2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練(一) 理 新課標(湖南專用)

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1、2020屆高中數學二輪總復習 綜合訓練(一) 理 新課標(湖南專用) 時量:50分鐘   滿分:50分 解答題:本大題共4小題,第1,2,3小題各12分,第4小題14分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.  1.已知向量a=(sinx,),b=(cosx,-1). (1)當a∥b時,求2cos2x-sin2x的值; (2)求f(x)=(a+b)·b在[-,0]上的值域. 解析:(1)因為a∥b,所以cosx+sinx=0, 所以tanx=-. 所以2cos2x-sin2x===. (2)因為a+b=(sinx+cosx,), 所以f(x)=(a+b)·b=si

2、n(2x+). 因為-≤x≤0,所以-≤2x+≤, 所以-1≤sin(2x+)≤,所以-≤f(x)≤. 所以函數f(x)的值域為[-,].  2.某外資企業(yè)計劃從應屆畢業(yè)的大學生中招聘從事外貿翻譯工作的人員,現(xiàn)有若干人進入應聘面試階段,他們至少精通英語和日語中的一種語言,已知精通英語的有5人,精通日語的有2人.現(xiàn)從中隨機選2人,設X表示選出的2人中既精通英語又精通日語的人數,且P(X>0)=. (1)求進入應聘面試階段的人數; (2)求X的分布列和數學期望EX. 解: (1)設既精通英語又精通日語的人數為x,則進入應聘面試階段的人數為7-x人,只精通一種語言的人數為7-2x人.

3、 由題設P(X>0)=P(X≥1)=1-P(X=0)=, 所以P(X=0)=,因此==,解之得x=2. 故進入應聘面試階段的人數為5人. (2)由題設X的可能取值為0,1,2. P(X=0)=,P(X=1)==, P(X=2)==. 則X的分布列如下表: X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=.  3.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點. (1)求證:EF⊥CD; (2)求DB與平面DEF所成角的正弦值; (3)在平面PAD內是否存在一點G,使G在平面PCB上的射影為△

4、PCB的外心.若存在,試確定點G的位置;若不存在,說明理由. 解析:以D為坐標原點,以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系. 設AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),P(0,0,a),F(xiàn)(,,). (1)證明:因為=(-,0,),=(0,-a,0), 所以·=(-,0,)·(0,-a,0)=0, 所以EF⊥CD. (2)設平面DEF的一個法向量為n=(x,y,z), 則,即, 取x=1,則y=-2,z=1,所以n=(1,-2,1). 設BD與平面DEF所成的角為θ, 則sinθ=|

5、cos,n|= ==, 所以BD與平面DEF所成角的正弦值為. (3)假設存在點G滿足題意. 因為G∈平面PAD,可設G(m,0,n). 因為·=(a,0,0)·(0,-a,a)=0, 所以BC⊥PC. 在Rt△PBC中,因為F為斜邊PB的中點, 所以F(,,)為Rt△PBC的外心. 又=(m-,-,n-),由FG⊥平面PCB, 有·=(m-,-,n-)·(a,0,0)=a(m-)=0,得m=. ·=(m-,-,n-)·(0,-a,a)=+a(n-)=0,得n=0. 所以存在點G,其坐標為(,0,0),即G為AD的中點.  4.某地政府為科技興市,欲將如圖所示

6、的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC,OA∥BC且AB=BC=2AO=4 km,曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段.如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上,且一個頂點落在OC上,問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大?并求出最大的用地面積.(精確到0.1 km2) 解析:以O為原點,OA所在直線為y軸建立直角坐標系如圖所示. 依題意可設拋物線方程為y2=2px(p>0)且C(4,2). 因為22=2p×4,所以p=. 所以曲線段OC的方程為y2=x(0≤x≤4,y≥0). 設P(y2,y)(0≤y<2)是曲線段OC上任意

7、一點,則在矩形PQBN中,|PQ|=2+y,|PN|=4-y2, 所以工業(yè)園區(qū)面積 S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y2) =-y3-2y2+4y+8. 又S′=-3y2-4y+4,令S′=0,得y1=,y2=-2. 因為0≤y<2,所以y=. 當y∈[0,)時,S′>0,S是y的增函數; 當x∈(,2)時,S′<0,S是y的減函數. 所以,當y=時,S取得極大值, 此時|PQ|=2+y=,|PN|=4-y2=, 故S=×≈9.5(km2). 因為y=0時,S=8,所以Smax=9.5(km2). 答:當矩形的長為 km,寬為 km時,工業(yè)園區(qū)的用地面積最大,且最大面積約為9.5 km2.

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