2022年《空間直線和平面的位置關(guān)系》教案教師版 2

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1、空間直線和平面的位置關(guān)系引例 : 簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明：（1）直線a平面，直線baA，則b和的位置關(guān)系如何？（2）直線a平面，直線/ba，則b和的位置關(guān)系如何？解： （1）,bbA平面或； （ 2）,/bb平面或. 說明 （1）引導(dǎo)學(xué)生掌握空間直線與平面的各種位置關(guān)系，學(xué)會各種位置關(guān)系的畫法與表示方法 . 注意立體幾何中，文字、符號語言與圖形直觀的互相轉(zhuǎn)化. （2）小結(jié) 空間直線和平面的位置關(guān)系直線在平面上- 有無數(shù)個公共點平行 - 沒有公共點直線和平面直線不在平面上-相交 - 有且只有一個公共點( 直線在平面外) 說明 同時用圖形語言、符號語言、幾何語言表述這些位置關(guān)系.今天我們來

2、探索空間直線和平面相交中的一種特殊位置關(guān)系直線和平面垂直二、學(xué)習(xí)新課問題 1：在日常生活中你見到最多的直線與平面垂直的情形是什么？請舉例說明. 說明 引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系等 . 問題2： 結(jié)合對下列問題的思考，討論能否用一條直線垂直于一個名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 圖 1 A B

3、C BC圖 2 A B 平面內(nèi)的直線，來定義這條直線和這個平面垂直呢？（1）如圖 1，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽的移動，旗桿AB與影子BC所成的角度會發(fā)生改變嗎 ? （2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線BC的位置關(guān)系又是什么？依據(jù)是什么？由此得到什么結(jié)論？（3）如圖 2，當(dāng)旗桿AB傾斜時， 還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？定義：一般地，如果一條直線l與平面 上的任何直線都垂直，那么我們就說直線 l與平面 垂直（line l perpendicular to plane ） ， 記作： l.直線l叫做平面 的垂線（perpen

4、dicular line） ，平面 叫做直線l的垂面l與面 的交點叫做垂足. 畫法： 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3. 辨析 1：下列命題是否正確？為什么？（ 1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直. （ 2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線. 說明 通過問題辨析，加深概念的理解. 由（ 1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思. 而（ 2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法. 引導(dǎo)學(xué)生給出命題（2）的符號表示：aabbl P 圖 3 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 -

5、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - D C B A 圖 4 問題 3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？如何改進？ 說明 感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學(xué)生探索判定定理的需要，體會有限與無限的辨證關(guān)系 . 引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，可引導(dǎo)學(xué)生觀察直立地面的棋桿與其在地面的影子，還可進行如下實驗.

6、 實驗： 如圖 4，請同學(xué)們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸） . 問題 4： 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結(jié)論？ 說明 通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕娥AD是BC邊上的高，即ADBC時翻折后的折痕AD與桌面垂直 . 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征： AD是BC邊上的高時，無論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即ADCD，ADBD，同時CD、BD是兩相交直線不變，這就是說，當(dāng)AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線CD、BD時，它就垂直于桌面所

7、在的平面. 定理 2：如果直線l與平面上的兩條相交直線a、b都垂直，那么直線l與平面垂直 . 用符號語言表示為：,ababOlla lb辨析 2： （1）下列命題是否正確？為什么？如果一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊形所在的平面 . （2）如圖 5, 若 內(nèi)兩條相交直線m、n與l無公共點且lm、ln，直線l還垂直平面 嗎？ 說明 通過辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂mln圖 5 o 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - -

8、 - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - a b圖 6 直, 取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的. 所謂：“線不在多，相交則靈”. 三、鞏固練習(xí)例 1：如圖 , 觀察跨欄、跳高架，你認為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么 ? 說 明 用學(xué)習(xí)到的知識解釋實際生活中的問題，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識，深化對直線與平面垂直定理的理解. 例 2：如圖 6，已知ab，a，求證：b. 說明 初步感受如何運用直線與平面垂直的定理與定義解決問題，明確運用線面垂直定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相

9、交”的條件. 讓學(xué)生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面. 命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果給出了直線和平面垂直的又一個判定方法. 例 3： （1）如圖 7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，判斷下列結(jié)論是否正確：AC面CDD1C1A A 1面A1B1C1D1AC面BDD1B1 EF面BDD1B1ACBD1（2） 將（ 1）中正方體改成長方體呢，以上結(jié)論是否正確？ 說明 利用所學(xué)知識解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用.其中是定義的應(yīng)用，是定理的應(yīng)用，是思考題2 結(jié)論的

