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1、第七講 函數(shù)的奇偶性與周期性
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)．)
1．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，則f(99)＝( )
A．13 B．2
C. D.
解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函數(shù)，周期為4.所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.
答案：C
2．(精
2、選考題·鄭州)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對于任意α，β∈R，總有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝精選考題，則下列說法正確的是( )
A．f(x)－1是奇函數(shù)
B．f(x)＋1是奇函數(shù)
C．f(x)－精選考題是奇函數(shù)
D．f(x)＋精選考題是奇函數(shù)
解析：依題意，取α＝β＝0，得f(0)＝－精選考題；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝精選考題，f(－x)＋精選考題＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋精選考題]，因此函數(shù)f(x)＋精選考題是奇函數(shù)，選D.
答案：D
3．設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知x∈(0,1)時，f(x)＝lo
3、g(1－x)，則函數(shù)f(x)在(1,2)上( )
A．是增函數(shù)，且f(x)<0
B．是增函數(shù)，且f(x)>0
C．是減函數(shù)，且f(x)<0
D．是減函數(shù)，且f(x)>0
解析：由題意得當(dāng)x∈(1,2)時，0<2－x<1,00，則可知當(dāng)x∈(1,2)時，f(x)是減函數(shù)，選D.
答案：D
4．設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)＝f的所有x之和為( )
A．－3 B．3
C．－8 D．8
解析：因為f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且x>0時是單調(diào)函數(shù)，由偶
4、函數(shù)的性質(zhì)可知若f(x)＝f，只有兩種情況：①x＝；②x＋＝0.
由①知x2＋3x－3＝0，故兩根之和為x1＋x2＝－3.
由②知x2＋5x＋3＝0，故其兩根之和為x3＋x4＝－5.
因此滿足條件的所有x之和為－8.
答案：C
5．已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，且最小值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[－7，－3]上( )
A．是增函數(shù)且最小值為－5
B．是增函數(shù)且最大值為－5
C．是減函數(shù)且最小值為－5
D．是減函數(shù)且最大值為－5
解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．
∵f(x)在[3,7]上是增函數(shù)，
∴f(x)在[－7，－3]
5、上也是增函數(shù)．
∵f(x)在[3,7]上的最小值為5，
∴由圖可知函數(shù)f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.
答案：B
評析：本題既涉及到函數(shù)的奇偶性，又涉及到函數(shù)的單調(diào)性，還涉及到函數(shù)的最值，是一道綜合性較強的題目，由于所給的函數(shù)沒有具體的解析式，因此我們畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上的示意圖，由圖形易得結(jié)論．
6．(精選考題·新課標(biāo)全國)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：當(dāng)x<0時，－x>0
6、，
∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，
又f(x)是偶函數(shù)，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，
∴f(x)＝.
∴f(x－2)＝，
或，
解得x>4或x<0.故選B.
答案：B
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)
7．(精選考題·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．
解析：設(shè)g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答
7、案：－1
8．已知函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，f(x－1)是偶函數(shù)，且f(0)＝2，則f(4)＝________.
解析：依題意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2.
答案：－2
9．(精選考題·湖北八校)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域、值域分別為A、B，且A∩B是單元集，下列命題
①若A∩B＝{a}，則f(a)＝a；
②若B不是單元集，則滿足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在；
③若f(x)具有奇偶性，則f(x)可能為偶函數(shù)；
④若f(x)不是常數(shù)函數(shù)，則f(x)不可能
8、為周期函數(shù)．
其中，正確命題的序號為________．
解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]滿足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且滿足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①錯，②正確；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，則f(x)＝1，A＝R是偶函數(shù)，③正確；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函數(shù)，但不是常數(shù)函數(shù)，所以④錯誤．
答案：②③
10．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為________．
①若f(x)是奇函數(shù)，則f(x－1)的圖象關(guān)于點A(1,0)對稱；
②若
9、對x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；
③若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則f(x)為偶函數(shù)；
④函數(shù)y＝f(1＋x)與函數(shù)y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
解析：f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個單位而得到，又f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以f(x－1)的圖象關(guān)于點A(1,0)對稱，故①正確；
由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期為2，無法判斷其對稱軸，故②錯誤；
f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則f(x)關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)，③正確；
y＝f(1＋x)的圖象是由y
10、＝f(x)的圖象向左平移一個單位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱后再向右平移一個單位而得到，兩者圖象關(guān)于y軸對稱，故④錯誤．
答案：①③
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求a、b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．
分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函數(shù)定義求得a；(2)先分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號f，然后用判別式解決恒成立問題．
解：(1)
11、因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝0，
即＝0?b＝1，
所以f(x)＝，
又由f(1)＝－f(－1)
知＝－?a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．
又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：
f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于
f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t2－2t>k－2t2，
即對t∈R有：
3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0?k<－.
12．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意的實數(shù)x，y，都有f(x＋y)＝f(x)
12、＋f(y)，當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，求證：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．
證明：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
(2)設(shè)x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，則x2－x1＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.
又∵對于任意的實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)為奇函數(shù)，
∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)
13、．
∴f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．
13．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足
①f(x1－x2)＝；
②存在正常數(shù)a，使f(a)＝1.
求證：(1)f(x)是奇函數(shù)；
(2)f(x)是周期函數(shù)，并且有一個周期為4a.
證明：(1)不妨令x＝x1－x2，則
f(－x)＝f(x2－x1)＝
＝－＝－f(x1－x2)
＝－f(x)．∴f(x)是奇函數(shù)．
(2)要證f(x＋4a)＝f(x)，
可先計算f(x＋a)，f(x＋2a)，
∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝
?。剑剑?f(a)＝1)．
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
＝＝＝－.
∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝＝f(x)
故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù)．
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