2020年高考數(shù)學一輪復習 第9章（A）《直線、平面、簡單幾何體》自測題

第九章(A)直線、平面、簡單幾何體名師檢測題時間：120分鐘分值：150分第卷(選擇題共60分)一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1過空間一點與已知平面垂直的直線有()A0條B1條C0條或1條 D無數(shù)條解析：根據(jù)線面垂直的定義及其性質(zhì)定理可知過空間一點與已知平面垂直的直線只有1條，故選B.答案：B2已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“ ”是“m ”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而當兩平面、垂直時，內(nèi)的直線m只有在垂直于兩平面的交線時才垂直于另一個平面，充分性不成立答案：B3設直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直解析：因為只有過m及m在平面內(nèi)的射影的平面是過m且垂直于平面的平面，因此B正確，選擇B.答案：B4已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面、，則下列命題中，其逆否命題不成立的是()A當m，n時，若mn，則B當b時，若b，則C當，m，n，若nm，則nD當m，且n時，若n，則mn解析：根據(jù)原命題與逆否命題的真假性相同，只需判斷原命題的真假即可由面面垂直、平行的性質(zhì)定理或判定定理等很容易判斷出A、B、C都是正確的，而在答案D中，m與n顯然可以異面故選D.答案：D5正方體ABCDA1B1C1D1中，M為棱AB的中點，則異面直線DM與D1B所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：取CD的中點N，連結(jié)NB、ND1，則易知NBDM，NBD1(或其補角)就是異面直線DM與D1B所成的角不妨設正方體的棱長為1，則D1NNB .又D1B，故在NBD1中，cosNBD1.故選B.答案：B6如果對于空間任意n(n2)條直線總存在一個平面，使得這n條直線與平面所成的角均相等，那么這樣的n()A最大值為3 B最大值為4C最大值為5 D不存在最大值解析：若n4，顯然此時對于空間的任意四條直線不都存在這樣的平面，因此結(jié)合各選項知B、C不正確；對于空間任意3條直線，總存在一個平面，使得這n條直線與平面所成的角均相等，選A.答案：A7.如圖，在棱長均為2的正四棱錐PABCD中，點E為PC的中點，則下列命題正確的是()ABE平面PAD，且直線BE到平面PAD的距離為BBE平面PAD，且直線BE到平面PAD的距離為CBE不平行于平面PAD，且BE與平面PAD所成的角大于30°DBE不平行于平面PAD，且BE與平面PAD所成的角小于30°解析：取PD的中點F，連結(jié)EF，AF，則有EFCD，且EFCD，又ABCD，ABCD，因此有EFAB，EFAB，四邊形ABEF為梯形，直線BE與AF必相交，直線BE與平面PAD不平行注意到BE與BC的夾角為30°，因此直線BE與AD的夾角為30°，由最小角原理可知，直線BE與平面PAD所成的角小于30°，選D.答案：D8已知三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PAPB2PC2a，且三棱錐外接球的表面積為S9，則實數(shù)a的值為()A1 B2C. D.解析：如圖，將三棱錐PABC嵌入長方體中，則長方體的體對角線BD為三棱錐外接球的直徑，由此得三棱錐外接球的表面積為S42(PB2PD2)(2a)2(a)29.a1，故選A.答案：A9.如圖，C90°，ACBC，M、N分別為BC和AB的中點，沿直線MN將BMN折起，使二面角BMNB的大小為60°，則斜線BA與平面ABC所成角的正切值為()A. B.C. D.解析：設ACBC2a，由已知得MNCM，BMMN，MN平面BCM，BMB60°，BMMNa.作BECB于點E，連結(jié)AE，則有MNBE，BECE，BE平面ABC，BAE是直線BA與平面ABC所成的角在RtBAE中，BEBMsin60°a，EMBMcos60°，AE ，所以tanBAE，選B.答案：B10.如圖，在棱長為4的正方體ABCDABCD中，E、F分別是AD、AD的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則線段MN的中點P的軌跡(曲面)與二面角AADB所圍成的幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：依題意可知|FP|MN|1，因此點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球面，于是所求的體積是×，選C.答案：C11一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的高是()A. B.C1 D.解析：由題知三棱錐的高為球的半徑，故選C.答案：C12球O與銳二面角l的兩半平面相切，兩切點間的距離為，O點到交線l的距離為2，則球O的表面積為()A. B4C12 D36解析：設球O與平面、分別相切于點P、Q，過點O作ORl于點R，連結(jié)PR、QR、PQ，設PQ與OR相交于點S，其抽象圖如圖所示，則有OPPR、OQQR，故O、P、R、Q四點共圓，此圓的直徑為2，由正弦定理得2，sinPRQ.