2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第22講 不等式選講學(xué)案 理

第22講不等式選講1.2018·全國卷設(shè)函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.試做   2.2018·全國卷已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.試做   3.2017·全國卷已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.試做    (1)形如|x-a|+|x-b|c(或c)的不等式主要有兩種解法:分段討論法:利用絕對值內(nèi)表達(dá)式對應(yīng)方程的根,將數(shù)軸分為(-,a,(a,b,(b,+)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分,在每部分內(nèi)去掉絕對值并分別列出對應(yīng)的不等式求解,然后取各部分解集的并集;圖像法:作出函數(shù)y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的圖像,結(jié)合圖像求解.(2)不等式的恒成立問題一般有兩種解法:利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解;構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),作出函數(shù)圖像,通過數(shù)形結(jié)合尋找臨界狀態(tài)得到參數(shù)的取值范圍.(3)利用基本不等式證明不等式是用綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已知不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后得到需證的結(jié)論.解答1含絕對值不等式的解法1 已知函數(shù)f(x)=|x-a|-|3x+2|(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)>x-1;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范圍.聽課筆記    【考場點(diǎn)撥】(1)對于形如|f(x)|g(x)|的不等式,可利用不等式兩邊平方的技巧去掉絕對值;(2)對于形如|f(x)|±|g(x)|a,|f(x)|±|g(x)|a的不等式,通常利用“零點(diǎn)”分區(qū)間法去掉絕對值.【自我檢測】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式f(x)x的解集;(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.  解答2不等式的證明2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2.(1)若1a2+4b2|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范圍;(2)證明:1a+1b(a5+b5)4.聽課筆記    【考場點(diǎn)撥】(1)證明不等式的基本方法有綜合法、分析法,也常用到基本不等式進(jìn)行證明;(2)對于含有絕對值的不等式,在證明時(shí)常用到絕對值三角不等式;(3)對于含有根號的不等式,在證明時(shí)可用平方法(前提是不等式兩邊均為正數(shù));(4)如果所證命題是否定性命題或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,可以考慮反證法.【自我檢測】已知關(guān)于x的不等式12x+m|x+2|的解集為R.(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求證:a+b+c3.  解答3含絕對值不等式的恒成立問題3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|+2|x-1|.(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)若不等式f(x)>2m2-7m+4對任意xR恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.聽課筆記    【考場點(diǎn)撥】利用絕對值不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍常用以下結(jié)論:若f(x)>g(a)恒成立,則f(x)min>g(a);若f(x)<g(a)恒成立,則f(x)max<g(a).【自我檢測】已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|-m,mR. (1)若m=5,求不等式f(x)>0的解集;(2)若對于任意xR,不等式f(x)2恒成立,求m的取值范圍. 第22講不等式選講典型真題研析1.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2x+4,x-1,2,-1<x2,-2x+6,x>2.可得f(x)0的解集為x|-2x3.(2)f(x)1等價(jià)于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且當(dāng)x=2時(shí)等號成立,故f(x)1等價(jià)于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2,所以a的取值范圍是(-,-62,+).2.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1<x<1,2,x1.故不等式f(x)>1的解集為xx>12.(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.若a0,則當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax-1|1;若a>0,|ax-1|<1的解集為x0<x<2a,所以2a1,故0<a2.綜上,a的取值范圍為(0,2.3.證明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)>x-1即為|x-1|-|3x+2|>x-1.當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為-2x-3>x-1,解得x<-23,與x>1矛盾,此時(shí)不等式無解;當(dāng)-23x1時(shí),不等式可化為-4x-1>x-1,解得x<0,所以-23x<0;當(dāng)x<-23時(shí),不等式可化為2x+3>x-1,解得x>-4,所以-4<x<-23.綜上所述,不等式的解集為x|-4<x<0.(2)f(x)=2x+a+2,x<-23,-4x-2+a,-23xa,-2x-a-2,x>a.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在-,-23上單調(diào)遞增,在-23,+上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=-23時(shí),f(x)max=23+a.不等式f(x)>4有解等價(jià)于f(x)max=23+a>4,解得a>103,故a的取值范圍為103,+.【自我檢測】解:(1)由f(x)x,得|2x-7|+1x,即|2x-7|x-1.當(dāng)x1時(shí),顯然不成立.當(dāng)x>1時(shí),兩邊平方得3x2-26x+480,即(x-6)(3x-8)0,解得83x6,綜上得,不等式的解集為x83x6.(2)因?yàn)榇嬖趚使不等式|2x-7|-2|x-1|+1a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.