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1、第七講函數的奇偶性與周期性班級_姓名_考號_日期_得分_一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內)1定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)f(x2)13，f(1)2，則f(99)()A13B2C. D.解析：由f(x)f(x2)13，知f(x2)f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函數，周期為4.所以f(99)f(3424)f(3).答案：C2(精選考題鄭州)定義在R上的函數f(x)滿足：對于任意，R，總有f()f()f()精選考題，則下列說法正確的是()Af(x)1是奇函數Bf(x)1是奇函數Cf(x)精選考題是奇函數Df(x)
2、精選考題是奇函數解析：依題意，取0，得f(0)精選考題；取x，x，得f(0)f(x)f(x)精選考題，f(x)精選考題f(x)f(0)f(x)精選考題，因此函數f(x)精選考題是奇函數，選D.答案：D3設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數，已知x(0,1)時，f(x)log(1x)，則函數f(x)在(1,2)上()A是增函數，且f(x)0C是減函數，且f(x)0解析：由題意得當x(1,2)時，02x1,0x10，則可知當x(1,2)時，f(x)是減函數，選D.答案：D4設f(x)是連續(xù)的偶函數，且當x0時是單調函數，則滿足f(x)f的所有x之和為()A3 B3C8 D8解析：因為f(x)是
3、連續(xù)的偶函數，且x0時是單調函數，由偶函數的性質可知若f(x)f，只有兩種情況：x；x0.由知x23x30，故兩根之和為x1x23.由知x25x30，故其兩根之和為x3x45.因此滿足條件的所有x之和為8.答案：C5已知奇函數f(x)在區(qū)間3,7上是增函數，且最小值為5，那么函數f(x)在區(qū)間7，3上()A是增函數且最小值為5B是增函數且最大值為5C是減函數且最小值為5D是減函數且最大值為5解析：f(x)為奇函數，f(x)的圖象關于原點對稱f(x)在3,7上是增函數，f(x)在7，3上也是增函數f(x)在3,7上的最小值為5，由圖可知函數f(x)在7，3上有最大值5.答案：B評析：本題既涉及到
4、函數的奇偶性，又涉及到函數的單調性，還涉及到函數的最值，是一道綜合性較強的題目，由于所給的函數沒有具體的解析式，因此我們畫出函數f(x)在區(qū)間3,7上的示意圖，由圖形易得結論6(精選考題新課標全國)設偶函數f(x)滿足f(x)x38(x0)，則x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析：當x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函數，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.故選B.答案：B二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7(精選考題江蘇)設函數f(x)x(exaex)(xR)是偶函數，則實
5、數a的值為_解析：設g(x)x，h(x)exaex，因為函數g(x)x是奇函數，則由題意知，函數h(x)exaex為奇函數，又函數f(x)的定義域為R，h(0)0，解得a1.答案：18已知函數f(x1)是奇函數，f(x1)是偶函數，且f(0)2，則f(4)_.解析：依題意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：29(精選考題湖北八校)設函數f(x)的定義域、值域分別為A、B，且AB是單元集，下列命題若ABa，則f(a)a；若B不是單元集，則滿足ff(x)f(x)的x值可能不存在；若f(x)具有奇偶性，則f(x)可能為偶函數；若f
6、(x)不是常數函數，則f(x)不可能為周期函數其中，正確命題的序號為_解析：如f(x)x1，A1,0，B0,1滿足AB0，但f(0)0，且滿足ff(x)f(x)的x可能不存在，錯，正確；如，f(x)1，AR，B1，則f(x)1，AR是偶函數，正確；如f(x)x2k1，A2k1,2k，B0,1，kZ，f(x)是周期函數，但不是常數函數，所以錯誤答案：10對于定義在R上的函數f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為_若f(x)是奇函數，則f(x1)的圖象關于點A(1,0)對稱；若對xR，有f(x1)f(x1)，則yf(x)的圖象關于直線x1對稱；若函數f(x1)的圖象關于直線x1對稱，則f(
7、x)為偶函數；函數yf(1x)與函數yf(1x)的圖象關于直線x1對稱解析：f(x1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，又f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，所以f(x1)的圖象關于點A(1,0)對稱，故正確；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期為2，無法判斷其對稱軸，故錯誤；f(x1)的圖象關于直線x1對稱，則f(x)關于y軸對稱，故f(x)為偶函數，正確；yf(1x)的圖象是由yf(x)的圖象向左平移一個單位后得到，yf(1x)是由yf(x)的圖象關于y軸對稱后再向右平移一個單位而得到，兩者圖象關于y軸對稱，故錯誤答案：三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，
8、13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11已知定義域為R的函數f(x)是奇函數(1)求a、b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍分析：(1)由f(0)0可求得b，再由特殊值或奇函數定義求得a；(2)先分析函數f(x)的單調性，根據單調性去掉函數符號f，然后用判別式解決恒成立問題解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)0，即0b1，所以f(x)，又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數又因f(x)是奇函數，從而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等價于f(t22t)k2t2，即對tR有
9、：3t22tk0，從而412k0k.12設函數f(x)的定義域為R，對于任意的實數x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，當x0時，f(x)0，求證：(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(，)上是減函數證明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為奇函數(2)設x1、x2(，)且x1x2，則x2x10，當x0時，f(x)0，f(x2x1)0.又對于任意的實數x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)為奇函數，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是減函數13設函數f(x)的定義域關于原點對稱，且滿足f(x1x2)；存在正常數a，使f(a)1.求證：(1)f(x)是奇函數；(2)f(x)是周期函數，并且有一個周期為4a.證明：(1)不妨令xx1x2，則f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函數(2)要證f(x4a)f(x)，可先計算f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)，(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a為周期的周期函數
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