2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（一） 理 新課標(biāo)(湖南專用)

2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（一） 理 新課標(biāo)(湖南專用)時(shí)量：50分鐘滿分：50分解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟1.已知向量a(sinx，)，b(cosx，1)(1)當(dāng)ab時(shí)，求2cos2xsin2x的值；(2)求f(x)(ab)·b在，0上的值域解析：(1)因?yàn)閍b，所以cosxsinx0，所以tanx.所以2cos2xsin2x.(2)因?yàn)閍b(sinxcosx，)，所以f(x)(ab)·bsin(2x)因?yàn)閤0，所以2x，所以1sin(2x)，所以f(x).所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?.某外資企業(yè)計(jì)劃從應(yīng)屆畢業(yè)的大學(xué)生中招聘從事外貿(mào)翻譯工作的人員，現(xiàn)有若干人進(jìn)入應(yīng)聘面試階段，他們至少精通英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一種語(yǔ)言，已知精通英語(yǔ)的有5人，精通日語(yǔ)的有2人現(xiàn)從中隨機(jī)選2人，設(shè)X表示選出的2人中既精通英語(yǔ)又精通日語(yǔ)的人數(shù)，且P(X>0).(1)求進(jìn)入應(yīng)聘面試階段的人數(shù)；(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.解： (1)設(shè)既精通英語(yǔ)又精通日語(yǔ)的人數(shù)為x，則進(jìn)入應(yīng)聘面試階段的人數(shù)為7x人，只精通一種語(yǔ)言的人數(shù)為72x人由題設(shè)P(X>0)P(X1)1P(X0)，所以P(X0)，因此，解之得x2.故進(jìn)入應(yīng)聘面試階段的人數(shù)為5人(2)由題設(shè)X的可能取值為0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).則X的分布列如下表：X012PEX0×1×2×.3.在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值；(3)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使G在平面PCB上的射影為PCB的外心若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，說(shuō)明理由解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(xiàn)(，)(1)證明：因?yàn)?，0，)，(0，a,0)，所以·(，0，)·(0，a,0)0，所以EFCD.(2)設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則，即，取x1，則y2，z1，所以n(1，2,1)設(shè)BD與平面DEF所成的角為，則sin|cos，n|，所以BD與平面DEF所成角的正弦值為.(3)假設(shè)存在點(diǎn)G滿足題意因?yàn)镚平面PAD，可設(shè)G(m,0，n)因?yàn)?#183;(a,0,0)·(0，a，a)0，所以BCPC.在RtPBC中，因?yàn)镕為斜邊PB的中點(diǎn)，所以F(，)為RtPBC的外心又(m，n)，由FG平面PCB，有·(m，n)·(a,0,0)a(m)0，得m.·(m，n)·(0，a，a)a(n)0，得n0.所以存在點(diǎn)G，其坐標(biāo)為(，0,0)，即G為AD的中點(diǎn)4.某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個(gè)矩形高科技工業(yè)園區(qū)已知ABBC，OABC且ABBC2AO4 km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一段如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在OC上，問(wèn)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大？并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2)解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示依題意可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)且C(4,2)因?yàn)?22p×4，所以p.所以曲線段OC的方程為y2x(0x4，y0)設(shè)P(y2，y)(0y<2)是曲線段OC上任意一點(diǎn)，則在矩形PQBN中，|PQ|2y，|PN|4y2，所以工業(yè)園區(qū)面積S|PQ|·|PN|(2y)(4y2)y32y24y8.又S3y24y4，令S0，得y1，y22.因?yàn)?y<2，所以y.當(dāng)y0，)時(shí)，S0，S是y的增函數(shù)；當(dāng)x(，2)時(shí)，S0，S是y的減函數(shù)所以，當(dāng)y時(shí)，S取得極大值，此時(shí)|PQ|2y，|PN|4y2，故S×9.5(km2)因?yàn)閥0時(shí)，S8，所以Smax9.5(km2)答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為 km，寬為 km時(shí)，工業(yè)園區(qū)的用地面積最大，且最大面積約為9.5 km2.