2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章（A）《直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體》自測(cè)題

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1、第九章(A)直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體名師檢測(cè)題時(shí)間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1過(guò)空間一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有()A0條B1條C0條或1條 D無(wú)數(shù)條解析：根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義及其性質(zhì)定理可知過(guò)空間一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)只有1條，故選B.答案：B2已知，表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，則“ ”是“m ”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而當(dāng)兩平面、垂直時(shí)，內(nèi)的直線(xiàn)m只有在垂直于兩平面

2、的交線(xiàn)時(shí)才垂直于另一個(gè)平面，充分性不成立答案：B3設(shè)直線(xiàn)m與平面相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)m垂直B過(guò)直線(xiàn)m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)不可能與平面平行D與直線(xiàn)m平行的平面不可能與平面垂直解析：因?yàn)橹挥羞^(guò)m及m在平面內(nèi)的射影的平面是過(guò)m且垂直于平面的平面，因此B正確，選擇B.答案：B4已知三條不重合的直線(xiàn)m、n、l，兩個(gè)不重合的平面、，則下列命題中，其逆否命題不成立的是()A當(dāng)m，n時(shí)，若mn，則B當(dāng)b時(shí)，若b，則C當(dāng)，m，n，若nm，則nD當(dāng)m，且n時(shí)，若n，則mn解析：根據(jù)原命題與逆否命題的真假性相同，只需判斷原命題的真假即可由面

3、面垂直、平行的性質(zhì)定理或判定定理等很容易判斷出A、B、C都是正確的，而在答案D中，m與n顯然可以異面故選D.答案：D5正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱AB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DM與D1B所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)NB、ND1，則易知NBDM，NBD1(或其補(bǔ)角)就是異面直線(xiàn)DM與D1B所成的角不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D1NNB .又D1B，故在NBD1中，cosNBD1.故選B.答案：B6如果對(duì)于空間任意n(n2)條直線(xiàn)總存在一個(gè)平面，使得這n條直線(xiàn)與平面所成的角均相等，那么這樣的n()A最大值為3 B最大值為4C最大值為5 D不存在最大值解析：

4、若n4，顯然此時(shí)對(duì)于空間的任意四條直線(xiàn)不都存在這樣的平面，因此結(jié)合各選項(xiàng)知B、C不正確；對(duì)于空間任意3條直線(xiàn)，總存在一個(gè)平面，使得這n條直線(xiàn)與平面所成的角均相等，選A.答案：A7.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐PABCD中，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()ABE平面PAD，且直線(xiàn)BE到平面PAD的距離為BBE平面PAD，且直線(xiàn)BE到平面PAD的距離為CBE不平行于平面PAD，且BE與平面PAD所成的角大于30DBE不平行于平面PAD，且BE與平面PAD所成的角小于30解析：取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，則有EFCD，且EFCD，又ABCD，ABCD，因此有EFAB，EFAB，四邊形AB

5、EF為梯形，直線(xiàn)BE與AF必相交，直線(xiàn)BE與平面PAD不平行注意到BE與BC的夾角為30，因此直線(xiàn)BE與AD的夾角為30，由最小角原理可知，直線(xiàn)BE與平面PAD所成的角小于30，選D.答案：D8已知三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PAPB2PC2a，且三棱錐外接球的表面積為S9，則實(shí)數(shù)a的值為()A1 B2C. D.解析：如圖，將三棱錐PABC嵌入長(zhǎng)方體中，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)BD為三棱錐外接球的直徑，由此得三棱錐外接球的表面積為S42(PB2PD2)(2a)2(a)29.a1，故選A.答案：A9.如圖，C90，ACBC，M、N分別為BC和AB的中點(diǎn)，沿直線(xiàn)MN將BMN折起，使二面角

6、BMNB的大小為60，則斜線(xiàn)BA與平面ABC所成角的正切值為()A. B.C. D.解析：設(shè)ACBC2a，由已知得MNCM，BMMN，MN平面BCM，BMB60，BMMNa.作BECB于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則有MNBE，BECE，BE平面ABC，BAE是直線(xiàn)BA與平面ABC所成的角在RtBAE中，BEBMsin60a，EMBMcos60，AE ，所以tanBAE，選B.答案：B10.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDABCD中，E、F分別是AD、AD的中點(diǎn)，長(zhǎng)為2的線(xiàn)段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角AADB所圍成的幾何體的