又二面角l為銳二面角，PRQ60°，PRO30°，OP1，即球的半徑為1，球O的表面積S4R24，故選B.答案：B第卷(非選擇題共90分)二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13下列命題：如果一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這兩個平面平行；如果一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；平行于同一平面的兩個不同平面相互平行；垂直于同一直線的兩個不同平面相互平行其中的真命題是_(把正確的命題序號全部填在橫線上)解析：對于，相應的兩個平面可能相交，因此不正確；對于，其中的兩條直線可能是兩條平行直線，此時相應的兩個平面不一定平行，因此不正確；對于，顯然正確答案：14.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F分別為PA、PD的中點在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有_個解析：將幾何體展開圖拼成幾何體(如圖)，因為E、F分別為PA、PD的中點，所以EFADBC，即直線BE與CF共面，錯；因為B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線，正確；因為EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，錯答案：215如圖，將B，邊長為1的菱形ABCD沿對角線AC折成大小等于的二面角BACD，若，M、N分別為AC、BD的中點，則下面的四種說法：ACMN；DM與平面ABC所成的角是；線段MN的最大值是，最小值是；當時，BC與AD所成的角等于.其中正確的說法有_(填上所有正確說法的序號)解析：如圖，ACBM，ACMDAC平面BMD，所以ACMN，正確；因為，且線與面所成角的范圍為0，所以DM與平面ABC所成的角不一定是，錯；BMDM，MNBD，BMD，所以MNBM·cos·cos，所以線段MN的最大值是，最小值是，正確；當時，過C作CEAD，連結(jié)DE，且DEAC，則BCE(或其補角)即為兩直線的夾角，BMDM，BMDM，BD2，又DEAC，則DE平面BDM，DEBD，BE21，cosBCE0，所以錯答案：16設A、B、C是球面上三點，線段AB2，若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球的表面積等于_解析：ABC所在截面圓的直徑為2rAB2時，球心到平面ABC的距離最大，此時球半徑R2，S球4R216.答案：16三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖，長方體AC1中，AB2，BCAA11.E、F、G分別為棱DD1、D1C1、BC的中點(1)試在底面A1B1C1D1上找一點H，使EH平面FGB1；(2)求四面體EFGB1的體積解析：(1)取A1D1的中點P，D1P的中點H，連結(jié)DP、EH，則DPB1G，EHDP，EHB1G，又B1G平面FGB1，EH平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1A1D1時，EH平面FGB1.(2)EH平面FGB1，VEFGB1VHFGB1，而VHFGB1VGHFB1×1×SHFB1，SHFB1S梯形B1C1D1HSB1C1FSD1HF，V四面體EFGB1VEFGB1VHFGB1×1×.18(本小題滿分12分)直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90°，AB2AD2CD2.(1)求證：平面ACB1平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一點P，使得DP與平面BCB1和平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論解析：(1)證明：直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BADADC90°，AB2AD2CD2，AC，CAB45°，BC，BCAC.又BB1BCB，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.又AC平面ACB1，平面ACB1平面BB1C1C.(2)存在點P，P為A1B1的中點要使DP與平面BCB1和平面ACB1都平行，就要使DP與平面BCB1和平面ACB1的交線平行因為平面BCB1平面ACB1B1C，所以只要DPB1C即可因為A1B1DC，所以四邊形DCB1P為平行四邊形，所以B1PDCA1B11，所以P為A1B1的中點即當P為A1B1的中點時，DP與平面BCB1和平面ACB1都平行19(本小題滿分12分)(2020·浙江)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直線EF將AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求二面角AFDC的余弦值；(2)點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線段FM的長解析：(1)取線段EF的中點H，AF的中點G，連結(jié)AG，AH，GH，因為AEAF及H是EF的中點，所以AHEF.