2022年《空間直線和平面的位置關系》教案教師版 2

空間直線和平面的位置關系引例 : 簡述下列問題的結論，并畫圖說明：（1）直線a平面，直線baA，則b和的位置關系如何？（2）直線a平面，直線/ba，則b和的位置關系如何？解： （1）,bbA平面或； （ 2）,/bb平面或. 說明 （1）引導學生掌握空間直線與平面的各種位置關系，學會各種位置關系的畫法與表示方法 . 注意立體幾何中，文字、符號語言與圖形直觀的互相轉化. （2）小結 空間直線和平面的位置關系直線在平面上- 有無數(shù)個公共點平行 - 沒有公共點直線和平面直線不在平面上-相交 - 有且只有一個公共點( 直線在平面外) 說明 同時用圖形語言、符號語言、幾何語言表述這些位置關系.今天我們來探索空間直線和平面相交中的一種特殊位置關系直線和平面垂直二、學習新課問題 1：在日常生活中你見到最多的直線與平面垂直的情形是什么？請舉例說明. 說明 引導學生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關系，大橋的橋柱與水面的位置關系，教室內直立的墻角線和地面的位置關系等 . 問題2： 結合對下列問題的思考，討論能否用一條直線垂直于一個名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 圖 1 A B C BC圖 2 A B 平面內的直線，來定義這條直線和這個平面垂直呢？（1）如圖 1，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關系是什么？隨著太陽的移動，旗桿AB與影子BC所成的角度會發(fā)生改變嗎 ? （2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線BC的位置關系又是什么？依據(jù)是什么？由此得到什么結論？（3）如圖 2，當旗桿AB傾斜時， 還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？定義：一般地，如果一條直線l與平面 上的任何直線都垂直，那么我們就說直線 l與平面 垂直（line l perpendicular to plane ） ， 記作： l.直線l叫做平面 的垂線（perpendicular line） ，平面 叫做直線l的垂面l與面 的交點叫做垂足. 畫法： 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3. 辨析 1：下列命題是否正確？為什么？（ 1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直. （ 2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線. 說明 通過問題辨析，加深概念的理解. 由（ 1）使學生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思. 而（ 2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法. 引導學生給出命題（2）的符號表示：aabbl P 圖 3 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - D C B A 圖 4 問題 3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？如何改進？ 說明 感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學生探索判定定理的需要，體會有限與無限的辨證關系 . 引導學生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，可引導學生觀察直立地面的棋桿與其在地面的影子，還可進行如下實驗. 實驗： 如圖 4，請同學們拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個試驗：過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸） . 問題 4： 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結論？ 說明 通過折紙讓學生發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕娥AD是BC邊上的高，即ADBC時翻折后的折痕AD與桌面垂直 . 引導學生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質特征： AD是BC邊上的高時，無論怎樣翻折，翻折之后垂直關系不變，即ADCD，ADBD，同時CD、BD是兩相交直線不變，這就是說，當AD垂直于桌面內的兩條相交直線CD、BD時，它就垂直于桌面所在的平面. 定理 2：如果直線l與平面上的兩條相交直線a、b都垂直，那么直線l與平面垂直 . 用符號語言表示為：,ababOlla lb辨析 2： （1）下列命題是否正確？為什么？如果一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊形所在的平面 . （2）如圖 5, 若 內兩條相交直線m、n與l無公共點且lm、ln，直線l還垂直平面 嗎？ 說明 通過辨析，讓學生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂mln圖 5 o 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - a b圖 6 直, 取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的. 所謂：“線不在多，相交則靈”. 三、鞏固練習例 1：如圖 , 觀察跨欄、跳高架，你認為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么 ? 說 明 用學習到的知識解釋實際生活中的問題，增強學生運用數(shù)學的意識，深化對直線與平面垂直定理的理解. 例 2：如圖 6，已知ab，a，求證：b. 說明 初步感受如何運用直線與平面垂直的定理與定義解決問題，明確運用線面垂直定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件. 讓學生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面. 命題體現(xiàn)了平行關系與垂直關系的聯(lián)系，其結果給出了直線和平面垂直的又一個判定方法. 例 3： （1）如圖 7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，判斷下列結論是否正確：AC面CDD1C1A A 1面A1B1C1D1AC面BDD1B1 EF面BDD1B1ACBD1（2） 將（ 1）中正方體改成長方體呢，以上結論是否正確？ 