0，即證（a－c）（2a＋c）>0，
即證（a－c）（a－b）>0.
7.若＝＝，則△ABC是（ ?。?
A.等邊三角形
B.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形
解析：選C.因?yàn)椋剑剑?/p>
5、由正弦定理得，
＝＝，
所以＝＝＝.
所以sin B＝cos B，sin C＝cos C，
所以∠B＝∠C＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形.
8.已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，則f（a）＋f（b）＋f（c）的值一定（ ?。?
A.大于0 B.等于0
C.小于0 D.正負(fù)都可能
解析：選A.f（x）為奇函數(shù)，也是增函數(shù)，因此由a＋b＞0可得a＞－b，所以f（a）＞f（－b），即f（a）＞－f（b），于是f（a）＋f（b）＞0，同理，f（a）＋f（c）＞0，f（b）＋f（c）＞0，所以f（a）＋f（b）＋f（c）＞0.
6、
9.我們把平面中的結(jié)論“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓”拓展至空間中為“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是球”，類似可得：已知A（－1，0，0），B（1，0，0），則點(diǎn)集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是（ ?。?
A.以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面
B.以A，B為焦點(diǎn)的橢球體
C.以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面
D.以上都不對(duì)
解析：選C.在平面中，點(diǎn)集{P（x，y）||PA|－|PB|＝1}是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，點(diǎn)集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線單
7、支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，故選C.
10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”是高，“冪”是截面積.意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，區(qū)域①是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，區(qū)域②是一個(gè)上底長(zhǎng)為1、下底長(zhǎng)為2的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t取[0，3]上的任意值時(shí)，直線y＝t被區(qū)域①和區(qū)域②所截得的兩線段長(zhǎng)總相等，則區(qū)域①的面積為（ ?。?
A.4 B.
C.5 D.
解析：選B.根據(jù)題意，由祖暅原理分析可得①的面積等于②的面積，又②是一個(gè)上底長(zhǎng)為1
8、、下底長(zhǎng)為2的梯形，所以①的面積為＝.
11.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（ ?。?
A.（7，5） B.（5，7）
C.（2，10） D.（10，2）
解析：選B.依題意，把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和均為n＋1，且第n組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”，這樣的前n組一共有個(gè)“整數(shù)對(duì)”，注意到<60<，因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組（每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組）的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”
9、的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是（5，7）.
12.如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ?。?
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形
D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形
解析：選D.因?yàn)槿切蝺?nèi)角的正弦值是正值，所以△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形.
假設(shè)△A2
10、B2C2也是銳角三角形，并設(shè)cos A1＝sin A2，則cos A1＝cos （90°－∠A2），
所以∠A1＝90°－∠A2.
同理設(shè)cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，
則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
所以（90°－∠A2）＋（90°－∠B2）＋（90°－∠C2）＝180°，
即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，
所以原假設(shè)不成立.若△A2B2C2是直角三角形，不妨設(shè)A2＝，則sin A2＝1＝cos A1，而A1在（0，π）內(nèi)無(wú)解.故選D.
二、填空題：本
11、題共4小題，每小題5分.
13.補(bǔ)充下列證明過(guò)程： 要證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（a，b，c∈R），即證 ，即證 ?。?
因?yàn)閍，b，c為實(shí)數(shù)，上式顯然成立，故命題結(jié)論成立.
答案：2（a2＋b2＋c2）≥2ab＋2bc＋2ac
（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2≥0
14.已知a＝，函數(shù)f（x）＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關(guān)系為 Ｗ.
解析：因?yàn)楫?dāng)0f（n）得m
12、卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 Ｗ.
解析：為方便說(shuō)明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C.從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無(wú)論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時(shí)丙所拿的卡片為A.
答案：1和3
16.如圖所示
13、的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為（n≥2），每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，則第7行第4個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為 ?。?
…
解析：由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個(gè)數(shù)為，由“每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個(gè)數(shù)為－＝.同理易知，第7行第3個(gè)數(shù)為－＝，第7行第4個(gè)數(shù)為－＝.
答案：
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）定義在[－1，1]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)a，b∈[－1，1]
14、，a＋b≠0時(shí)，有＞0.證明：函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.
證明：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.
設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，x1＜x2，且x1，x2∈[－1，1]，則f（x1）＝f（x2）.
又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝[x1＋（－x2）].
又由題意，得＞0，且x1＋（－x2）＜0，
所以f（x1）＋f（－x2）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，
這與f（x1）＝f（x2）矛盾，故假設(shè)不成立，
即函數(shù)f（x）的圖
15、象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.
18.（本小題滿分12分）已知：A，B都是銳角，且A＋B≠90°，（1＋tan A）（1＋tan B）＝2.求證：A＋B＝45°.
證明：因?yàn)椋?＋tan A）（1＋tan B）＝2，
展開化簡(jiǎn)為tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
因?yàn)锳＋B≠90°，tan（A＋B）＝＝1.
又因?yàn)锳，B都是銳角，
所以0°＜A＋B＜180°.所以A＋B＝45°.
19.（本小題滿分12分）已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求證：c－＜a＜c＋.
證明：要證c－＜a＜c＋.
只需證－＜a－c＜，
即證|a－c|＜，
16、
只需證（a－c）2＜（）2，
只需證a2－2ac＋c2＜c2－ab，
即證2ac＞a2＋ab，因?yàn)閍＞0，所以只需證2c＞a＋b.
因?yàn)?c＞a＋b已知，
所以原不等式成立.
20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).
求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直線A1F∥平面ADE.
證明：（1）因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因?yàn)锳D?平面ABC，所以CC1⊥AD.
因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平
17、面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
因?yàn)锳D?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
（2）因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，
所以A1F⊥B1C1，
因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
因?yàn)锳D?平面ADE，A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋，x∈[0，1]
18、.證明：（1）f（x）≥1－x＋x2；
（2），
所以f（x）>.
綜上，
2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2
