《高中數(shù)學 第一章 空間幾何體 探究與發(fā)現(xiàn) 祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積素材 新人教A版必修2（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第一章 空間幾何體 探究與發(fā)現(xiàn) 祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積素材 新人教A版必修2（通用）（2頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積
一、 祖暅原理
為了求一般柱體、錐體的體積，我們簡要介紹一下祖暅（gèng）原理.
祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣（今河北省淶源縣）人，南北朝時代的偉大科學家.祖暅在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理：祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.
祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個屏幕的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.
如圖1，夾在平行平面間的
2、兩個幾何體（它們的形狀可以不同），被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面（陰影部分）的面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.
這個原理是非常淺顯易懂的.例如，取一摞紙堆放在桌面上組成一個幾何體（圖2），將她改變一下形狀，這個幾何體形狀發(fā)生了改變，得到了另一個幾何體，但兩個幾何體的高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而兩個幾何體的體積相等.利用這個原理和長方體體積公式，我們能夠求出柱體、錐體、臺體和球體的體積.
祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數(shù)學家早一千多年.在歐洲直到17世紀，才有意大利數(shù)學家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述結(jié)論.
3、二、柱體與錐體的體積
下面我們用祖暅原理推導柱體和錐體的體積公式.
設有底面積都等于，高都等于的任意一個棱柱、一個圓柱和一個長方體，使他們的下底面在同一平面內(nèi)（圖3）.根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等.由于長方體的體積等于它的底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式
其中是柱體的底面積，是柱體的高.
設有底面積都等于，高都等于的兩個錐體（例如一個棱錐和一個圓錐），使它們的地面在同一個平面內(nèi)（圖4）.根據(jù)祖暅原理，可推導出它們的體積相等.這就是說，等底面積等高的兩個錐體的體積相等.
如圖5，設三棱柱的底面積（即的面積）為，高（即點到平面的距離）為，則它的體積為.沿平面和平面，將這
4、個三棱柱分割成3個三棱錐.其中三棱錐1、2的底面積相等（），高也相等（點到平面的距離）；三棱錐2、3也有相等的底面積（）和相等的高（點到平面的距離）.因此，這三個三棱錐的體積相等，每個三棱錐的體積是.
三棱錐（即三棱錐1）如果以為底，那么它的底面積是，高是，而它的體積是.這說明三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一.
事實上，對于一個任意的錐體，設它的底面積為，高為，那么它的體積應等于一個底面積為，高為的三棱錐的體積，即這個錐體的體積為
這就是錐體的體積公式.
柱體和錐體是兩種基本幾何體，它們的體積公式有著廣泛的應用.
三、球體的體積
先來研究半球（半徑為）的體積計算.為
5、了應用祖暅原理，我們需要找到一個能夠求體積的，使它和半球高度一樣，并且用任何一個水平面去截它們時，得到的截面面積都相等的幾何體.
如圖6（1），設平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為，，于是截面面積.可以看成是在半徑為的圓面上挖去一個半徑為的同心圓，所得圓環(huán)的面積.
為此，我們?nèi)∫粋€底面半徑和高均為的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上（圖6（2））.
用任一水平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面.有上述可知：
圓環(huán)大圓半徑為，小圓半徑為，面積.所以，.根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體體積相等.即
所以球的體積
根據(jù)祖暅原理求幾何體的體積，關鍵是找出一個滿足條件的能夠求出體積的幾何體.
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