(16-4m)2-43(16-4m2)0,整理得(m-1)20,m=1.(2)證明:a+b+c=1,a+b2ab,b+c2bc,c+a2ac,當且僅當a=b=c=13時等號都成立,ab+bc+aca+b+c=1.又(a+b+c)2=a+b+c+

9、2ab+2bc+2ac,(a+b+c)23,a+b+c3.解答3例3解:(1)依題意得f(x)=|x-2|+2|x-1|=4-3x,x2.不等式f(x)4等價于x4或1x2,x4或x2,3x-44,解得x83,故所求解集為(-,0)83,+.(2)由(1)可得,當x=1時,f(x)取得最小值1.f(x)2m2-7m+4對任意xR恒成立,f(x)min2m2-7m+4,即2m2-7m+41,2m2-7m+30,解得12m3,實數(shù)m的取值范圍是m|12m3.【自我檢測】解:(1)|x+1|+|x-2|=-2x+1,x-1,3,-12.當m=5時,f(x)0等價于x-1,-2x+15或-15或x2,

10、2x-15,解得x3,不等式f(x)0的解集為(-,-2)(3,+).(2)由題意知m|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,又|x+1|+|x-2|-2|(x+1)-(x-2)|-2=1,m1,即m的取值范圍是(-,1.備選理由 例1考查含參絕對值不等式的求解,解題時要對參數(shù)進行分類討論,有利于學生進一步掌握去掉絕對值的原則;例2考查不等式的證明,需要采用反證法證明,難度不大,但思維含量較高;例3考查絕對值不等式恒成立問題,需要分類討論去掉絕對值,涉及分類與整合思想,分離參數(shù)法,利用基本不等式及導數(shù)求最值等知識與思想方法, 綜合性較大.例1配例1使用 已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-a

11、|,aR.(1)當a=2時,解不等式f(x)4;(2)若不等式f(x)1的解集為非空集合,求a的取值范圍.解:(1)當a=2時,原不等式即為|2x+1|+|x-2|4.當x-12時,原不等式為-2x-1-x+24,可得-1x-12;當-12x2時,原不等式為2x+1-x+24,可得-122時,原不等式為2x+1+x-24,可得x.綜上可知,原不等式的解集是-1,1.(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.當a=-12時,f(x)=32|2x+1|0,顯然不等式f(x)-12時,易知當x=-12時,f(x)取得最小值a+12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|a+12.欲使不等式f(x

12、)1的解集為非空集合,則需a+121,-12a12.當a-12時,易知當x=-12時,f(x)取得最小值-a-12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|-a-12.欲使不等式f(x)1的解集為非空集合,則需-a-121,-32a-12.綜上可知,當-32a12時,不等式f(x)0,n0,求證:m+n2.解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|x+1-(x-1)|=2,當且僅當-1x1時取等號,所以f(x)min=2,即a=2.(2)證明:假設(shè)m+n2,則m2-n,則m3(2-n)3,所以m3+n3(2-n)3+n3=2+6(1-n)22.由(1)知a=2,所以m3+n3=2.矛盾,所以假設(shè)不

13、成立,即m+n2.例3配例3使用 已知函數(shù)f(x)=|2x|+|2x+3|+m,mR.(1)當m=-2時,求不等式f(x)3的解集;(2)若對任意x(-,0),都有f(x)x+2x恒成立,求m的取值范圍.解:(1)當m=-2時,f(x)=|2x|+|2x+3|-2=4x+1(x0),1-32x0,-4x-5x-32.當x0時,得4x+13,可得0x12;當-32x0時,得13,恒成立;當x-32時,得-4x-53,可得-2x-32.綜上可得,不等式f(x)3的解集為-2,12.(2)當x(-,0)時,f(x)=|2x|+|2x+3|+m=3+m-32x0,-4x-3+mx-32.當-32x0,y=5x+2x+3在-,-32上是增函數(shù).當x=-32時,y=5x+2x+3取到最大值,最大值為-356,m-356.綜上可得m-3-22.11