2020年高考數(shù)學(xué)40個考點(diǎn)總動員 考點(diǎn)33 隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型(學(xué)生版) 新課標(biāo)

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1、2020年新課標(biāo)數(shù)學(xué)40個考點(diǎn)總動員 考點(diǎn)33 隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型(學(xué)生版) 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一 隨機(jī)事件的概率 1. (2020年高考廣東卷理科7)從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)種任取一個,其個位數(shù)為0的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2020年高考新課標(biāo)全國卷理科15)某個部件由三個元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布,且各個元件能否正常相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 3.(202

2、0年高考山東卷文科18) (本小題滿分12分) 袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率; (Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率. (II)加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后,從六張卡片中任取兩張,除上面的10種情況外,多出5種情況:紅1綠0,紅2綠0,紅3綠0,藍(lán)1綠0,藍(lán)2綠0,即共有15種情況,其中顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有8種情況,所以概率為. 4.(2020年高考湖南卷文科17)(本小題

3、滿分12分) 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) 30 25 10 結(jié)算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%. (Ⅰ)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值; (Ⅱ)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率) (Ⅱ)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,分別表示事件

4、“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”, “該顧客一次購物的結(jié)算時間為分鐘”, “該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率,得 . 是互斥事件, . 故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為. 【方法總結(jié)】 求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和;二是先求其對立事件的概率,然后再應(yīng)用公式求解.如果采用方法一,一定要將事件拆分成若干個互斥事件,不能重復(fù)和遺漏;如果采用方法二,一定要找準(zhǔn)其對立事件,否則容易出現(xiàn)錯誤. 熱點(diǎn)二 古典概型 1.(2020年高考重慶卷理科15)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他

5、三門藝術(shù)課個1節(jié),則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 (用數(shù)字作答). 2.(2020年高考上海卷理科11)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽,若每人都選擇其中兩個項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 (結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示). 【答案】 【解析】一共有27種取法,其中有且只有兩個人選擇相同的項(xiàng)目的取法共有18種,所以根據(jù)古典概型得到此種情況下的概率為. 3. (2020年高考江蘇卷6)現(xiàn)有10個數(shù),它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù),則它小于8的概率是 ▲ . 4.某花店每天

6、以每枝元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝元的價格出售, 如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理。 (1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量 (單位:枝,)的函數(shù)解析式。 (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 (i)假設(shè)花店在這100內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù); (ii)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生

7、的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率。 (2)(Ⅰ)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元, 所以這100天的日利潤的平均數(shù)為 (Ⅱ)利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝,故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為 考點(diǎn)定位:本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計(jì)知識和方法.求分段函數(shù)的解析式和平均利潤,以及概率。 5.(2020年高考陜西卷文科19)(本小題滿分12分) 假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等,為了解他們的使用壽命,現(xiàn)從兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個進(jìn)行測試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下: (Ⅰ

8、)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率; (Ⅱ)這兩種品牌產(chǎn)品中,,某個產(chǎn)品已使用了200小時,試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率 【方法總結(jié)】 計(jì)算古典概型事件的概率可分三步: ①算出基本事件的總個數(shù)n;②求出事件A所包含的基本事件個數(shù)m;③代入公式求出概率P. 熱點(diǎn)三 幾何概型 1.(2020年高考北京卷理科2)設(shè)不等式組,表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 2. (2020年高考福建卷理科6)如圖所示,在邊長為1的正方形中任取一點(diǎn),則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為( )

9、A. B. C. D. 【答案】C 【解析】, , 所以. 3.(2020年高考湖南卷理科15)函數(shù)f(x)=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示,其中,P為圖像與y軸的交點(diǎn),A,C為圖像與x軸的兩個交點(diǎn),B為圖像的最低點(diǎn). (1)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,),則 ; (2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為 . (2)由圖知,,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為. 設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為則,由幾何概型知該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為. 4.(2020年高考遼寧卷理科10)在長為12cm的

10、線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 5. (2020年高考湖北卷理科8)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( ) A. B. . C. D. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算,以及分析問題的能力,屬于中

11、檔題. 6. (2020年高考陜西卷理科10)右圖是用模擬方法估計(jì)圓周率值的程序框圖,表示估計(jì)結(jié)果,則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入( ) (A) (B) (C) (D) 由幾何概型知,點(diǎn)落入扇形的概率為,則,故選D. 【考點(diǎn)定位】此題主要考查算法的基本思想和功能以及結(jié)構(gòu). 【方法總結(jié)】首先認(rèn)真閱讀題目,把其中的有用信息向我們熟悉的知識方面轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)知識的遷移,然后再利用概率的知識去解決.數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,利用