7、體積為()A. B.C. D.解析：依題意可知|FP|MN|1，因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為球心、1為半徑的球面，于是所求的體積是，選C.答案：C11一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的高是()A. B.C1 D.解析：由題知三棱錐的高為球的半徑，故選C.答案：C12球O與銳二面角l的兩半平面相切，兩切點(diǎn)間的距離為，O點(diǎn)到交線(xiàn)l的距離為2，則球O的表面積為()A. B4C12 D36解析：設(shè)球O與平面、分別相切于點(diǎn)P、Q，過(guò)點(diǎn)O作ORl于點(diǎn)R，連結(jié)PR、QR、PQ，設(shè)PQ與OR相交于點(diǎn)S，其抽象圖如圖所示，則有OPPR、OQQR，故O、P

8、、R、Q四點(diǎn)共圓，此圓的直徑為2，由正弦定理得2，sinPRQ.又二面角l為銳二面角，PRQ60，PRO30，OP1，即球的半徑為1，球O的表面積S4R24，故選B.答案：B第卷(非選擇題共90分)二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13下列命題：如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這兩個(gè)平面平行；如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)不同平面相互平行；垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)不同平面相互平行其中的真命題是_(把正確的命題序號(hào)全部填在橫線(xiàn)上)解析：對(duì)于，相應(yīng)的兩個(gè)平面可能相交，因此不正確

9、；對(duì)于，其中的兩條直線(xiàn)可能是兩條平行直線(xiàn)，此時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)平面不一定平行，因此不正確；對(duì)于，顯然正確答案：14.如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：直線(xiàn)BE與直線(xiàn)CF異面；直線(xiàn)BE與直線(xiàn)AF異面；直線(xiàn)EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有_個(gè)解析：將幾何體展開(kāi)圖拼成幾何體(如圖)，因?yàn)镋、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，所以EFADBC，即直線(xiàn)BE與CF共面，錯(cuò)；因?yàn)锽平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線(xiàn)，正確；因?yàn)镋FADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PA

10、D與平面BCE不一定垂直，錯(cuò)答案：215如圖，將B，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成大小等于的二面角BACD，若，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，則下面的四種說(shuō)法：ACMN；DM與平面ABC所成的角是；線(xiàn)段MN的最大值是，最小值是；當(dāng)時(shí)，BC與AD所成的角等于.其中正確的說(shuō)法有_(填上所有正確說(shuō)法的序號(hào))解析：如圖，ACBM，ACMDAC平面BMD，所以ACMN，正確；因?yàn)?，且線(xiàn)與面所成角的范圍為0，所以DM與平面ABC所成的角不一定是，錯(cuò)；BMDM，MNBD，BMD，所以MNBMcoscos，所以線(xiàn)段MN的最大值是，最小值是，正確；當(dāng)時(shí)，過(guò)C作CEAD，連結(jié)DE，且DEAC，則BCE(或

11、其補(bǔ)角)即為兩直線(xiàn)的夾角，BMDM，BMDM，BD2，又DEAC，則DE平面BDM，DEBD，BE21，cosBCE0，所以錯(cuò)答案：16設(shè)A、B、C是球面上三點(diǎn)，線(xiàn)段AB2，若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球的表面積等于_解析：ABC所在截面圓的直徑為2rAB2時(shí)，球心到平面ABC的距離最大，此時(shí)球半徑R2，S球4R216.答案：16三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿(mǎn)分10分)如圖，長(zhǎng)方體AC1中，AB2，BCAA11.E、F、G分別為棱DD1、D1C1、BC的中點(diǎn)(1)試在底面A1B1C1D1上找一點(diǎn)H，使EH平面FGB1；(2)

12、求四面體EFGB1的體積解析：(1)取A1D1的中點(diǎn)P，D1P的中點(diǎn)H，連結(jié)DP、EH，則DPB1G，EHDP，EHB1G，又B1G平面FGB1，EH平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1A1D1時(shí)，EH平面FGB1.(2)EH平面FGB1，VEFGB1VHFGB1，而VHFGB1VGHFB11SHFB1，SHFB1S梯形B1C1D1HSB1C1FSD1HF，V四面體EFGB1VEFGB1VHFGB11.18(本小題滿(mǎn)分12分)直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求證：平面ACB1平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一

13、點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1和平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論解析：(1)證明：直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45，BC，BCAC.又BB1BCB，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.又AC平面ACB1，平面ACB1平面BB1C1C.(2)存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn)要使DP與平面BCB1和平面ACB1都平行，就要使DP與平面BCB1和平面ACB1的交線(xiàn)平行因?yàn)槠矫鍮CB1平面ACB1B1C，所以只要DPB1C即可因?yàn)锳1B1DC，所以四邊形DCB1P為平行四邊形，所以B1P

