《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明練習 新人教A版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明練習 新人教A版選修2-2(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章 推理與證明(時間:120分鐘,滿分:150分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.證明:1n1(n1),當n2時,中間式子等于()A.1B.1C.1 D.1解析:選D.n2時中間式子的最后一項為,所以中間式子為1.2.用反證法證明命題:“若函數(shù)f(x)x2pxq,那么|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于”時,反設(shè)正確的是()A.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于B.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于C.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有兩個小于D.假設(shè)|f
2、(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一個小于解析:選B.“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于”的反設(shè)為“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.3.設(shè)x0,則不等式x2,x3,x4,推廣到xn1,則a()A.2n B.2nC.n2 D.nn解析:選D.結(jié)合已知的三個不等式可以發(fā)現(xiàn)第二個加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方,可得ann.4.下面是一段“三段論”推理過程:若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)0恒成立.因為f(x)x3在(1,1)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,所以在(1,1)內(nèi),f(x)3x20恒成立.以上推理中()A.大前
3、提錯誤 B.小前提錯誤C.結(jié)論正確 D.推理形式錯誤解析:選A.f(x)在(a,b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)0恒成立,故大前提錯誤,故選A.5.用數(shù)學歸納法證明:1時,由nk到nk1左邊需要添加的項是()A. B.C. D.解析:選D.由nk到nk1時,左邊需要添加的項是.故選D.6.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)abc,且abc0,求證 0 B.ac0 D.(ab)(ac)0解析:選C.要證明 a,只需證b2ac3a2,只需證(ac)2ac3a2,只需證2a2acc20,即證(ac)(2ac)0,即證(ac)(ab)0.7.若,則ABC是()A.等邊三角形B.
4、有一個內(nèi)角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個內(nèi)角是30的等腰三角形解析:選C.因為,由正弦定理得,所以.所以sin Bcos B,sin Ccos C,所以BC45,所以ABC是等腰直角三角形.8.已知f(x)x3x,a,b,cR,且ab0,ac0,bc0,則f(a)f(b)f(c)的值一定()A.大于0 B.等于0C.小于0 D.正負都可能解析:選A.f(x)為奇函數(shù),也是增函數(shù),因此由ab0可得ab,所以f(a)f(b),即f(a)f(b),于是f(a)f(b)0,同理,f(a)f(c)0,f(b)f(c)0,所以f(a)f(b)f(c)0.9.我們把平面中的結(jié)論“到定點的距離
5、等于定長的點的軌跡是圓”拓展至空間中為“到定點的距離等于定長的點的軌跡是球”,類似可得:已知A(1,0,0),B(1,0,0),則點集P(x,y,z)|PA|PB|1在空間中的軌跡描述正確的是()A.以A,B為焦點的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面B.以A,B為焦點的橢球體C.以A,B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面D.以上都不對解析:選C.在平面中,點集P(x,y)|PA|PB|1是以A,B為焦點的雙曲線的一支,點集P(x,y,z)|PA|PB|1在空間中的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面,故選C.10.我國古代數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理(祖暅原理):“冪勢既同,
6、則積不容異”.“勢”是高,“冪”是截面積.意思是:如果兩個等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖暅原理,如圖所示,在平面直角坐標系中,區(qū)域是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形,區(qū)域是一個上底長為1、下底長為2的梯形,且當實數(shù)t取0,3上的任意值時,直線yt被區(qū)域和區(qū)域所截得的兩線段長總相等,則區(qū)域的面積為()A.4 B.C.5 D.解析:選B.根據(jù)題意,由祖暅原理分析可得的面積等于的面積,又是一個上底長為1、下底長為2的梯形,所以的面積為.11.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4)
7、,(2,3),(3,2),(4,1),則第60個“整數(shù)對”是()A.(7,5) B.(5,7)C.(2,10) D.(10,2)解析:選B.依題意,把“整數(shù)對”的和相同的分為一組,不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n1,且第n組共有n個“整數(shù)對”,這樣的前n組一共有個“整數(shù)對”,注意到60f(n),則m,n的大小關(guān)系為.解析:因為當0af(n)得mn.答案:mn15.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則
8、甲的卡片上的數(shù)字是.解析:為方便說明,不妨將分別寫有1和2,1和3,2和3的卡片記為A,B,C.從丙出發(fā),由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙只可能是卡片A或B,無論是哪一張,均含有數(shù)字1,再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C,最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2,知甲所拿的卡片為B,此時丙所拿的卡片為A.答案:1和316.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n2),每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如,則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為.解析:由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知,第7行第1個數(shù)為,由“
9、每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個數(shù)為.同理易知,第7行第3個數(shù)為,第7行第4個數(shù)為.答案:三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分)定義在1,1上的奇函數(shù)f(x),當a,b1,1,ab0時,有0.證明:函數(shù)f(x)的圖象上不存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直.證明:假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,則A,B兩點的縱坐標相同.設(shè)它們的橫坐標分別為x1和x2,x1x2,且x1,x21,1,則f(x1)f(x2).又f(x)是奇函數(shù),所以f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)x1(x2).
10、又由題意,得0,且x1(x2)0,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)0,這與f(x1)f(x2)矛盾,故假設(shè)不成立,即函數(shù)f(x)的圖象上不存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直.18.(本小題滿分12分)已知:A,B都是銳角,且AB90,(1tan A)(1tan B)2.求證:AB45.證明:因為(1tan A)(1tan B)2,展開化簡為tan Atan B1tan Atan B.因為AB90,tan(AB)1.又因為A,B都是銳角,所以0AB180.所以AB45.19.(本小題滿分12分)已知a0,b0,2cab,求證:cac.證明:要證cac.只需證ac,
11、即證|ac|,只需證(ac)2()2,只需證a22acc2c2ab,即證2aca2ab,因為a0,所以只需證2cab.因為2cab已知,所以原不等式成立.20.(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且ADDE,F(xiàn)為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直線A1F平面ADE.證明:(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因為AD平面ABC,所以CC1AD.因為ADDE,CC1,DE平面BCC1B1,CC1DEE,所以AD平面BCC1B1.因為AD平面ADE,所以
12、平面ADE平面BCC1B1.(2)因為A1B1A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點,所以A1FB1C1,因為CC1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1A1F.因為CC1,B1C1平面BCC1B1,CC1B1C1C1,所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.因為AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x3,x0,1.證明:(1)f(x)1xx2;(2),所以f(x).綜上,f(x).22.(本小題滿分12分)在各項為正的數(shù)列an中,數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn.(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想數(shù)列an的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.解:(1)易求得a11,a21,a3.(2)猜想an(nN*)證明:當n1時,a11,命題成立.假設(shè)nk(k1,kN*)時,ak成立,則nk1時,ak1Sk1Sk,所以,a2ak110,所以ak1.即nk1時,命題成立.由知,nN*時,an.9