12、公式可求. 【考點(diǎn)剖析】 一.明確要求 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.了解互斥事件、對立事件的意義及其運(yùn)算公式. 2.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.會計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的 概率. 二.命題方向 1.隨機(jī)事件的概率在高考中多以選擇題、填空題的形式考查,也時常在解答題中出現(xiàn),應(yīng)用題也是??碱}型,并且常與統(tǒng)計(jì)知識放在一塊考查. 2.借助古典概型考查互斥事件、對立事件的概率求法.考查古典概型概率公式的應(yīng)用,尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點(diǎn).在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查,

13、考查學(xué)生分析和解決問題的能力,難度以中檔題為主. 3.以選擇題或填空題的形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對本內(nèi)容的熱點(diǎn)考法,特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.新課標(biāo)高考對幾何概型的要求較低,因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主. 三.規(guī)律總結(jié) 一條規(guī)律 (1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算; (2)間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”、“至少”型題目,用間接法就顯得比較簡便. 一條規(guī)律 從集合的角度去看待概率,在一

14、次試驗(yàn)中,等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合I,基本事件的個數(shù)n就是集合I的元素個數(shù),事件A是集合I的一個包含m個元素的子集.故P(A)==. 兩種方法 (1)列舉法:適合于較簡單的試驗(yàn). (2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.另外在確定基本事件時,(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同;有時也可以看成是無序的,如(1,2)與(2,1)相同. 2.(人教A版教材習(xí)題改編)一枚硬幣連擲2次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為 (  ). A. B. C. D. 3.(人教A版教材習(xí)題改編)在線段[0,3

15、]上任投一點(diǎn),則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為(  ). A. B. C. D.1 4.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界),則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為(  ). A. B. C. D.以上全錯 5.(2020·泰州聯(lián)考)三張卡片上分別寫上字母E、E、B,將三張卡片隨機(jī)地排成一行,恰好排成英文單詞BEE的概率為________. 【名校模擬】 一.基礎(chǔ)扎實(shí) 1. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)(二)理)甲從正四面體的四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線,

16、乙從該正四面體四個頂點(diǎn)中任意選擇兩個頂點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是 ( ) 4.(北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷文)已知向量,,其中隨機(jī)選自集合,隨機(jī)選自集合,那么的概率是_____. 5.(海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)文)在面積為1的正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn),則的面積大于等于的概率是_________. 6.(湖北八校文2020屆高三第二次聯(lián)考)有一個底面圓的半徑為1,高為3的圓柱,點(diǎn)分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心,在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離都大于1的概率為___ __ 二.能力拔高

17、9. (北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)已知函數(shù),其中實(shí)數(shù)隨機(jī)選自區(qū)間.對,的概率是( ) (A)(B)(C)(D) 12.(2020洛陽示范高中聯(lián)考高三理)先后連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m,n,則向量(m,n)與向量(-1,1)的夾角 的概率是 ( ) A. B. C. D. 13.(浙江省2020屆浙南、浙北部分學(xué)校高三第二學(xué)期3月聯(lián)考試題理)從集合{-1,-2,-3,0,1,2,3,4}中,隨機(jī)選出4個數(shù)組成子集,使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1,則取出這樣的子集的概率為________. 三.提升自我 17.. (浙江省2020屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)

18、作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生一次的概率為,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 A. B. C. D. 18.(2020年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理)設(shè)集合,,從集合中隨機(jī)地取出20.(仙桃市2020年五月高考仿真模擬試題理)已知區(qū)域,某人向區(qū)域M隨機(jī)投擲一點(diǎn)P,則點(diǎn)P正好落在區(qū)域N的概率為 A、 B、 C、 D、 21.(襄陽五中高三年級第一次適應(yīng)性考試?yán)?某甲上大

19、學(xué)前把手機(jī)號碼抄給同學(xué)乙.后來同學(xué)乙給他打電話時,發(fā)現(xiàn)號碼的最后一 個數(shù)字被撕掉了,于是乙在撥號時隨意地添上最后一個數(shù)字,且用過了的數(shù)字不再重復(fù).則撥號不超過3次而撥對甲的手機(jī)號碼的概率是(  ?。? A.      B.     C.    D. 22.(襄陽五中高三年級第一次適應(yīng)性考試文) 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為,其中,若,就稱甲乙“心有靈犀”. 現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為 A. B. C. D. 【原創(chuàng)預(yù)測】 3.袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率是,從B中摸出一個紅球的概率為p.若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為1:2,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是,則p的值為 A. B. C. D.

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