2020年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)33 隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2020年新課標(biāo)數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)33 隨機(jī)事件的概率、古典概型和幾何概型（學(xué)生版） 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一 隨機(jī)事件的概率 1. (2020年高考廣東卷理科7)從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)種任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是（ ） A. B. C. D. 2.(2020年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科15)某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為 3.(202

2、0年高考山東卷文科18) (本小題滿分12分) 袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2.(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率； (Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率. (II)加入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除上面的10種情況外，多出5種情況：紅1綠0，紅2綠0，紅3綠0，藍(lán)1綠0，藍(lán)2綠0，即共有15種情況，其中顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有8種情況，所以概率為. 4.(2020年高考湖南卷文科17)（本小題

3、滿分12分） 某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)（人） 30 25 10 結(jié)算時(shí)間（分鐘/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55％. （Ⅰ）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值； （Ⅱ）求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率.（將頻率視為概率） （Ⅱ）記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，分別表示事件

4、“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”， “該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為分鐘”， “該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率，得 . 是互斥事件， . 故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為. 【方法總結(jié)】 求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式求解．如果采用方法一，一定要將事件拆分成若干個(gè)互斥事件，不能重復(fù)和遺漏；如果采用方法二，一定要找準(zhǔn)其對(duì)立事件，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 熱點(diǎn)二 古典概型 1.(2020年高考重慶卷理科15)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他

5、三門藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）. 2．(2020年高考上海卷理科11)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）. 【答案】 【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個(gè)人選擇相同的項(xiàng)目的取法共有18種，所以根據(jù)古典概型得到此種情況下的概率為. 3. （2020年高考江蘇卷6）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 ▲ ． 4．某花店每天

6、以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售， 如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。 （1）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 （單位：枝，）的函數(shù)解析式。 （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 （i）假設(shè)花店在這100內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； （ii）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生

7、的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率。 （2）（Ⅰ）這100天中有10天的日利潤(rùn)為55元，20天的日利潤(rùn)為65元，16天的日利潤(rùn)為75元，54天的日利潤(rùn)為85元， 所以這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為 （Ⅱ）利潤(rùn)不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝，故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率為 考點(diǎn)定位：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法.求分段函數(shù)的解析式和平均利潤(rùn)，以及概率。 5.(2020年高考陜西卷文科19)（本小題滿分12分） 假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： （Ⅰ

8、）估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率； （Ⅱ）這兩種品牌產(chǎn)品中，，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率 【方法總結(jié)】 計(jì)算古典概型事件的概率可分三步： ①算出基本事件的總個(gè)數(shù)n；②求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；③代入公式求出概率P. 熱點(diǎn)三 幾何概型 1．(2020年高考北京卷理科2)設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 2. (2020年高考福建卷理科6)如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分的概率為（ ）

9、A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， , 所以. 3.(2020年高考湖南卷理科15)函數(shù)f（x）=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點(diǎn)，A,C為圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn). （1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），則 ; （2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為 . （2）由圖知，，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為. 設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為則，由幾何概型知該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為. 4.(2020年高考遼寧卷理科10)在長(zhǎng)為12cm的

10、線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 5. (2020年高考湖北卷理科8)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( ) A. B. . C. D. 【考點(diǎn)定位】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問(wèn)題的能力，屬于中

11、檔題. 6. (2020年高考陜西卷理科10)右圖是用模擬方法估計(jì)圓周率值的程序框圖，表示估計(jì)結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ） （A） （B） （C） （D） 由幾何概型知，點(diǎn)落入扇形的概率為，則，故選D. 【考點(diǎn)定位】此題主要考查算法的基本思想和功能以及結(jié)構(gòu). 【方法總結(jié)】首先認(rèn)真閱讀題目，把其中的有用信息向我們熟悉的知識(shí)方面轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，然后再利用概率的知識(shí)去解決.數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用

