高中數學 第一章1.2.2分層抽樣和系統抽樣學案 北師大必修3

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1、第一章 統計1.2.2分層抽樣和系統抽樣 一. 學習內容： 簡單隨機抽樣（抽簽法與隨機數表法）、分層抽樣、系統抽樣 二、學習目標 1、能從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題； 2、結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性； 3、在參與解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統抽樣方法； 4、能通過試驗、查閱資料、設計調查問卷等方法收集數據。 三、知識要點 1、抽樣調查：通常情況下，從調查對象中按照一定的方法抽取一部分，進行調查或觀測，獲取數據，并以此對調查對象的某項指標作出推斷，這就是抽樣調查。其

2、中，調查對象的全體稱為總體，被抽取的一部分稱為樣本。抽樣調查是相對于普查而言的，具有迅速及時、節(jié)約人力物力財力的優(yōu)點。 2、簡單隨機抽樣：也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。 特點：逐個抽取，不放回抽樣，每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。 3、簡單隨機抽樣的方法——抽簽法：先將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號

3、簽放在一起進行均勻攪拌，抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本。對個體編號時，也可以利用已有的編號，例如從全班學生中抽取樣本時，可以利用學生的學號、座位號等。 適用情形：當總體的個體數不多時，適宜采用這種方法。 步驟： ?給調查對象群體中的每個對象編號； ?準備“抽簽”的工具，實施“抽簽”； ?對樣本中每一個個體進行測量或調查。 4、簡單隨機抽樣的方法——隨機數表法：利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣，叫隨機數表法。 步驟： ?將總體的個體編號； ?在隨機數表中選擇開始數字和抽取的方向（上下左右等）； ?讀數獲取樣本號碼。 說明

4、：對讀到的隨機數，要判斷其是否小于或等于總體容量N。 5、分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣。 分層抽樣又稱類型抽樣，應用分層抽樣應遵循以下要求： （1）分層：將相似的個體歸為一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則。 （2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比相等。 步驟： ?分層：按某種特征將總體分成若干部分。 ?按比例（每層個體

5、占總體的比例）確定每層抽取個體的個數。 ?各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取。 ④綜合每層抽樣，組成樣本。 6、系統抽樣：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的n個部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣。 系統抽樣又稱為等距抽樣或機械抽樣，特征： （1）當總體容量N較大時，采用系統抽樣。 （2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統抽樣又稱等距抽樣，這時的間隔一般為k＝. （3）預先制定的規(guī)則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號a，在此編號的基礎

6、上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號a+k，a+2k，a+3k，……，a+nk。 考點解析與典型例題 考點一 簡單隨機抽樣 例1、人們打橋牌時，將洗好的撲克牌隨機確定一張為起始牌，這時按次序搬牌時，對任何一家來說，都是從52張牌中抽取13張牌，問這種抽樣方法是否是簡單隨機抽樣？ 【分析】 簡單隨機抽樣的實質是逐個地從總體中隨機抽取樣本，而這里只是隨機確定了起始張，其他各張牌雖然是逐張起牌，但是各張牌在誰手里已被確定，所以不是簡單隨機抽樣。 【答】不是。因為簡單隨機抽樣的特征是逐個、隨機的抽取，而在本題的發(fā)牌方式下，除了第一張是隨機抽取外，其它各張均隨著第一張牌的確定而確定，因此不是簡

7、單隨機抽樣。 例2、某車間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？ 【解】 法1：（抽簽法）將100件軸編號為1，2，…，100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著無放回地連續(xù)抽取10個號簽，然后測量這10個號簽對應的軸的直徑。 法2：（隨機數表法）將100件軸編號為00，01，…99，在隨機數表中選定一個起始位置，如取第21行第1個數向右逐行開始，選取10個為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本。 考點

8、二 分層抽樣 例3、一個單位的職工有500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀況有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽??？ 【分析】由于抽樣時要考慮到年齡，因此可采用分層抽樣的方法。 【解】因為抽取人數與職工總數的比為100：500=1 ：5，所以在各年齡段抽取的職工人數依次是即25，56，19 考點三 系統抽樣 例4、某校高中三年級的295名學生已經編號為1，2，……，295，為了了解學生的學習情況，要按1：5的比例抽取一個樣本，用系統抽樣的方法進行抽取，并寫出

9、過程。 【分析】由于抽取的人數較多，因此可考慮系統抽樣。首先按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關鍵是確定第1段的編號。 【解】按照1：5的比例，應該抽取的樣本容量為295÷5=59，我們把295名同學分成59組，每組5人，第一組是編號為1～5的5名學生，第2組是編號為6～10的5名學生，依次下去，第59組是編號為291～295的5名學生。采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組的5名學生中抽出一名學生，不妨設編號為k（1≤k≤5），那么抽取的學生編號為k+5L（L=0，1，2，……，58），得到59個個體作為樣本，如當k=3時的樣本編號為3，8，13，……，288，293。 五、

10、數學思想方法 現代社會是信息化的社會，人們常常需要收集數據，根據所獲得的數據提取有價值的信息，以作出合理的判斷。但有時獲得數據的過程具有一定的破壞性，譬如檢驗燈泡的使用壽命，我們無法對對象的全體進行檢測（普查），只能通過抽取一定的樣本來對全體的相關數據進行估計。抽樣時要保證樣本有效，必須要保證抽樣的公平性，即每個個體被抽取的“可能性”相等，所以在本講學習中要充分領會抽樣調查的優(yōu)越性和公平的原則。 【模擬試題】（答題時間：60分鐘） 一、選擇題 1. 為了了解全校240名學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量， 下列說法正確的是（ ） A. 總體是240

11、 B、個體是每一個學生 C、樣本是40名學生 D、樣本容量是40 2. 如果采用分層抽樣，從個體數為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，那么每個個體被抽到的可能性為 A. B. C. D. 3. 為了測量一批所加工零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200個零件的長度是（ ） A、總體 B、個體 C、總體的一個樣本 D、樣本容量 4. 從學號為1～50的高一某班50名學生中隨機選取5名同學參加數學測試，采用系統抽樣的方法，

12、則所選5名學生的學號可能是（ ） A. 1，2，3，4，5 B、10，20，30，40，50 C. 2， 4， 6， 8， 10 D、4，11，21，31，41 5. 對于簡單隨機抽樣，個體被抽到的機會（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 不確定 D. 與抽樣次數有關 6. 用隨機數表法從100名學生（男生25人）中抽20人進行某項活動，某男生被抽到的幾率是（ ） A. B. C. D.

13、7. 對總數為N的一批零件抽取一個容量為30的樣本，若每個零件被抽取的可能性為25%，則N 為（ ） A. 150 B. 200 C. 100 D. 120 二、填空題 8.一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應抽取超過45歲的職工 人． 9. 某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶。為了調查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為10

14、0戶的樣本，把這種抽樣記為A；某中學高中一年級有12名女排運動員，要從中選取3人調查學習負擔的情況，把這種抽樣記為B，那么完成上述兩項調查應分別采用的抽樣方法：A為 ，B為 。 三、解答題 10. 要從某汽車廠生產的100輛汽車中隨機抽取10 輛進行測試，請用系統抽樣方法，寫出抽樣過程。 11. 從含有50個個體的總體中抽取5個個體，請用抽簽抽樣法寫出抽樣過程 12. 一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為3：2：5：2：3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關，問

15、：應采取什么樣的方法？并寫出具體過程。 13. 從個體總數N=500的總體中，抽取一個容量為n=20的樣本，使用隨機數表法進行抽選，要取三位數，寫出你抽取的樣本，并寫出抽取過程. （起點在第幾行，第幾列，具體方法） 【試題答案】 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C B A C D 二、填空題 8. 10 9. 分層抽樣，簡單隨機抽樣； 三、解答題 10. 第一步：將100輛汽車編號，號碼為00，01，…，99； 第二步：在隨機數表中任選一個數作為開始，任選一個方向作為讀數方向. 比如，

16、選第20行第一個數“3”，向右讀； 第三步：從數“3”開始，向右讀，每次讀取兩位，凡不在00～99中的數跳過去不讀，前面已經讀過的數也跳過去不讀，依次可得到31，16，93，32，43，50，27，89，87，19； 第四步：以上號碼對應的汽車便可組成要抽取的樣本. 11. 第一步:給50個個體編號為1，2，……，50； 第二步：把這50個號碼寫在無差別的紙團上，放入箱中均勻攪拌； 第三步：無放回地逐個抽取5個號碼； 第四步：抽出的5個號碼對應的個體即組成要抽取的樣本。 12. 因為疾病與地理位置和水土均有關系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法，具

17、體過程如下： （1）將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。 （2）按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應抽取的樣本。 300×=60（人），300×=40（人），，300×=40（人），300×=60（人），因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取的人數分別為60人、40人、100人、40人、60 人。 （3）將300人組到一起，即得到一個樣本。 13. 第一步：給總體中的每個個體編號碼為001，002，003，…，500. 第二步：從隨機數表的第13行第3列的4開始向右連續(xù)讀取數字，以3個數為一組，碰到右邊線時向下錯一行向左繼續(xù)讀取，在讀取時，遇到大于500或重復的數時，將它舍棄，再繼續(xù)向下讀取，所抽取的樣本號碼如下：（隨機數表見課本附表） 424 064 297 074 140 407 385 075 354 024 066 352 022 088 313 500 162 290 263 253