又因?yàn)閨2x-7|-2|x-1|+1=6,x1,-4x+10,1<x<72,-4,x72,所以a-4.解答2例2解:(1)設(shè)f(x)=|2x-1|-|x-1|,則f(x)=x,x1,3x-2,12x<1,-x,x<12.由a2+b2=2,得12(a2+b2)=1,所以1a2+4b2=121a2+4b2(a2+b2)=121+4+b2a2+4a2b2121+4+2b2a2·4a2b2=92,當(dāng)且僅當(dāng)a2=23,b2=43時(shí)等號成立,所以92|2x-1|-|x-1|.當(dāng)x1時(shí),得x92,所以1x92;當(dāng)12x<1時(shí),得3x-292,解得x136,所以12x<1;當(dāng)x<12時(shí),得-x92,解得x-92,所以-92x<12.綜上可得-92x92.(2)證明:1a+1b(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2(a2+b2)2+2b5a·a5b-2a2b2=(a2+b2)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)b5a=a5b,即a=b=1時(shí)等號成立.【自我檢測】解:(1)12x+m|x+2|,12x+m2(x+2)2,整理得3x2+(16-4m)x+16-4m20.由題意得=(16-4m)2-4×3×(16-4m2)0,整理得(m-1)20,m=1.(2)證明:a+b+c=1,a+b2ab,b+c2bc,c+a2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí)等號都成立,ab+bc+aca+b+c=1.又(a+b+c)2=a+b+c+2ab+2bc+2ac,(a+b+c)23,a+b+c3.解答3例3解:(1)依題意得f(x)=|x-2|+2|x-1|=4-3x,x<1,x,1x2,3x-4,x>2.不等式f(x)>4等價(jià)于x<1,4-3x>4或1x2,x>4或x>2,3x-4>4,解得x<0或x或x>83,故所求解集為(-,0)83,+.(2)由(1)可得,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值1.f(x)>2m2-7m+4對任意xR恒成立,f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,2m2-7m+3<0,解得12<m<3,實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|12<m<3.【自我檢測】解:(1)|x+1|+|x-2|=-2x+1,x-1,3,-1<x2,2x-1,x>2.當(dāng)m=5時(shí),f(x)>0等價(jià)于x-1,-2x+1>5或-1<x2,3>5或x>2,2x-1>5,解得x<-2或x或x>3,不等式f(x)>0的解集為(-,-2)(3,+).(2)由題意知m|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,又|x+1|+|x-2|-2|(x+1)-(x-2)|-2=1,m1,即m的取值范圍是(-,1.備選理由 例1考查含參絕對值不等式的求解,解題時(shí)要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,有利于學(xué)生進(jìn)一步掌握去掉絕對值的原則;例2考查不等式的證明,需要采用反證法證明,難度不大,但思維含量較高;例3考查絕對值不等式恒成立問題,需要分類討論去掉絕對值,涉及分類與整合思想,分離參數(shù)法,利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值等知識與思想方法, 綜合性較大.例1配例1使用 已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)4;(2)若不等式f(x)<1的解集為非空集合,求a的取值范圍.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),原不等式即為|2x+1|+|x-2|4.當(dāng)x-12時(shí),原不等式為-2x-1-x+24,可得-1x-12;當(dāng)-12<x2時(shí),原不等式為2x+1-x+24,可得-12<x1;當(dāng)x>2時(shí),原不等式為2x+1+x-24,可得x.綜上可知,原不等式的解集是-1,1.(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.當(dāng)a=-12時(shí),f(x)=32|2x+1|0,顯然不等式f(x)<1的解集為非空集合.當(dāng)a>-12時(shí),易知當(dāng)x=-12時(shí),f(x)取得最小值a+12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|a+12.欲使不等式f(x)<1的解集為非空集合,則需a+12<1,-12<a<12.當(dāng)a<-12時(shí),易知當(dāng)x=-12時(shí),f(x)取得最小值-a-12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|-a-12.欲使不等式f(x)<1的解集為非空集合,則需-a-12<1,-32<a<-12.綜上可知,當(dāng)-32<a<12時(shí),不等式f(x)<1的解集為非空集合.例2配例2使用 已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|.(1)求函數(shù)f(x)的最小值a;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,若m3+n3=a,且m>0,n>0,求證:m+n2.解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|x+1-(x-1)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)-1x1時(shí)取等號,所以f(x)min=2,即a=2.(2)證明:假設(shè)m+n>2,則m>2-n,則m3>(2-n)3,所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)22.由(1)知a=2,所以m3+n3=2.矛盾,所以假設(shè)不成立,即m+n2.例3配例3使用 已知函數(shù)f(x)=|2x|+|2x+3|+m,mR.(1)當(dāng)m=-2時(shí),求不等式f(x)3的解集;(2)若對任意x(-,0),都有f(x)x+2x恒成立,求m的取值范圍.解:(1)當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=|2x|+|2x+3|-2=4x+1(x0),1-32<x<0,-4x-5x-32.當(dāng)x0時(shí),得4x+13,可得0x12;當(dāng)-32<x<0時(shí),得13,恒成立;當(dāng)x-32時(shí),得-4x-53,可得-2x-32.綜上可得,不等式f(x)3的解集為-2,12.(2)當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=|2x|+|2x+3|+m=3+m-32<x<0,-4x-3+mx-32.當(dāng)-32<x<0時(shí),不等式化為3+mx+2x.x+2x=-(-x)+-2x-2(-x)·-2x=-22,當(dāng)且僅當(dāng)-x=-2x,即x=-2時(shí)等號成立,m+3-22,m-3-22.當(dāng)x-32時(shí),不等式化為-4x-3+mx+2x,m5x+2x+3.令y=5x+2x+3,x-,-32,則y'=5-2x2>0,y=5x+2x+3在-,-32上是增函數(shù).當(dāng)x=-32時(shí),y=5x+2x+3取到最大值,最大值為-356,m-356.綜上可得m-3-22.11