12、公式可求． 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別．了解互斥事件、對(duì)立事件的意義及其運(yùn)算公式. 2.理解古典概型及其概率計(jì)算公式．會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的 概率. 二．命題方向 1．隨機(jī)事件的概率在高考中多以選擇題、填空題的形式考查，也時(shí)常在解答題中出現(xiàn)，應(yīng)用題也是?？碱}型，并且常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)放在一塊考查． 2．借助古典概型考查互斥事件、對(duì)立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對(duì)立事件的綜合問(wèn)題更是高考的熱點(diǎn)．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，

13、考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，難度以中檔題為主． 3.以選擇題或填空題的形式考查與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對(duì)本內(nèi)容的熱點(diǎn)考法，特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點(diǎn)內(nèi)容．新課標(biāo)高考對(duì)幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主． 三．規(guī)律總結(jié) 一條規(guī)律 (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算； (2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”、“至少”型題目，用間接法就顯得比較簡(jiǎn)便． 一條規(guī)律 從集合的角度去看待概率，在一

14、次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集．故P(A)＝＝. 兩種方法 (1)列舉法：適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時(shí)，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如(1,2)與(2,1)相同． 2．(人教A版教材習(xí)題改編)一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為 (　　)． A. B. C. D. 3．(人教A版教材習(xí)題改編)在線段[0,3

15、]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為(　　)． A. B. C. D．1 4.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為(　　)． A. B. C. D．以上全錯(cuò) 5．(2020·泰州聯(lián)考)三張卡片上分別寫上字母E、E、B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1. (2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)（二）理)甲從正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，

16、乙從該正四面體四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是 （ ） 4.(北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷文)已知向量，，其中隨機(jī)選自集合，隨機(jī)選自集合，那么的概率是_____． 5．（海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)文）在面積為1的正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則的面積大于等于的概率是_________． 6．(湖北八校文2020屆高三第二次聯(lián)考)有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離都大于1的概率為___ __ 二．能力拔高

17、9. (北京市西城區(qū)2020屆高三下學(xué)期二模試卷理)已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)隨機(jī)選自區(qū)間．對(duì)，的概率是（ ） （A）（B）（C）（D） 12.(2020洛陽(yáng)示范高中聯(lián)考高三理)先后連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量（m，n）與向量（-1，1）的夾角 的概率是 （ ） A． B． C． D． 13.(浙江省2020屆浙南、浙北部分學(xué)校高三第二學(xué)期3月聯(lián)考試題理)從集合{－1，－2，－3，0，1，2，3，4}中，隨機(jī)選出4個(gè)數(shù)組成子集，使得這4個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)之和不等于1，則取出這樣的子集的概率為________． 三．提升自我 17.. (浙江省2020屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)

18、作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為 A． B． C． D． 18.(2020年大連沈陽(yáng)聯(lián)合考試第二次模擬試題理)設(shè)集合，，從集合中隨機(jī)地取出20.(仙桃市2020年五月高考仿真模擬試題理)已知區(qū)域，某人向區(qū)域M隨機(jī)投擲一點(diǎn)P，則點(diǎn)P正好落在區(qū)域N的概率為 A、 B、 C、 D、 21．(襄陽(yáng)五中高三年級(jí)第一次適應(yīng)性考試?yán)?某甲上大

19、學(xué)前把手機(jī)號(hào)碼抄給同學(xué)乙.后來(lái)同學(xué)乙給他打電話時(shí)，發(fā)現(xiàn)號(hào)碼的最后一 個(gè)數(shù)字被撕掉了，于是乙在撥號(hào)時(shí)隨意地添上最后一個(gè)數(shù)字，且用過(guò)了的數(shù)字不再重復(fù).則撥號(hào)不超過(guò)3次而撥對(duì)甲的手機(jī)號(hào)碼的概率是（　　　） A．　　　　　　B．　　　　　C．　　　　D． 22.(襄陽(yáng)五中高三年級(jí)第一次適應(yīng)性考試文) 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱甲乙“心有靈犀”． 現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為 A． B． C． D． 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】 3.袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1:2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，則p的值為 A． B． C． D．