10、應(yīng)用，是定理與定義的綜合應(yīng)用 . 四、應(yīng)用應(yīng)用之一 是利用直線與平面垂直的定義、定理進行一些簡單的推理，體會幾何推理證明的思圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 考方法，基本規(guī)則和嚴謹性. 我們繼續(xù)研究圖7 例 4: 如圖 7, 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，ACBDO，連接11,A D AB DF BF，求證 :

11、1BDAF 說明 要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然. 即：這是立體幾何證明垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法. 除此之外，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系通過計算找線線垂直，如勾股定理等，有時會利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線合一等等.應(yīng)用之二 是利用直線與平面垂直的定義、定理解決一些度量問題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來探究距離的度量問題. 問題 5：你能舉例說明距離在日常生活中的重要性嗎？ 說明 引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的需要測量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線離地面需要相當(dāng)?shù)木嚯x；為了購買家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗探究距離的必要性，距離定

12、義：（1）點M和平面的距離：過點M作平面的垂線，垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點M和平面的距離 . （2）直線l和平面的距離：設(shè)直線l平行于平面在直線l上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做直線l和平面的距離 . （3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做平面和平面的距離 . （4）異面直線a和b的距離： 設(shè)直線a和b是異面直線， 當(dāng)點M、N分別在a和b上，且直線MN既垂直于直線a，又垂直于直線b時，我們把直線MN叫做異面直線a和b公垂線，垂足M、N之間的距離叫做異面直線a和b的距離 . 說明 立體幾何中，求距離的關(guān)鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，

13、體現(xiàn)了“降維”的思想 . 我們繼續(xù)研究圖7 直線與直線垂直直線與平面垂直名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 例 5：如圖 7, 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，1,AA AB和AD的長分別為3,4cmcm和5cm. （1）求點A和點1C的距離；（2）求點A到棱11BC的距離；（3）求棱AB和平面1111DABC的距離；（4）求異面直線AD和11AB的距離 . 說明 求距離的基本步驟是作、證、算

14、，此外還要特別注意融合在運算中的推理過程，推理是運算的基礎(chǔ)，運算只是推理過程的延續(xù). 因此求距離的關(guān)鍵是直線與平面位置關(guān)系的論證. 四、課堂小結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？（3）你會利用直線與平面垂直的定義和定理找到點、線、面的距離并計算嗎？五、作業(yè)布置1、點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO平面ABCD. 2 、探究題：如圖，直四棱柱ABCD-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時， ACBD？3、課本

15、P14 練習(xí)4AB是 O的直徑， C為圓上一點， AB2，AC1， P為 O所在平面外一點，且PA O， PB 與平面所成角為45 （ 1）證明： BC 平面 PAC ；（ 2）求點 A到平面 PBC的距離 說明 通過訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識，檢測運用所學(xué)知識解決問題的能力. 其中第 1 題主要運用直線與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線與平面垂直的定義與判定定理. 第 3、4題是利用直線與平面垂直的定義與判定定理找到點、線、面的距離并計算. 六、教學(xué)設(shè)計說明題 3 A D C B ABCD圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - -

16、 - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是點、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 在探索空間直線與平面垂直的定義及判定定理時，注意從具體實例出發(fā)，通過觀察、思考與討論，讓學(xué)生感悟“一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”

17、是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵. 引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，通過折紙活動進行討論，再通過辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直, 取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關(guān)緊要的. 所謂：“線不在多，相交則靈”. 在這個過程中，用問題驅(qū)動課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、歸納、總結(jié)出相關(guān)概念，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，在應(yīng)用定義和定理證明空間直線與平面垂直的過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生把在直線和平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的關(guān)系，滲透轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 這種

18、轉(zhuǎn)化思想同樣要滲透在求直線和平面、平面和平面之間的距離中，它們都可轉(zhuǎn)化成求點和平面的距離. 空間直線與平面垂直的問題是立體幾何中一個基本的問題，在后面的多面體學(xué)習(xí)中會繼續(xù)涉及，因此，教學(xué)中要注意把握好“度”. 所選例題和習(xí)題都不宜太難. 同時，應(yīng)注重思維過程的嚴謹性，無論是判斷、證明，都要緊扣定義和定理. 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -