數(shù)學 第一章 常用邏輯用語章末課 新人教B版選修2-1

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1、第一章 常用邏輯用語章末復習課1.理解命題及四種命題的概念，掌握四種命題間的相互關系.2.理解充分條件、必要條件的概念，掌握充分條件、必要條 件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結詞的含義，會判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題的 真假.4.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、存在 性命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定.學習目標題型探究知識梳理內容索引當堂訓練知識梳理知識點一命題及其關系1.判斷一個語句是否為命題，關鍵是：(1)為 ；(2)能 .2.互為逆否關系的兩個命題的真假性 .3.四種命題之間的關系如圖所示.陳述句判斷真假相同知識點二充分條件、必要條件和充要條件1.定義一般地，若p則q為真命

2、題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.2.特征充分條件與必要條件具有以下兩個特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的 條件；(2)傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的 條件.即若pq，qr，則pr.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關系不能確定.必要充分知識點三簡單的邏輯聯(lián)結詞與量詞1.常見的邏輯聯(lián)結詞有“ ”、“ ”、“ ”.2.短語“所有”“任

3、意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“x”表示“ ”.3.短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“x”表示“ ”.4.含有全稱量詞的命題叫做 命題，含有存在量詞的命題叫做 命題.且或非對任意x存在x全稱存在性題型探究 類型一充分條件與必要條件、充要條件的探究命題角度命題角度1充分條件與必要條件的再探究充分條件與必要條件的再探究例例1設甲、乙、丙三個命題，若甲是乙的充要條件；丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，則A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C.丙是甲的充

4、要條件D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件答案解析由得甲乙，可以理解為丙是乙的充分條件，但不是乙的必然結果，即丙乙，乙丙.則丙是甲的充分條件，但不是甲的必然結果.若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即q的充分條件是p，p的必要條件是q.如果將“必要條件”理解為“必然結果”，則可認為p的必然結果是q，q是p的必然結果.則pq易表述為以下幾種說法：p是q的不充分條件，q的不充分條件是p；q是p的不必要條件，p的不必要條件是q.反思與感悟 跟蹤訓練跟蹤訓練1使ab0成立的一個充分不必要條件是A.a2b20 B. C.ln aln b0 D.xaxb且x0.5答案解析設條件p符合條件，

5、則p是ab0的充分條件，但不是ab0的必然結果，即有“pab0，ab0p”.A選項中，a2b20ab0，有可能是ab 00abb0，故B不符合條件；C選項中，ln aln b0ab1ab0，而ab0ab1，符合條件；D選項中，xaxb且x0.50.5x1時a1時ab，無法得到a，b與0的大小關系，故D不符合條件.1122loglog0ab12log a12log b命題角度命題角度2充要條件的再探究充要條件的再探究例例2設數(shù)列an、bn、cn滿足：bnanan2，cnan2an13an2(n1,2,3，)，證明：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bnbn1(n1,2,3，).證明解析(

6、必要性)設an是公差為d1的等差數(shù)列，則bn1bn(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)d1d10，所以bnbn1(n1,2,3，)成立.又cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an3an2)d12d13d16d1(常數(shù))(n1,2,3，)，數(shù)列cn為等差數(shù)列.(充分性)設數(shù)列cn是公差為d2的等差數(shù)列，且bnbn1(n1,2,3，).cnan2an13an2， cn2an22an33an4. 得cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)bn2bn13bn2.解析cncn2(cncn1)(cn1cn2)2d2，bn2bn13bn22d2，同理有b

7、n12bn23bn32d2 . 得(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)0. bn1bn0，bn2bn10，bn3bn20，由得bn1bn0(n1,2,3，).由此不妨設bnd3(n1,2,3，)，則anan2d3(常數(shù)).由此cnan2an13an24an2an13d3，從而cn14an12an23d34an12an5d3.兩式相減得cn1cn2(an1an)2d3，因此an1an (cn1cn)d3 d2d3(常數(shù))(n1,2,3，)，數(shù)列an是等差數(shù)列.反思與感悟利用充要條件的定義證明問題時，需要從兩個方面加以證明，切勿漏掉其中一個方面. 跟蹤訓練跟蹤訓練2設an是各項為正數(shù)

