高中數(shù)學(xué) 第一章1.2.2分層抽樣和系統(tǒng)抽樣學(xué)案 北師大必修3

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1、第一章 統(tǒng)計(jì)1.2.2分層抽樣和系統(tǒng)抽樣 一. 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法）、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣 二、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、能從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問題； 2、結(jié)合具體的實(shí)際問題情境，理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性； 3、在參與解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，學(xué)會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實(shí)例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法； 4、能通過試驗(yàn)、查閱資料、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。 三、知識(shí)要點(diǎn) 1、抽樣調(diào)查：通常情況下，從調(diào)查對象中按照一定的方法抽取一部分，進(jìn)行調(diào)查或觀測，獲取數(shù)據(jù)，并以此對調(diào)查對象的某項(xiàng)指標(biāo)作出推斷，這就是抽樣調(diào)查。其

2、中，調(diào)查對象的全體稱為總體，被抽取的一部分稱為樣本。抽樣調(diào)查是相對于普查而言的，具有迅速及時(shí)、節(jié)約人力物力財(cái)力的優(yōu)點(diǎn)。 2、簡單隨機(jī)抽樣：也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。 特點(diǎn)：逐個(gè)抽取，不放回抽樣，每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。 3、簡單隨機(jī)抽樣的方法——抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體編號(hào)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號(hào)

3、簽放在一起進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)，每次從中抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到一個(gè)容量為的樣本。對個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào)，例如從全班學(xué)生中抽取樣本時(shí)，可以利用學(xué)生的學(xué)號(hào)、座位號(hào)等。 適用情形：當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，適宜采用這種方法。 步驟： ?給調(diào)查對象群體中的每個(gè)對象編號(hào)； ?準(zhǔn)備“抽簽”的工具，實(shí)施“抽簽”； ?對樣本中每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查。 4、簡單隨機(jī)抽樣的方法——隨機(jī)數(shù)表法：利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，叫隨機(jī)數(shù)表法。 步驟： ?將總體的個(gè)體編號(hào)； ?在隨機(jī)數(shù)表中選擇開始數(shù)字和抽取的方向（上下左右等）； ?讀數(shù)獲取樣本號(hào)碼。 說明

4、：對讀到的隨機(jī)數(shù)，要判斷其是否小于或等于總體容量N。 5、分層抽樣：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣。 分層抽樣又稱類型抽樣，應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求： （1）分層：將相似的個(gè)體歸為一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。 （2）分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等。 步驟： ?分層：按某種特征將總體分成若干部分。 ?按比例（每層個(gè)體

5、占總體的比例）確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)。 ?各層分別按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取。 ④綜合每層抽樣，組成樣本。 6、系統(tǒng)抽樣：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的n個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣。 系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣或機(jī)械抽樣，特征： （1）當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣。 （2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時(shí)的間隔一般為k＝. （3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)a，在此編號(hào)的基礎(chǔ)

6、上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)a+k，a+2k，a+3k，……，a+nk。 考點(diǎn)解析與典型例題 考點(diǎn)一 簡單隨機(jī)抽樣 例1、人們打橋牌時(shí)，將洗好的撲克牌隨機(jī)確定一張為起始牌，這時(shí)按次序搬牌時(shí)，對任何一家來說，都是從52張牌中抽取13張牌，問這種抽樣方法是否是簡單隨機(jī)抽樣？ 【分析】 簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)質(zhì)是逐個(gè)地從總體中隨機(jī)抽取樣本，而這里只是隨機(jī)確定了起始張，其他各張牌雖然是逐張起牌，但是各張牌在誰手里已被確定，所以不是簡單隨機(jī)抽樣。 【答】不是。因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣的特征是逐個(gè)、隨機(jī)的抽取，而在本題的發(fā)牌方式下，除了第一張是隨機(jī)抽取外，其它各張均隨著第一張牌的確定而確定，因此不是簡

7、單隨機(jī)抽樣。 例2、某車間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本？ 【解】 法1：（抽簽法）將100件軸編號(hào)為1，2，…，100，并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫上這100個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著無放回地連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽，然后測量這10個(gè)號(hào)簽對應(yīng)的軸的直徑。 法2：（隨機(jī)數(shù)表法）將100件軸編號(hào)為00，01，…99，在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置，如取第21行第1個(gè)數(shù)向右逐行開始，選取10個(gè)為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本。 考點(diǎn)

8、二 分層抽樣 例3、一個(gè)單位的職工有500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀況有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。? 【分析】由于抽樣時(shí)要考慮到年齡，因此可采用分層抽樣的方法。 【解】因?yàn)槌槿∪藬?shù)與職工總數(shù)的比為100：500=1 ：5，所以在各年齡段抽取的職工人數(shù)依次是即25，56，19 考點(diǎn)三 系統(tǒng)抽樣 例4、某校高中三年級(jí)的295名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為1，2，……，295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，并寫出

