高中數(shù)學(xué) 8《最小二乘估計(jì)》教案 師大版必修3

上傳人:艷*** 文檔編號(hào):111440630 上傳時(shí)間:2022-06-20 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?24.50KB
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1、最小二乘估計(jì) 教學(xué)目標(biāo):1、掌握最小二乘法的思想 2、能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 教學(xué)重點(diǎn):最小二乘法的思想 教學(xué)難點(diǎn):線性回歸方程系數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)過程 回顧:上節(jié)課我們討論了人的身高與右手一拃長(zhǎng)之間的線性關(guān)系,用了很多種方法來刻畫這種線性關(guān)系,但是這些方法都缺少數(shù)學(xué)思想依據(jù)。 問題1、用什么樣的線性關(guān)系刻畫會(huì)更好一些? 想法:保證這條直線與所有點(diǎn)都近(也就是距離最?。? 最小二乘法就是基于這種想法。 問題2、用什么樣的方法刻畫點(diǎn)與直線的距離會(huì)方便有效? 設(shè)直線方程為y=a+bx,樣本點(diǎn)A(xi,yi) 方法一、點(diǎn)到直線

2、的距離公式 方法二、 顯然方法二能有效地表示點(diǎn)A與直線y=a+bx的距離,而且比方法一更方便計(jì)算,所以我們用它來表示二者之間的接近程度。 問題3、怎樣刻畫多個(gè)點(diǎn)與直線的接近程度? 例如有5個(gè)樣本點(diǎn),其坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5)與直線y=a+bx的接近程度: 從而我們可以推廣到n個(gè)樣本點(diǎn):(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)與直線y=a+bx的接近程度: 使得上式達(dá)到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線,這種方法稱為最小二乘法 問題4、怎樣使達(dá)到最小值?

3、先來討論3個(gè)樣本點(diǎn)的情況 設(shè)有3個(gè)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個(gè)點(diǎn)的接近程度由下面表達(dá)式刻畫: …………………① 整理成為關(guān)于a的一元二次函數(shù),如下所示: 利用配方法可得 從而當(dāng)時(shí),使得函數(shù)達(dá)到最小值。 將代入①式,整理成為關(guān)于b的一元二次函數(shù), 同樣使用配方法可以得到,當(dāng) 時(shí),使得函數(shù)達(dá)到最小值。 從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a,b,且稱直線y=a+bx為這3個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程。 用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)的線性回歸方程的系數(shù):

4、 其中 由我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過。 例題與練習(xí) 例1 在上一節(jié)練習(xí)中,從散點(diǎn)圖可以看出,某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x)之間是線性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表 氣溫(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù)(yi)/杯 20 24 34 38 50 64 (1) 試用最小二乘法求出線性回歸方程。[ (2) 如果某天的氣溫是-3 oC,請(qǐng)預(yù)測(cè)可能會(huì)賣出熱茶多少杯。 解:(1)先畫出其散點(diǎn)圖 i xi yi xi2 xiyi 1 26 20 676 520 2 18 24 324

5、432 3 13 34 169 442 4 10 38 100 380 5 4 50 16 200 6 -1 64 1 -64 合計(jì) 70 230 1286 1910 可以求得 則線性回歸方程為 y =57.557-1.648x (2)當(dāng)某天的氣溫是-3 oC時(shí),賣出熱茶的杯數(shù)估計(jì)為: 練習(xí)1 已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)如下表,則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經(jīng)過點(diǎn) ( D ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7

6、(A)(2,2) (B)(1.5,0) (C)(1,2) (D)(1.5,4) 練習(xí)2 某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表: 商店名稱 A B C D E 銷售額(x)/千萬元 3 5 6 7 9 利潤(rùn)額(y)/百萬元 2 3 3 4 5 (1) 畫出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖; (2) 若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系,計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程。 解:(1) (2)數(shù)據(jù)如下表: i xi yi xi2 xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合計(jì) 30 17 200 112 可以求得b=0.5,a=0.4 線性回歸方程為: 小結(jié) 1、 最小二乘法的思想 2、 線性回歸方程的系數(shù): 作業(yè):P60 習(xí)題1-8 第1題

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