數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語章末課 新人教B版選修2-1

第一章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)課1.理解命題及四種命題的概念，掌握四種命題間的相互關(guān)系.2.理解充分條件、必要條件的概念，掌握充分條件、必要條 件的判定方法.3.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的 真假.4.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、存在 性命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究知識梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識梳理知識點一命題及其關(guān)系1.判斷一個語句是否為命題，關(guān)鍵是：(1)為 ；(2)能 .2.互為逆否關(guān)系的兩個命題的真假性 .3.四種命題之間的關(guān)系如圖所示.陳述句判斷真假相同知識點二充分條件、必要條件和充要條件1.定義一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.2.特征充分條件與必要條件具有以下兩個特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的 條件；(2)傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的 條件.即若pq，qr，則pr.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關(guān)系不能確定.必要充分知識點三簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞1.常見的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“ ”、“ ”、“ ”.2.短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“x”表示“ ”.3.短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“x”表示“ ”.4.含有全稱量詞的命題叫做 命題，含有存在量詞的命題叫做 命題.且或非對任意x存在x全稱存在性題型探究 類型一充分條件與必要條件、充要條件的探究命題角度命題角度1充分條件與必要條件的再探究充分條件與必要條件的再探究例例1設(shè)甲、乙、丙三個命題，若甲是乙的充要條件；丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，則A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C.丙是甲的充要條件D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件答案解析由得甲乙，可以理解為丙是乙的充分條件，但不是乙的必然結(jié)果，即丙乙，乙丙.則丙是甲的充分條件，但不是甲的必然結(jié)果.若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件，即q的充分條件是p，p的必要條件是q.如果將“必要條件”理解為“必然結(jié)果”，則可認(rèn)為p的必然結(jié)果是q，q是p的必然結(jié)果.則pq易表述為以下幾種說法：p是q的不充分條件，q的不充分條件是p；q是p的不必要條件，p的不必要條件是q.反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1使ab0成立的一個充分不必要條件是A.a2b20 B. C.ln aln b0 D.xaxb且x0.5答案解析設(shè)條件p符合條件，則p是ab0的充分條件，但不是ab0的必然結(jié)果，即有“pab0，ab0p”.A選項中，a2b20ab0，有可能是ab 00abb0，故B不符合條件；C選項中，ln aln b0ab1ab0，而ab0ab1，符合條件；D選項中，xaxb且x0.50.5x1時a1時ab，無法得到a，b與0的大小關(guān)系，故D不符合條件.1122loglog0ab12log a12log b命題角度命題角度2充要條件的再探究充要條件的再探究例例2設(shè)數(shù)列an、bn、cn滿足：bnanan2，cnan2an13an2(n1,2,3，)，證明：an為等差數(shù)列的充要條件是cn為等差數(shù)列且bnbn1(n1,2,3，).證明解析(必要性)設(shè)an是公差為d1的等差數(shù)列，則bn1bn(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)d1d10，所以bnbn1(n1,2,3，)成立.又cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an3an2)d12d13d16d1(常數(shù))(n1,2,3，)，數(shù)列cn為等差數(shù)列.(充分性)設(shè)數(shù)列cn是公差為d2的等差數(shù)列，且bnbn1(n1,2,3，).cnan2an13an2， cn2an22an33an4. 得cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)bn2bn13bn2.解析cncn2(cncn1)(cn1cn2)2d2，bn2bn13bn22d2，同理有bn12bn23bn32d2 . 得(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)0. bn1bn0，bn2bn10，bn3bn20，由得bn1bn0(n1,2,3，).由此不妨設(shè)bnd3(n1,2,3，)，則anan2d3(常數(shù)).由此cnan2an13an24an2an13d3，從而cn14an12an23d34an12an5d3.兩式相減得cn1cn2(an1an)2d3，因此an1an (cn1cn)d3 d2d3(常數(shù))(n1,2,3，)，數(shù)列an是等差數(shù)列.反思與感悟利用充要條件的定義證明問題時，需要從兩個方面加以證明，切勿漏掉其中一個方面. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2設(shè)an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1,2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件是A.an是等比數(shù)列B.a1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列C.