9、過程。 【分析】由于抽取的人數(shù)較多，因此可考慮系統(tǒng)抽樣。首先按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第1段的編號(hào)。 【解】按照1：5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為295÷5=59，我們把295名同學(xué)分成59組，每組5人，第一組是編號(hào)為1～5的5名學(xué)生，第2組是編號(hào)為6～10的5名學(xué)生，依次下去，第59組是編號(hào)為291～295的5名學(xué)生。采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從第一組的5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生，不妨設(shè)編號(hào)為k（1≤k≤5），那么抽取的學(xué)生編號(hào)為k+5L（L=0，1，2，……，58），得到59個(gè)個(gè)體作為樣本，如當(dāng)k=3時(shí)的樣本編號(hào)為3，8，13，……，288，293。 五、

10、數(shù)學(xué)思想方法 現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì)，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，以作出合理的判斷。但有時(shí)獲得數(shù)據(jù)的過程具有一定的破壞性，譬如檢驗(yàn)燈泡的使用壽命，我們無法對對象的全體進(jìn)行檢測（普查），只能通過抽取一定的樣本來對全體的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。抽樣時(shí)要保證樣本有效，必須要保證抽樣的公平性，即每個(gè)個(gè)體被抽取的“可能性”相等，所以在本講學(xué)習(xí)中要充分領(lǐng)會(huì)抽樣調(diào)查的優(yōu)越性和公平的原則。 【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘） 一、選擇題 1. 為了了解全校240名學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測量， 下列說法正確的是（ ） A. 總體是240

11、 B、個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生 C、樣本是40名學(xué)生 D、樣本容量是40 2. 如果采用分層抽樣，從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性為 A. B. C. D. 3. 為了測量一批所加工零件的長度，抽測了其中200個(gè)零件的長度，在這個(gè)問題中，200個(gè)零件的長度是（ ） A、總體 B、個(gè)體 C、總體的一個(gè)樣本 D、樣本容量 4. 從學(xué)號(hào)為1～50的高一某班50名學(xué)生中隨機(jī)選取5名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測試，采用系統(tǒng)抽樣的方法，

12、則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是（ ） A. 1，2，3，4，5 B、10，20，30，40，50 C. 2， 4， 6， 8， 10 D、4，11，21，31，41 5. 對于簡單隨機(jī)抽樣，個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 不確定 D. 與抽樣次數(shù)有關(guān) 6. 用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生（男生25人）中抽20人進(jìn)行某項(xiàng)活動(dòng)，某男生被抽到的幾率是（ ） A. B. C. D.

13、7. 對總數(shù)為N的一批零件抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽取的可能性為25%，則N 為（ ） A. 150 B. 200 C. 100 D. 120 二、填空題 8.一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的職工 人． 9. 某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶。為了調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為10

14、0戶的樣本，把這種抽樣記為A；某中學(xué)高中一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選取3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的情況，把這種抽樣記為B，那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)分別采用的抽樣方法：A為 ，B為 。 三、解答題 10. 要從某汽車廠生產(chǎn)的100輛汽車中隨機(jī)抽取10 輛進(jìn)行測試，請用系統(tǒng)抽樣方法，寫出抽樣過程。 11. 從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取5個(gè)個(gè)體，請用抽簽抽樣法寫出抽樣過程 12. 一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為3：2：5：2：3，從3萬人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問

15、：應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程。 13. 從個(gè)體總數(shù)N=500的總體中，抽取一個(gè)容量為n=20的樣本，使用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽選，要取三位數(shù)，寫出你抽取的樣本，并寫出抽取過程. （起點(diǎn)在第幾行，第幾列，具體方法） 【試題答案】 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C C B A C D 二、填空題 8. 10 9. 分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣； 三、解答題 10. 第一步：將100輛汽車編號(hào)，號(hào)碼為00，01，…，99； 第二步：在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始，任選一個(gè)方向作為讀數(shù)方向. 比如，

16、選第20行第一個(gè)數(shù)“3”，向右讀； 第三步：從數(shù)“3”開始，向右讀，每次讀取兩位，凡不在00～99中的數(shù)跳過去不讀，前面已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，依次可得到31，16，93，32，43，50，27，89，87，19； 第四步：以上號(hào)碼對應(yīng)的汽車便可組成要抽取的樣本. 11. 第一步:給50個(gè)個(gè)體編號(hào)為1，2，……，50； 第二步：把這50個(gè)號(hào)碼寫在無差別的紙團(tuán)上，放入箱中均勻攪拌； 第三步：無放回地逐個(gè)抽取5個(gè)號(hào)碼； 第四步：抽出的5個(gè)號(hào)碼對應(yīng)的個(gè)體即組成要抽取的樣本。 12. 因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層抽樣的方法，具

17、體過程如下： （1）將3萬人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。 （2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本。 300×=60（人），300×=40（人），，300×=40（人），300×=60（人），因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取的人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60 人。 （3）將300人組到一起，即得到一個(gè)樣本。 13. 第一步：給總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào)碼為001，002，003，…，500. 第二步：從隨機(jī)數(shù)表的第13行第3列的4開始向右連續(xù)讀取數(shù)字，以3個(gè)數(shù)為一組，碰到右邊線時(shí)向下錯(cuò)一行向左繼續(xù)讀取，在讀取時(shí)，遇到大于500或重復(fù)的數(shù)時(shí)，將它舍棄，再繼續(xù)向下讀取，所抽取的樣本號(hào)碼如下：（隨機(jī)數(shù)表見課本附表） 424 064 297 074 140 407 385 075 354 024 066 352 022 088 313 500 162 290 263 253