8、的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1,2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件是A.an是等比數(shù)列B.a1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列C.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列D.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同答案解析Ai aiai 1， 若 Ai 是 公 比 為 q 的 等 比 數(shù) 列 ， 則 有 對 i 1 有 .這說明a2i1及a2i均是等比數(shù)列且公比都是q，即D選項Ai為等比數(shù)列的必要條件，故研究反向問題即可.由上述，D選項是Ai為等比數(shù)列的必要條件.設D選項為真，即設a2i1，a2i均為等比數(shù)列

9、，且公比都是q，則對iN，有 q，為等比數(shù)列.這表明D選項也是Ai為等比數(shù)列的充分條件.故選D.類型二等價轉化思想的應用例例3已知c0，設p：函數(shù)ycx在R上單調遞減；q：不等式x|x2c|1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍.解答函數(shù)ycx在R上單調遞減0c1的解集為R函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1.函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c，2c1，得c .反思與感悟等價轉化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉化與集合之間的等價轉化、原命題與其逆否命題之間的等價轉化等，即以充要條件為基礎，把同一種數(shù)學意義的內容從一種數(shù)學語言

10、形式等價轉化為另一種數(shù)學語言形式，從而使復雜問題簡單化、具體化.跟蹤訓練跟蹤訓練3已知命題p：(x1)(x5)0，命題q：1mx0).(1)若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；解答由命題p：(x1)(x5)0，解得1x5.命題q：1mx0).p是q的充分條件，1,51m,1m)，則實數(shù)m的取值范圍為(4，).(2)若m5，“pq”為真命題，“pq”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍.解答m5，命題q：4x6.“pq”為真命題，“pq”為假命題，命題p，q為一真一假.解得4x1或5x6.因此x的取值范圍是4，1)(5,6).例例4已知關于x的方程(mZ)：mx24x40，x24mx4m24m50，

11、求方程和的根都是整數(shù)的充要條件.類型三分類討論思想的應用解答當m0時，方程的根為x1，方程化為x250，無整數(shù)根，m0.當m0時，方程有實數(shù)根的充要條件是1644m0m1；方程有實數(shù)根的充要條件是16m24(4m24m5)0m . m1.又mZ，m1或m1.當m1時，方程為x24x40，無整數(shù)根；當m1時，方程為x24x40，方程為x24x50.此時和均有整數(shù)根.綜上，方程和均有整數(shù)根的充要條件是m1.反思與感悟分類討論思想是中學數(shù)學中常用的數(shù)學思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點.解題中要找清討論的標準.跟蹤訓練跟蹤訓練4已知p： 2；q：x2axxa.若綈

12、p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解答又q：x2axxa，x2(a1)xa0.當a1時，1xa.設q對應的集合為A，p對應的集合為B，綈p是綈q的充分條件.RBRA，即AB.當a1時，1xa，要使AB，則1ay，則xy，則x2y2.在命題pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命題是_.答案解析當xy時，xy時，x2y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題.由真值表知，pq為假命題；pq為真命題；p(綈q)為真命題；(綈p)q為假命題.4.對任意x1,2，x2a0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.12345由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.(，0答案解析12345

13、兩條直線的斜率互為負倒數(shù)，兩條直線互相垂直，pq.又一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩條直線也垂直，qp.p是q的充分不必要條件.5.(1)若p：兩條直線的斜率互為負倒數(shù)，q：兩條直線互相垂直，則p是q的什么條件？解答解不等式|3x4|2，得p：x|x2或x0，得q：x|x2.綈q：x|1x2.綈p是綈q的充分不必要條件.(2)若p：|3x4|2，q： 0，則綈p是綈q的什么條件？解答12345規(guī)律與方法1 . 判 斷 含 有 邏 輯 聯(lián) 結 詞 的 命 題 的 真 假 的 關 鍵 是 正 確 理 解“或”“且”“非”的含義，應根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結詞進行命題結構的分析與真假的判斷. 2.判斷命題真假的步驟3.命題pq，pq，綈p的真假判斷，如下表：pq綈ppqpq真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假4.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)注意：注意：(1)全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題.(2)命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念.對一個命題進行否定，就是要對其結論進行否定，而否命題是既否定條件又否定結論.本課結束