又因為平面AEF平面BEF，所以AH平面BEF.又AF平面BEF，故AHAF，又因為G，H是AF、EF的中點易知GHAB，所以GHAF，于是AF平面AGH，所以AGH為二面角AFDC的平面角在RtAGH中，AH2，GH2，AG2.所以cosAGH.故二面角ADFC的余弦值為.(2)設FMx.因為翻折后，C與A重合，所以CMAM，而CM2DC2DM282(6x)2，AM2AH2MH2AH2MG2GH2(2)2(x2)222，得x，經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上所以FM.20(本小題滿分12分)(2020·重慶)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PAAB，點E是棱PB的中點(1)求直線AD與平面PBC的距離；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解析：(1)如圖，在矩形ABCD中，ADBC，從而AD平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離因PA底面ABCD，故PAAB，由PAAB知PAB為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，故AEPB.又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BCPB，從而BC平面PAB，故BCAE，從而AE平面PBC，故AE之長即為直線AD與平面PBC的距離在RtPAB中，PAAB，所以AEPB.(2)過點D作DFCE，交CE于F，過點F作FGCE，交AC于G，則DFG為所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB，又ADBC，得AD平面PAB，故ADAE，從而DE.在RtCBE中，CE.由CD，所以CDE為等邊三角形，故F點為CE的中點，且DFCD·sin.因為AE平面PBC，故AECE，又FGCE，知FG綊AE，從而FG，且G點為AC的中點連結(jié)DG，則在RtADC中，DGAC.所以cosDFG.21(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2；E為BS的中點，CE，AS.求：(1)點A到平面BCS的距離；(2)二面角ECDA的大小解析：(1)因為ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離因為平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，從而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，從而DS為點A到平面BCS的距離因此，在RtADS中，DS.(2)如圖，過E點作EGCD，交CD于點G，又過點G作GHCD，交AB于點H，故EGH為二面角ECDA的平面角，記為，過E點作EFBC，交CS于點F，連結(jié)GF，因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF.故EGF.由于E為BS邊的中點，故CFCS1，在RtCFE中，EF1.因EF平面CSD，又EGCD，故由三垂線定理的逆定理得FGCD，從而又可得CGFCSD，因此，而在RtCSD中，CD，故GF·DS·.在RtEFG中，tanEGF，可得EGF，故所求二面角的大小為.22(本小題滿分12分)右圖是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190°，AA14，BB12，CC13.(1)設點O是AB的中點，求證：OC平面A1B1C1；(2)求二面角BACA1的大??；(3)求此幾何體的體積解析：(1)證明：作ODAA1交A1B1于D，連結(jié)C1D.則ODBB1CC1.因為O是AB的中點，所以OD(AA1BB1)3CC1.則四邊形ODC1C是平行四邊形，因此有OCC1D，C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，則OC平面A1B1C1.(2)如圖，過B作截面BA2C2平面A1B1C1，分別交AA1、CC1于A2、C2，作BHA2C2于H，連結(jié)CH.因為CC1平面BA2C2，所以CC1BH，則BH平面A1C.又因為AB，BC，ACAB2BC2AC2，所以BCAC，根據(jù)三垂線定理知CHAC，所以BCH就是所求二面角的平面角因為BH，所以sinBCH，故BCH30°，即所求二面角的大小為30°.(3)因為BH，所以VBAA2C2CSAA2C2C×BH××(12)××，VA1B1C1A2BC2SA1B1C1·BB1×21.所求幾何體體積為VVBAA2C2CVA1B1C1A2BC2.