2021屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破2 函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應用 理

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1、題2函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應用1(2010天津)函數(shù)f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案：B由f(1)30，f(0)10及零點定理，知f(x)的零點在區(qū)間(1,0)上2(2012湖北)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為()A4 B5 C6 D7答案：C令xcos x20，則x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6個零點3(2012北京)函數(shù)f(x)xx的零點個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案：B因為yx在x0，)上單調遞增，yx在xR上單調遞減，所以f(x)xx在x0，)上單調遞增，

2、又f(0)10，f(1)0，所以f(x)xx在定義域內有唯一零點，選B.4(2010山東)已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為yx381x234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為_萬件解析yf(x)x381x234，yx281.令y0，得x9，x9(舍去)當0x9時，y0，函數(shù)f(x)單調遞增；當x9時，y0，函數(shù)f(x)單調遞減故當x9時，y取最大值答案9高考對本部分的考查有：(1)確定函數(shù)零點；確定函數(shù)零點的個數(shù)；根據(jù)函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)值或取值范圍(2)函數(shù)簡單性質的綜合考查函數(shù)的實際應用問題(3)函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、不等式等知識綜合考查利

3、用函數(shù)性質解決相關的最值題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題主要考查相應函數(shù)的圖象和性質，主觀題考查較為綜合，在考查函數(shù)的零點、方程根的基礎上，又注重考查函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論、數(shù)形結合的思想方法1二次函數(shù)圖象是連接三個“二次”的紐帶，是理解和解決問題的關鍵，應認真研究、熟練掌握2關于零點問題，要學會分析轉化，能夠把與之有關的不同形式的問題，化歸為適當方程的零點問題3函數(shù)模型的實際應用問題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓練，重點放在信息整理與建模上.必備知識零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a

4、，b)內有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根注意以下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點在處理二次函數(shù)問題時，要注意f(x)的幾種常見表達形式(1)yax2bxc；(2)ya(xx1)(xx2)；(3)ya(xh)2k.應根據(jù)題目的特點靈活選用上述表達式應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序與函數(shù)有關的應用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題解答這類問題的關鍵是確切的建立相關函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答必備方法1在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程

5、中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關系2二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)，xp，q的最值問題實際上是研究函數(shù)在p，q上的單調性常用方法：(1)注意是“軸動區(qū)間定”，還是“軸定區(qū)間動”，找出分類的標準；(2)利用導數(shù)知識，最值可以在端點和駐點處尋找3f(x)0在p，q上恒成立問題，等價于f(x)min0，xp，q?？疾椋焊鶕?jù)函數(shù)解析式判斷零點所在的

6、區(qū)間；根據(jù)函數(shù)解析式求零點的個數(shù)問題可采用零點判定定理、數(shù)形結合法求解，高考命題有加強的趨勢，難度中檔偏下【例1】 (2011陜西)函數(shù)f(x)cos x在0，)內()A沒有零點 B有且僅有一個零點C有且僅有兩個零點 D有無窮多個零點審題視點 聽課記錄審題視點 將問題轉化為判斷y與ycos x的交點個數(shù)B在同一直角坐標系中分別作出函數(shù)y和ycos x的圖象，如圖，由于x1時，y1，ycos x1，所以兩圖象只有一個交點，即方程cos x0在0，)內只有一個根，所以f(x)cos x在0，)內只有一個零點 確定函數(shù)零點的常用方法：解方程判定法，若方程易求解時用此法；零點存在的判定定理法，常常要結

7、合函數(shù)的性質、導數(shù)等知識；數(shù)形結合法，在研究函數(shù)零點、方程的根及圖象交點的問題時，當從正面求解難以入手，可以轉化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角式等較復雜的函數(shù)零點問題，常轉化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解【突破訓練1】 函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案：C當x0時，令x22x30，解得x3；當x0時，令2ln x0，解得xe2.所以已知函數(shù)有兩個零點，選C.函數(shù)思想在高考中并不單獨考查，而往往與導數(shù)結合命制壓軸性大題，試題圍繞二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關系展開，解題的關鍵是從判別式、韋達定理、對稱軸、開口方向等方面去考慮結論

8、成立的所有條件，難度較大【例2】 已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc.(1)若abc，且abc0，試證明f(x)0必有兩個實根；(2)若對x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2)，試證明方程f(x)f(x1)f(x2)有兩不等實根，且必有一個實根屬于(x1，x2)審題視點 聽課記錄審題視點 (1)將已知條件b(ac)代入f(x)0后，再對f(x)0分解因式求根(2)利用函數(shù)與方程的思想構造函數(shù)f(x)f(x1)f(x2)，利用函數(shù)零點判定定理可知函數(shù)在(x1，x2)有一零點證明(1)若abc，abc0，則a0，c0，且b(ac)，所以方程f(x)0可化為ax2(ac)xc0，即a(x1)0，

9、則f(x)0有兩根x11，x2.(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，g(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)，且x1x2，f(x1)f(x2)，所以g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20，即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x1，x2)內有零點，則方程g(x)0有一實根屬于(x1，x2)，由二次函數(shù)的性質可知必有另一實根 二次函數(shù)問題通常利用二次方程、二次不等式之間的關系來處理，從而使方程問題函數(shù)化，函數(shù)問題方程化，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想【突破訓練2】 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點，求實數(shù)a的取值范圍解當a0時，f(

10、x)2x3，其零點x不在區(qū)間1,1上當a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1分為兩種情況：函數(shù)在區(qū)間1,1上只有一個零點，此時或解得1a5或a.函數(shù)在區(qū)間1,1上有兩個零點，此時或解得a5或a.綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間1,1上有零點，那么實數(shù)a的取值范圍為1，)函數(shù)綜合題的求解往往運用多種知識和技能因此，必須全面掌握有關的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件要認真分析，處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法將題目逐步化歸為基本問題來解決【例3】 已知二次函數(shù)yg(x)的導函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得極小值m1(m0)，設函數(shù)f(

11、x).(1)若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)當k(kR)取何值時，函數(shù)yf(x)kx存在零點，并求出零點審題視點 聽課記錄審題視點 (1)利用已知條件用含m的式子表示f(x)，再結合點P到點Q的最值，利用基本不等式求m值(2)將已知轉化為f(x)kx0，進而求其根，需要根據(jù)解題對k，m分類討論解(1)設g(x)ax2bxc(a0)，則g(x)2axb；又yg(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，又g(x)在x1處取得極小值，g(1)0，b2.g(1)abc12cm1，cm.f(x)x2，設P(x0，y0)，則|PQ|2x(y02)2x22x2m2

12、2m.22m2，m1或1.(2)由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.當k1時，方程(*)有一個解x，故函數(shù)yf(x)kx有一個零點x，(*)當k1時，方程(*)有兩解44m(1k)0，若m0，則k1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；若m0，則k1，故函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；當k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1，函數(shù)yf(x)kx有一個零點x.綜上：當k1時，函數(shù)yf(x)kx有一個零點x；當k1(m0)，或k1(m0)時，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；當k1時，函數(shù)yf(x)kx有一個零點x. 此題考查了函數(shù)的零點、最值、一元二次方程等基礎知識，運用導

13、數(shù)研究函數(shù)的性質的方法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整體的數(shù)學思想方法【突破訓練3】 (2011北京)已知函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是_解析作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，由圖象可知，當0k1時，函數(shù)f(x)與yk的圖象有兩個不同的交點，所以所求實數(shù)k的取值范圍是(0,1)答案(0,1)該類試題以實際生活為背景，通過巧妙設計和整合命制，試題常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式、導數(shù)等知識交匯，多以求最值為高考考向這類題目對學生的閱讀、審題能力、建模能力提出了較高的要求【例4】 (2011湖南)如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移

14、動，速度為v(v0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設其值與|vc|S成正比，比例系數(shù)為；其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量當移動距離d100，面積S時(1)寫出y的表達式；(2)設0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少審題視點 聽課記錄審題視點 先求E移動時單位時間內的淋雨量(分兩部分：一是P或P的平行面；二是其他面的淋雨量之和)再分0vc或cv10兩種情況，利用函數(shù)的單調性求解解(1)由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為|vc|，故y(3|vc

15、|10)(2)由(1)知，當0vc時，y(3c3v10)15；當cv10時，y(3v3c10)15.故y當0c時，y是關于v的減函數(shù)，故當v10時，ymin20.當c5時，在(0，c上y是關于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關于v的增函數(shù)，故當vc時，ymin. (1)關于解決函數(shù)的實際應用問題，首先要在閱讀上下功夫，一般情況下，應用題文字敘述比較長，要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數(shù)關系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數(shù)法【突破訓練4】 (2012東北三校二模)已知一家公司生產某種品牌服裝的年

16、固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大(注：年利潤年銷售收入年總成本)解(1)當0x10時，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當x10時，WxR(x)(102.7x)982.7x，W(2)當0x10時，由W8.10，得x9.當x(0,9)時，W0；當x(9,10時，W0，當x9時，W取得最大值，即Wmax8.19931038.6.當x10時，W98982

17、38，當且僅當2.7 x，即x時，W取得最大值38.綜合知：當x9時，W取得最大值38.6，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲的年利潤最大利用導數(shù)來研究函數(shù)的零點問題利用導數(shù)可判斷函數(shù)圖象的變化趨勢及單調性，而函數(shù)的單調性往往與方程的解交匯命題因此，可借助導數(shù)這一工具來研究函數(shù)的零點問題【示例】 (2012福建)已知函數(shù)f(x)axsin x(aR)，且在上的最大值為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)內的零點個數(shù)，并加以證明滿分解答(1)由已知得f(x)a(sin xxcos x)，對于任意x，有sin xxcos x0.當a0時，f(x)，不

18、合題意；當a0時，x時，f(x)0，從而f(x)在內單調遞減，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f(0)，不合題意；(4分)當a0，x時，f(x)0，從而f(x)在內單調遞增，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f，即a，解得a1.綜上所述，得f(x)xsin x.(6分)(2)f(x)在(0，)內有且只有兩個零點證明如下：由(1)知，f(x)xsin x，從而有f(0)0，f0，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，所以f(x)在內至少存在一個零點又由(1)知f(x)在上單調遞增，故f(x)在內有且只有一個零點(9分)當x時，令g(x)f(x)

19、sin xxcos x.由g10，g()0，且g(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故存在m，使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，知x時，有g(x)0，從而g(x)在內單調遞減當x時，g(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在內單調遞增，故當x時，f(x)f0，故f(x)在上無零點；(12分)當x(m，)時，有g(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在(m，)內單調遞減又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在(m，)內有且僅有一個零點綜上所述，f(x)在(0，)內有且只有兩個零點(14分)老師叮嚀：本題綜合考查了導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性

20、、最值和函數(shù)零點的判斷.第(1)問需對a分類討論，利用f(x)的正負與f(x)單調性的關系求得結果.第(2)問需要經(jīng)過二次求導，原因是一次求導不能判斷其導數(shù)的正負，還需第二次求導，再結合零點存在定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間內零點存在情況.【試一試】 已知函數(shù)f(x)x3，g(x)x.求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點個數(shù)，并說明理由解由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，h(2)60，則x0為h(x)的一個零點，且h(x)在(1,2)內有零點因此，h(x)至少有兩個零點法一h(x)3x21x，記(x)3x21x，則(x)6xx.則x(0，)時，(x)0，因此(x)在(0，)上

21、單調遞增，則(x)在(0，)內至多只有一個零點又因為(1)0，0，則(x)在內有零點所以(x)在(0，)內有且只有一個零點記此零點為x1，則當x(0，x1)時，(x)(x1)0；當x(x1，)時，(x)(x1)0.所以，當x(0，x1)時，h(x)單調遞減而h(0)0，則h(x)在(0，x1內無零點；當x(x1，)時，h(x)單調遞增，則h(x)在(x1，)內至多只有一個零點從而h(x)在(0，)內至多只有一個零點綜上所述，h(x)有且只有兩個零點法二由h(x)x(x21x)，記(x)x21x，則(x)2xx.當x(0，)時，(x)0，從而(x)在(0，)上單調遞增，則(x)在(0，)內至多只有一個零點因此h(x)在(0，)內也至多只有一個零點綜上所述，h(x)有且只有兩個零點12