《數學第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數量積及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數量積及其應用（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、5.2 平面向量的數量積及其應用高考數學高考數學考點一平面向量的數量積考點一平面向量的數量積1.向量的數量積的定義(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a和b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當=90時,a與b垂直,記作ab;當=0時,a與b同向;當=180時,a與b反向.(2)a與b的數量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則把|a|b|cos 叫做a和b的數量積(或內積),記作ab=|a|b|cos .OAOB知識清單(3)規(guī)定:0a=0.(4)ab的幾何意義a.一個向量在另一個向量方向上的投影設是非零向量a與b的夾角,則|a|cos 叫做a在b的方向上
2、的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實數,而不是向量.當090時,它是正值;當90180時,它是負值;當=90時,它是0.b.ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.向量的數量積的性質設a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos ;(2)ab ab=0 ;(3)當a與b同向時,ab=|a|b|,當a與b反向時,ab=-|a|b|,特別地,aa=|a|2;(4)亦為a、b的夾角,且cos = ;(5)|ab|a|b|.3.向量的數量積的運算律(1)ab=ba.(2)(a)b=
3、(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.| |a bab(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內兩點間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab x1x2+y1y2=0 .5.向量中的重要不等式a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a|b|ab|a|b|-x1x2+y1y2. 22xyAB222121()()xxyy2211xy2222xy2211xy2222xy4.平面向量的
4、數量積的坐標表示考點二向量的綜合應用考點二向量的綜合應用1.向量的坐標表示與運算可以大大簡化向量數量積的運算.由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數量積來解決,因此我們可以利用表示向量的直角坐標求出向量的長度、平面內兩點間的距離、兩個向量的夾角,判斷兩向量是否垂直.2.用向量法證明幾何問題的基本思想:將問題中有關幾何量表示為向量,然后根據圖形的性質和特點,應用向量的運算法則,推出所要求證的結論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件.3.證明直線平行、垂直,線段相等等問題的基本方法:(1)要證AB=CD,可轉化為證明=或|=|;(2)要證ABCD,只要證存在一實數0,使等式=成立
5、即可;2AB2CDABCDABCD(3)要證ABCD,只需證=0.ABCD 平面向量數量積、向量長度與夾角的解題策略平面向量數量積、向量長度與夾角的解題策略1.求平面向量夾角的方法:(1)向量是坐標形式時,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cos =,其中為向量a,b的夾角,0,.(2)向量不是坐標形式時,cos =,其中為向量a,b的夾角,0,.2.利用向量數量積求長度問題是數量積的重要應用,此類問題的處理方法為:(1)|a|=;(2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2;(3)若a=(x,y),則|a|=.121222221122x xy yxyxy| |a bab2aa a
6、22xy方法技巧方法1例1 (2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬卷三,13)已知向量a,b滿足|a-b|=1且|a|=2|b|,則ab的最小值為 ,此時a與b的夾角是 .解題導引 設|b|=x,把ab表示成關于x的函數利用余弦函數的有界性得x的取值范圍得結論解析設|b|=x,向量a與b的夾角為,則有ab=2x2cos .由1=|a-b|2=4x2+x2-2ab,得ab=.從而有=2x2cos ,即cos =,則-11,解得x21,從而ab=,故ab的最小值為-.此時cos =-1,又0,所以=.2512x 2512x 22514xx22514xx192512x 2,2929答案-; 29 平面向量應用的
7、解題策略平面向量應用的解題策略1.平面幾何中三角形的四“心”,即三角形的內心、重心、垂心、外心.在引入向量這個工具后,三角形ABC(內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c)的四“心”的向量表示為:(1)O為內心a+b+c=0.(2)O為重心+=0.(3)O為垂心=.(4)O為外心|=|=|.2.向量在平面幾何中的應用向量集數與形于一身,既有代數的抽象性又有幾何的直觀性,因而向量是研究幾何問題的一個有力工具.向量在幾何中的應用:證明平行;證明OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOCOAOBOC方法2垂直;求夾角;求線段長度.例2已知O是ABC的外心,有AB=6,AC=10,若=x+y,且
8、2x+10y=5,則cosBAC= .AOABAC解題導引 導引一:利用外心的性質得到關于x,y和cos BAC的等式分x=0和x0討論,得結論導引二:將向量等式=x+y進行變形當x0時,利用三點共線得結論當x=0時,由幾何性質得結論 AOABAC解析解法一:設AC的中點為D,則有=+,故=(+)=+=|2=50,=(x+y)=x+y|2=60 xcosBAC+100y=50,即有6xcosBAC+10y=5,故有6xcosBAC=2x.當x0時,解得cosBAC=.當x=0時,則y=,從而點O為AC的中點,此時ABC是以角B為直角的三角形,得cosBAC=.解法二:設AC的中點為D,則有=+2y.設=,=,則有=+2y,AOADDOAOACADDOACADACDOAC12ACAOACABACACABACAC131261035AO25x52AB2ACAE52ABAD2ACAO25xAEAD當x0時,+2y=1,故O,D,E三點共線,即有cosBAC=.當x=0時,有y=,故O為AC的中點,此時ABC是以角B為直角的三角形,得cosBAC=. 25x|ADAE515131261035答案 或 1335
數學第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數量積及其應用