14、DCA1B11，所以P為A1B1的中點(diǎn)即當(dāng)P為A1B1的中點(diǎn)時(shí)，DP與平面BCB1和平面ACB1都平行19(本小題滿(mǎn)分12分)(2020浙江)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直線(xiàn)EF將AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求二面角AFDC的余弦值；(2)點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段FD，BC上，若沿直線(xiàn)MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線(xiàn)段FM的長(zhǎng)解析：(1)取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)H，AF的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，AH，GH，因?yàn)锳EAF及H是EF的中點(diǎn)，所以AHEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面BEF，所以AH平面BEF.又AF平面BEF，故AHAF，

15、又因?yàn)镚，H是AF、EF的中點(diǎn)易知GHAB，所以GHAF，于是AF平面AGH，所以AGH為二面角AFDC的平面角在RtAGH中，AH2，GH2，AG2.所以cosAGH.故二面角ADFC的余弦值為.(2)設(shè)FMx.因?yàn)榉酆螅珻與A重合，所以CMAM，而CM2DC2DM282(6x)2，AM2AH2MH2AH2MG2GH2(2)2(x2)222，得x，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)N在線(xiàn)段BC上所以FM.20(本小題滿(mǎn)分12分)(2020重慶)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PAAB，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)(1)求直線(xiàn)AD與平面PBC的距離；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的

16、余弦值解析：(1)如圖，在矩形ABCD中，ADBC，從而AD平面PBC，故直線(xiàn)AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離因PA底面ABCD，故PAAB，由PAAB知PAB為等腰直角三角形，又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，故AEPB.又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線(xiàn)定理得BCPB，從而B(niǎo)C平面PAB，故BCAE，從而AE平面PBC，故AE之長(zhǎng)即為直線(xiàn)AD與平面PBC的距離在RtPAB中，PAAB，所以AEPB.(2)過(guò)點(diǎn)D作DFCE，交CE于F，過(guò)點(diǎn)F作FGCE，交AC于G，則DFG為所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB，又ADBC，得AD平面PAB，

17、故ADAE，從而DE.在RtCBE中，CE.由CD，所以CDE為等邊三角形，故F點(diǎn)為CE的中點(diǎn)，且DFCDsin.因?yàn)锳E平面PBC，故AECE，又FGCE，知FG綊AE，從而FG，且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn)連結(jié)DG，則在RtADC中，DGAC.所以cosDFG.21(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2；E為BS的中點(diǎn)，CE，AS.求：(1)點(diǎn)A到平面BCS的距離；(2)二面角ECDA的大小解析：(1)因?yàn)锳DBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而A點(diǎn)到平面BCS的距離等于D點(diǎn)到平面BCS的距離因?yàn)槠矫鍯SD平面A

18、BCD，ADCD，故AD平面CSD，從而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離因此，在RtADS中，DS.(2)如圖，過(guò)E點(diǎn)作EGCD，交CD于點(diǎn)G，又過(guò)點(diǎn)G作GHCD，交AB于點(diǎn)H，故EGH為二面角ECDA的平面角，記為，過(guò)E點(diǎn)作EFBC，交CS于點(diǎn)F，連結(jié)GF，因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF.故EGF.由于E為BS邊的中點(diǎn)，故CFCS1，在RtCFE中，EF1.因EF平面CSD，又EGCD，故由三垂線(xiàn)定理的逆定理得FGCD，從而又可得CGFCSD，因此，而在RtCSD中，CD，故GFDS.在RtEFG中，tanEG

19、F，可得EGF，故所求二面角的大小為.22(本小題滿(mǎn)分12分)右圖是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，求證：OC平面A1B1C1；(2)求二面角BACA1的大??；(3)求此幾何體的體積解析：(1)證明：作ODAA1交A1B1于D，連結(jié)C1D.則ODBB1CC1.因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D(AA1BB1)3CC1.則四邊形ODC1C是平行四邊形，因此有OCC1D，C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，則OC平面A1B1C1.(2)如圖，過(guò)B作截面BA2C2平面A1B1C1，分別交AA1、CC1于A2、C2，作BHA2C2于H，連結(jié)CH.因?yàn)镃C1平面BA2C2，所以CC1BH，則BH平面A1C.又因?yàn)锳B，BC，ACAB2BC2AC2，所以BCAC，根據(jù)三垂線(xiàn)定理知CHAC，所以BCH就是所求二面角的平面角因?yàn)锽H，所以sinBCH，故BCH30，即所求二面角的大小為30.(3)因?yàn)锽H，所以VBAA2C2CSAA2C2CBH(12)，VA1B1C1A2BC2SA1B1C1BB121.所求幾何體體積為VVBAA2C2CVA1B1C1A2BC2.