說明 利用所學知識解決直線與平面垂直的有關問題，體會轉化思想在解決問題中的作用.其中是定義的應用，是定理的應用，是思考題2 結論的應用，是定理與定義的綜合應用 . 四、應用應用之一 是利用直線與平面垂直的定義、定理進行一些簡單的推理，體會幾何推理證明的思圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 考方法，基本規(guī)則和嚴謹性. 我們繼續(xù)研究圖7 例 4: 如圖 7, 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點，ACBDO，連接11,A D AB DF BF，求證 :1BDAF 說明 要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然. 即：這是立體幾何證明垂直時常用的轉化方法. 除此之外，也要注意有時是從數(shù)量關系通過計算找線線垂直，如勾股定理等，有時會利用平面幾何的性質，如等腰三角形底邊上的三線合一等等.應用之二 是利用直線與平面垂直的定義、定理解決一些度量問題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來探究距離的度量問題. 問題 5：你能舉例說明距離在日常生活中的重要性嗎？ 說明 引導學生舉出生活中常見的需要測量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線離地面需要相當?shù)木嚯x；為了購買家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗探究距離的必要性，距離定義：（1）點M和平面的距離：過點M作平面的垂線，垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點M和平面的距離 . （2）直線l和平面的距離：設直線l平行于平面在直線l上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做直線l和平面的距離 . （3）設平面平行平面，在平面上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做平面和平面的距離 . （4）異面直線a和b的距離： 設直線a和b是異面直線， 當點M、N分別在a和b上，且直線MN既垂直于直線a，又垂直于直線b時，我們把直線MN叫做異面直線a和b公垂線，垂足M、N之間的距離叫做異面直線a和b的距離 . 說明 立體幾何中，求距離的關鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，體現(xiàn)了“降維”的思想 . 我們繼續(xù)研究圖7 直線與直線垂直直線與平面垂直名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 例 5：如圖 7, 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，1,AA AB和AD的長分別為3,4cmcm和5cm. （1）求點A和點1C的距離；（2）求點A到棱11BC的距離；（3）求棱AB和平面1111DABC的距離；（4）求異面直線AD和11AB的距離 . 說明 求距離的基本步驟是作、證、算，此外還要特別注意融合在運算中的推理過程，推理是運算的基礎，運算只是推理過程的延續(xù). 因此求距離的關鍵是直線與平面位置關系的論證. 四、課堂小結（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？（3）你會利用直線與平面垂直的定義和定理找到點、線、面的距離并計算嗎？五、作業(yè)布置1、點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO平面ABCD. 2 、探究題：如圖，直四棱柱ABCD-ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時， ACBD？3、課本 P14 練習4AB是 O的直徑， C為圓上一點， AB2，AC1， P為 O所在平面外一點，且PA O， PB 與平面所成角為45 （ 1）證明： BC 平面 PAC ；（ 2）求點 A到平面 PBC的距離 說明 通過訓練，鞏固本課所學知識，檢測運用所學知識解決問題的能力. 其中第 1 題主要運用直線與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線與平面垂直的定義與判定定理. 第 3、4題是利用直線與平面垂直的定義與判定定理找到點、線、面的距離并計算. 六、教學設計說明題 3 A D C B ABCD圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎，是空間中垂直位置關系間轉化的重心，同時它又是點、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內容的基礎，因而它是空間點、直線、平面間位置關系中的核心概念之一. 在探索空間直線與平面垂直的定義及判定定理時，注意從具體實例出發(fā)，通過觀察、思考與討論，讓學生感悟“一條直線與一個平面內的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質內涵. 引導學生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，通過折紙活動進行討論，再通過辨析，讓學生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直, 取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點是無關緊要的. 所謂：“線不在多，相交則靈”. 在這個過程中，用問題驅動課堂教學，引導學生自主探索、歸納、總結出相關概念，充分發(fā)揮學生主體作用，在應用定義和定理證明空間直線與平面垂直的過程中，注意引導學生把在直線和平面關系轉化為直線和直線的關系，滲透轉化思想的應用. 這種轉化思想同樣要滲透在求直線和平面、平面和平面之間的距離中，它們都可轉化成求點和平面的距離. 空間直線與平面垂直的問題是立體幾何中一個基本的問題，在后面的多面體學習中會繼續(xù)涉及，因此，教學中要注意把握好“度”. 所選例題和習題都不宜太難. 同時，應注重思維過程的嚴謹性，無論是判斷、證明，都要緊扣定義和定理. 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - 名師歸納總結 精品學習資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學習資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -