高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 探究與發(fā)現(xiàn) 祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積素材 新人教A版必修2（通用）

祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積一、 祖暅原理為了求一般柱體、錐體的體積，我們簡(jiǎn)要介紹一下祖暅（gèng）原理.祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣（今河北省淶源縣）人，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出下面的體積計(jì)算原理：祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”即是高，“冪”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)屏幕的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1，夾在平行平面間的兩個(gè)幾何體（它們的形狀可以不同），被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面（陰影部分）的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.這個(gè)原理是非常淺顯易懂的.例如，取一摞紙堆放在桌面上組成一個(gè)幾何體（圖2），將她改變一下形狀，這個(gè)幾何體形狀發(fā)生了改變，得到了另一個(gè)幾何體，但兩個(gè)幾何體的高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而兩個(gè)幾何體的體積相等.利用這個(gè)原理和長(zhǎng)方體體積公式，我們能夠求出柱體、錐體、臺(tái)體和球體的體積.祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年.在歐洲直到17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述結(jié)論.二、柱體與錐體的體積下面我們用祖暅原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式.設(shè)有底面積都等于，高都等于的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使他們的下底面在同一平面內(nèi)（圖3）.根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等.由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘以高，于是我們得到柱體的體積公式其中是柱體的底面積，是柱體的高. 設(shè)有底面積都等于，高都等于的兩個(gè)錐體（例如一個(gè)棱錐和一個(gè)圓錐），使它們的地面在同一個(gè)平面內(nèi)（圖4）.根據(jù)祖暅原理，可推導(dǎo)出它們的體積相等.這就是說，等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等.如圖5，設(shè)三棱柱的底面積（即的面積）為，高（即點(diǎn)到平面的距離）為，則它的體積為.沿平面和平面，將這個(gè)三棱柱分割成3個(gè)三棱錐.其中三棱錐1、2的底面積相等（），高也相等（點(diǎn)到平面的距離）；三棱錐2、3也有相等的底面積（）和相等的高（點(diǎn)到平面的距離）.因此，這三個(gè)三棱錐的體積相等，每個(gè)三棱錐的體積是.三棱錐（即三棱錐1）如果以為底，那么它的底面積是，高是，而它的體積是.這說明三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一.事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)任意的錐體，設(shè)它的底面積為，高為，那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為，高為的三棱錐的體積，即這個(gè)錐體的體積為這就是錐體的體積公式.柱體和錐體是兩種基本幾何體，它們的體積公式有著廣泛的應(yīng)用. 三、球體的體積先來研究半球（半徑為）的體積計(jì)算.為了應(yīng)用祖暅原理，我們需要找到一個(gè)能夠求體積的，使它和半球高度一樣，并且用任何一個(gè)水平面去截它們時(shí)，得到的截面面積都相等的幾何體.如圖6（1），設(shè)平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓面的半徑為，于是截面面積.可以看成是在半徑為的圓面上挖去一個(gè)半徑為的同心圓，所得圓環(huán)的面積.為此，我們?nèi)∫粋€(gè)底面半徑和高均為的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上（圖6（2）.用任一水平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面.有上述可知：圓環(huán)大圓半徑為，小圓半徑為，面積.所以，.根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體體積相等.即所以球的體積 根據(jù)祖暅原理求幾何體的體積，關(guān)鍵是找出一個(gè)滿足條件的能夠求出體積的幾何體.