2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 七 空間向量與立體幾何 理

上傳人:艷*** 文檔編號(hào):110465443 上傳時(shí)間:2022-06-18 格式:DOC 頁(yè)數(shù):10 大?。?25.50KB
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1、高考專題訓(xùn)練七空間向量與立體幾何班級(jí)_姓名_時(shí)間:45分鐘分值:75分總得分_一、選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上1在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin,的值為()A.B.C. D.解析:以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則C(0,1,0),M,D1(0,0,1),N,cos,sin,.故選B.答案:B2(2020全國(guó))已知直二面角l,點(diǎn)A,ACl,C為垂足,B,BDl,D為垂足,若AB2,ACBD1,則D到平面ABC的距離等于()A.

2、B.C. D1解析:由2()22222221|21,所以|CD|.過(guò)D作DEBC于E,則DE面ABC,DE即為D到平面ABC的距離在RtBCD中,BC2BD2CD23,BC.DEBCBDCD,DE.答案:C3在三棱錐PABC中,PA平面ABC,BAC90,D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn),ABAC1,PA2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析:以A為原點(diǎn),AB、AC、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,由ABAC1,PA2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F(xiàn),(0,0,2),設(shè)面

3、DEF的法向量為n(x,y,z),則由得取z1,則n(2,0,1),設(shè)PA與平面DEF所成角為,則sin,PA與平面DEF所成角為arcsin,故選C.答案:C4如圖所示,AC1是正方體的一條體對(duì)角線,點(diǎn)P、Q分別為其所在棱的中點(diǎn),則PQ與AC1所成的角為()A.B. C.D.解析:如圖,設(shè)底面中心為O,在對(duì)角面ADC1B1中,取AB1的中點(diǎn)為T,TDPQ,從而TD與AC1所成的角為所求由相似可得AMD,故選D.答案:D5如下圖所示,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面MBD的距離是()A.a B.aC.a D.a解析:A到面MBD的距離由等積變形可得V

4、AMBDVBAMD.易求da.答案:D6已知平面與所成的二面角為80,P為,外一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的一條直線與,所成的角都是30,則這樣的直線有且僅有()A1條B2條 C3條D4條解析:如右圖,過(guò)P作、的垂線PC、PD,其確定的平面與棱l交于Q,過(guò)P的直線與、分別交于A、B兩點(diǎn),若二面角為80,AB與平面、成30,則CPD100,AB與PD、PC成60,因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)P點(diǎn)與直線PD、PC所成角為60的直線有幾條60,60,這樣的直線有4條答案:D二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在答題卡上7(2020全國(guó))已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上,

5、且B1E2EB,CF2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于_解析:如圖,以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為3.A(3,0,0),E(3,3,1),F(xiàn)(0,3,2)(0,3,1),(3,3,2)設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z),令y1,z3,x1,n(1,1,3)又(0,0,3)為面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)平面AEF與平面ABC所成的二面角為cos|cosn,|sintan.答案:8已知l1,l2是兩條異面直線,、是三個(gè)互相平行的平面,l1、l2分別交、于A、B、C和D、E、F,AB4,BC12,DF10,又l1與成30角,則與間的距離是

6、_;DE_.解析:由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得與間距離為6.由面面平行的性質(zhì)定理可得,即.DE2.5.答案:62.59坐標(biāo)平面上有點(diǎn)A(2,3)和B(4,1),將坐標(biāo)平面沿y軸折成二面角AOyB,使A,B兩點(diǎn)的距離為2,則二面角等于_解析:如圖,ADBC,BCCD,BC平面ACD,BCAC,AB2,BC4,AC2,AD2,CD4,cos.答案:12010已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則直線DA1與AC間的距離為_(kāi)解析:設(shè)n是A1D和AC的公垂線段上的向量,則n()()10,1.又n()()0,1.n.故所求距離為d.答案:三、解答題:本大題共2小題,共25分解

7、答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟11(12分)(2020天津)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA12,C1H平面AA1B1B,且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值;(2)求二面角AA1C1B1的正弦值;(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi),且MN平面A1B1C1,求線段BM的長(zhǎng)解:方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),依題意得A(2,0,0),B(0,0,0),C(,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,)(1)易得(,),(2,0,0)于是cos,.所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦

8、值為.(2)易知(0,2,0),(,),設(shè)平面AA1C1的法向量m(x,y,z),則即不妨令x,可得m(,0,),同樣地,設(shè)平面A1B1C1的法向量n(x,y,z),則即不妨令y,可得n(0,),于是cosm,n.從而sinm,n.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)由N為棱B1C1的中點(diǎn),得N,設(shè)M(a,b,0),則,由MN平面A1B1C1,得即解得故M,因此,所以線段BM的長(zhǎng)|.方法二:(1)由于ACA1C1.故C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角因?yàn)镃1H平面AA1B1B,又H為正方形AA1B1B的中心,AA12,C1H,可得A1C1B1C13.因此cosC1A1B1.所以

9、異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2)連接AC1,易知AC1B1C1,又由于AA1B1A1,A1C1A1C1,所以AC1A1B1C1A1,過(guò)點(diǎn)A作ARA1C1于點(diǎn)R,連接B1R,于是B1RA1C1,故ARB1為二面角AA1C1B1的平面角在RtA1RB1中,B1RA1B1sinRA1B12.連接AB1,在ARB1中,AB14,ARB1R,cosARB1,從而sinARB1.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)因?yàn)镸N平面A1B1C1,所以MNA1B1,取HB1中點(diǎn)D,連接ND.由于N是棱B1C1的中點(diǎn),所以NDC1H且NDC1H.又C1H平面AA1B1B,所以ND平面AA1B1B

10、,故NDA1B1.又MNNDN,所以A1B1平面MND,連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E,則MEA1B1,故MEAA1.由,得DEB1E,延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F,可得BFB1E,連接NE.在RtENM中,NDME,故ND2DEDM,所以DM,可得FM,連接BM,在RtBFM中,BM.12(13分)(2020上海)已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱,O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)(1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為,二面角AB1D1A1的大小為.求證:tantan;(2)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為,求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高解:設(shè)正四棱柱的高為h.(1)證明:連接AO1,AA1底面A1B1C1D1于A1,AB1與底面A1B1C1D1所成的角為AB1A1,即AB1A1.AB1AD1,O1為B1D1中點(diǎn),AO1B1D1,又A1O1B1D1,AO1A1是二面角AB1D1A1的平面角,即AO1A1tanh,tanhtan.(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h)(1,0,h),(0,1,h),(1,1,0)設(shè)平面AB1D1的一個(gè)法向量為n(x,y,z),即z1,得n(h,h,1)點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為d,則h2.

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