高三數(shù)學(xué)第一篇七 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 概率、離散型隨機(jī)變量及其分布 理

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1、第第2 2講講 概率、離散型隨機(jī)變量及其概率、離散型隨機(jī)變量及其分布分布考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 古典概型與幾何概型考點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（高頻考點(diǎn)）考點(diǎn)三 隨機(jī)變量的分布列、均值與方差考點(diǎn)一 古典概型與幾何概型1.古典概型的概率公式P(A)=.說(shuō)明說(shuō)明求事件包含的基本事件數(shù)常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí).mnA事件 所包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)2.幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構(gòu)成事件 的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積典型例題典型例題(1)(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽

2、取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.(2)(2017西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域(x,y)|0 x2,0y4內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足yx2的概率為()A.B.C.D.51849597912132334解析解析(1)由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=98=72,抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基本事件個(gè)數(shù)m=40,所以所求概率P=.故選C.(2)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為24=8,不等式組表示的平面區(qū)域的面積為x2dx=x3=,因此所求的概率為=,故選B.15C14C22Amn40725902,04xy202,04,xyyx2013208

3、383813答案答案(1)C(2)B方法歸納方法歸納1.古典概型求解的關(guān)鍵點(diǎn)(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí);(2)對(duì)于較復(fù)雜的題目計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類(lèi),分類(lèi)時(shí)應(yīng)不重不漏.2.幾何概型的適用條件及其關(guān)鍵(1)適用條件:當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí),應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)關(guān)鍵:尋找構(gòu)成試驗(yàn)全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域是關(guān)鍵,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)從1至9共9個(gè)自然數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù),則這七個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為()A.B.C

4、.D.23131918答案答案C從1至9共9個(gè)自然數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)的取法共有=36種,因?yàn)?+9=2+8=3+7=4+6,所以從(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任選三組,則有=4,故這七個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為=,故選C.79C9 8234C436192.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)在區(qū)間-1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為()A.B.C.D.12132423答案答案C若直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交,則圓心到直線的距離d=1,解得-k,故在區(qū)間-1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=

5、1相交的概率為P=,選C.2|3 |1kk242422224考點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)命題點(diǎn)1.條件概率.2.相互獨(dú)立事件的概率.3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率.1.條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:P(B|A)=.()( )P ABP A2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.Ckn典型例題典型例題(2017天津,16改編)從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各

6、路口遇到紅燈的概率分別為,.(1)記X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列;(2)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率.解析解析(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=1-1-+1-1-+=,P(X=2)=+=,1213141121131141412131412131411211314112411213141211314121311414(2)設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P

7、(Y=1)P(Z=0)=+=.所以,這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為.14112411241411481148P(X=3)=.所以,隨機(jī)變量X的分布列為121314124X0123P14112414124方法歸納方法歸納求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的策略(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解.(2)一個(gè)復(fù)雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解,對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往用這種方法求解.(3)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:在每次試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果

8、只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同.(4)牢記公式Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,并深刻理解其含義.Ckn跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017武漢武昌調(diào)研考試)小趙、小錢(qián)、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則P(A|B)=()A.B.C.D.29134959答案答案 A小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn),則有4個(gè)景點(diǎn)可選;其余3人只能在剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇,共有333=27種選取方法,所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有427=108種選取方法,4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同共有4321=24種選取方法,所以P(

9、A|B)=.故選A.24108292.(2017寶雞質(zhì)量檢測(cè)(一)現(xiàn)有4個(gè)人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)項(xiàng)目聯(lián)歡,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡.(1)求這4個(gè)人中恰好有2人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率;(2)求這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)的概率.解析解析依題意,這4個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為,去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰好有i人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),則P(Ai)=.(1)

10、這4個(gè)人中恰好有2人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率P(A2)=.(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B,則B=A3A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=+=.這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)13234Ci13i423i24C21322382734C3132344C41319的概率為.19考點(diǎn)三 隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為實(shí)數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實(shí)數(shù)).2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(

11、1-p).(2)若XB(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國(guó),18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35

12、)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解析解析(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列為2 16903690257490X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考

13、慮200n500.當(dāng)300n500時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當(dāng)200n300時(shí),若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值

14、為520元.方法歸納方法歸納求解隨機(jī)變量分布列問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件,然后綜合應(yīng)用各類(lèi)概率公式求概率.(2)求隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列,若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,則可直接使用公式法求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過(guò).已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)分別

15、求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)面試通過(guò)的可能性大.解析解析(1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為1,2,3.P(=1)=;23124236C CC15P(=2)=;P(=3)=.應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù)的分布列為214236C CC35304236C CC15123P153515E()=1+2+3=2.設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,3.P(=0)=;P(=1)=;15351503C31312713C123213627P(=2)=;P(=3)=.應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為23C22313122733C3238270123

16、P1276271227827E()=0+1+2+3=2.(2)因?yàn)镈()=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=,D()=3=,所以D()D().綜上所述,從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察,兩人水平相當(dāng);從做對(duì)題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2道題的概率考察,甲面試通過(guò)的可能性大.1276271227827223,( )32.33BE 或因?yàn)樗?53515252313231.(2017課標(biāo)全國(guó),2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.14812

17、4隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)答案答案B設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形的內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對(duì)稱,則黑色部分的面積為,所以在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自黑色部分的概率P=,故選B.222 282.(2017安徽兩校階段性測(cè)試)將三顆骰子各擲一次,記事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”,B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”,則條件概率P(A|B),P(B|A)分別是()A.,B.,C.,D.,60911212609151860919121612答案答案A由題意得事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)為654=120,事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為63-53=91,在B發(fā)生的條件下A發(fā)生包含的基本事件個(gè)數(shù)為=60,在

18、A發(fā)生的條件下B發(fā)生包含的基本事件個(gè)數(shù)為=60,所以P(A|B)=,P(B|A)=.故選A.13C25A13C25A609160120123.(2017課標(biāo)全國(guó),13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.答案答案1.96解析解析由題意可知XB(100,0.02),由二項(xiàng)分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.4.(2017湖南五市十校聯(lián)考)為響應(yīng)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧,產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號(hào)召,進(jìn)一步優(yōu)化能源消費(fèi)結(jié)構(gòu),某市決定在地處山區(qū)的A縣推進(jìn)光伏發(fā)電項(xiàng)目.在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取50戶,統(tǒng)計(jì)其年用電量得

19、以下統(tǒng)計(jì)表.以樣本的頻率作為概率.用電量(單位:度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000戶數(shù)51510155(1)在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取10戶,記其中年用電量不超過(guò)600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望;(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計(jì)劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組,該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國(guó)家電網(wǎng)以0.8元/度的價(jià)格進(jìn)行收購(gòu).經(jīng)測(cè)算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電1000度,試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.解析解析(1)記在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶,其年用電量不超過(guò)600度為事件A,則P(A)=.由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取10戶,記其中年用電量不超過(guò)600度的戶數(shù)為X,X服從二項(xiàng)分布,即XB,故E(X)=10=6.(2)設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E(Y),由抽樣可得E(Y)=100+300+500+700+900=500(度).則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)計(jì)發(fā)電量為300000度,故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度,能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.35310,535550155010501550550