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列D.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同答案解析Ai aiai 1， 若 Ai 是 公 比 為 q 的 等 比 數(shù) 列 ， 則 有 對 i 1 有 .這說明a2i1及a2i均是等比數(shù)列且公比都是q，即D選項Ai為等比數(shù)列的必要條件，故研究反向問題即可.由上述，D選項是Ai為等比數(shù)列的必要條件.設(shè)D選項為真，即設(shè)a2i1，a2i均為等比數(shù)列，且公比都是q，則對iN，有 q，為等比數(shù)列.這表明D選項也是Ai為等比數(shù)列的充分條件.故選D.類型二等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用例例3已知c0，設(shè)p：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x|x2c|1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍.解答函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減0c1的解集為R函數(shù)yx|x2c|在R上恒大于1.函數(shù)yx|x2c|在R上的最小值為2c，2c1，得c .反思與感悟等價轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學(xué)思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉(zhuǎn)化與集合之間的等價轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語言形式等價轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語言形式，從而使復(fù)雜問題簡單化、具體化.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3已知命題p：(x1)(x5)0，命題q：1mx0).(1)若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；解答由命題p：(x1)(x5)0，解得1x5.命題q：1mx0).p是q的充分條件，1,51m,1m)，則實數(shù)m的取值范圍為(4，).(2)若m5，“pq”為真命題，“pq”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍.解答m5，命題q：4x6.“pq”為真命題，“pq”為假命題，命題p，q為一真一假.解得4x1或5x6.因此x的取值范圍是4，1)(5,6).例例4已知關(guān)于x的方程(mZ)：mx24x40，x24mx4m24m50，求方程和的根都是整數(shù)的充要條件.類型三分類討論思想的應(yīng)用解答當(dāng)m0時，方程的根為x1，方程化為x250，無整數(shù)根，m0.當(dāng)m0時，方程有實數(shù)根的充要條件是1644m0m1；方程有實數(shù)根的充要條件是16m24(4m24m5)0m . m1.又mZ，m1或m1.當(dāng)m1時，方程為x24x40，無整數(shù)根；當(dāng)m1時，方程為x24x40，方程為x24x50.此時和均有整數(shù)根.綜上，方程和均有整數(shù)根的充要條件是m1.反思與感悟分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學(xué)生知識和能力的熱點.解題中要找清討論的標(biāo)準(zhǔn).跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4已知p： 2；q：x2axxa.若綈p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解答又q：x2axxa，x2(a1)xa0.當(dāng)a1時，1xa.設(shè)q對應(yīng)的集合為A，p對應(yīng)的集合為B，綈p是綈q的充分條件.RBRA，即AB.當(dāng)a1時，1xa，要使AB，則1ay，則xy，則x2y2.在命題pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命題是_.答案解析當(dāng)xy時，xy時，x2y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題.由真值表知，pq為假命題；pq為真命題；p(綈q)為真命題；(綈p)q為假命題.4.對任意x1,2，x2a0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.12345由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.(，0答案解析12345兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，兩條直線互相垂直，pq.又一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩條直線也垂直，qp.p是q的充分不必要條件.5.(1)若p：兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，q：兩條直線互相垂直，則p是q的什么條件？解答解不等式|3x4|2，得p：x|x2或x0，得q：x|x2.綈q：x|1x2.綈p是綈q的充分不必要條件.(2)若p：|3x4|2，q： 0，則綈p是綈q的什么條件？解答12345規(guī)律與方法1 . 判 斷 含 有 邏 輯 聯(lián) 結(jié) 詞 的 命 題 的 真 假 的 關(guān) 鍵 是 正 確 理 解“或”“且”“非”的含義，應(yīng)根據(jù)命題中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的分析與真假的判斷. 2.判斷命題真假的步驟3.命題pq，pq，綈p的真假判斷，如下表：pq綈ppqpq真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假4.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)注意：注意：(1)全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題.(2)命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念.對一個命題進(jìn)行否定，就是要對其結(jié)論進(jìn)行否定，而否命題是既否定條件又否定結(jié)論.本課結(jié)束