2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明練習 新人教A版選修2-2

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1、第二章 推理與證明（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.證明：1n1（n1），當n2時，中間式子等于（）A.1B.1C.1 D.1解析：選D.n2時中間式子的最后一項為，所以中間式子為1.2.用反證法證明命題：“若函數(shù)f（x）x2pxq，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于”時，反設(shè)正確的是（）A.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于B.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于C.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有兩個小于D.假設(shè)|f

2、（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一個小于解析：選B.“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于”的反設(shè)為“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于”.3.設(shè)x0，則不等式x2，x3，x4，推廣到xn1，則a（）A.2n B.2nC.n2 D.nn解析：選D.結(jié)合已知的三個不等式可以發(fā)現(xiàn)第二個加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方，可得ann.4.下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在（a，b）內(nèi)，f（x）0恒成立.因為f（x）x3在（1，1）內(nèi)可導且單調(diào)遞增，所以在（1，1）內(nèi)，f（x）3x20恒成立.以上推理中（）A.大前

3、提錯誤 B.小前提錯誤C.結(jié)論正確 D.推理形式錯誤解析：選A.f（x）在（a，b）內(nèi)可導且單調(diào)遞增，則在（a，b）內(nèi)，f（x）0恒成立，故大前提錯誤，故選A.5.用數(shù)學歸納法證明：1時，由nk到nk1左邊需要添加的項是（）A. B.C. D.解析：選D.由nk到nk1時，左邊需要添加的項是.故選D.6.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證 0 B.ac0 D.（ab）（ac）0解析：選C.要證明 a，只需證b2ac3a2，只需證（ac）2ac3a2，只需證2a2acc20，即證（ac）（2ac）0，即證（ac）（ab）0.7.若，則ABC是（）A.等邊三角形B.

4、有一個內(nèi)角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個內(nèi)角是30的等腰三角形解析：選C.因為，由正弦定理得，所以.所以sin Bcos B，sin Ccos C，所以BC45，所以ABC是等腰直角三角形.8.已知f（x）x3x，a，b，cR，且ab0，ac0，bc0，則f（a）f（b）f（c）的值一定（）A.大于0 B.等于0C.小于0 D.正負都可能解析：選A.f（x）為奇函數(shù)，也是增函數(shù)，因此由ab0可得ab，所以f（a）f（b），即f（a）f（b），于是f（a）f（b）0，同理，f（a）f（c）0，f（b）f（c）0，所以f（a）f（b）f（c）0.9.我們把平面中的結(jié)論“到定點的距離

5、等于定長的點的軌跡是圓”拓展至空間中為“到定點的距離等于定長的點的軌跡是球”，類似可得：已知A（1，0，0），B（1，0，0），則點集P（x，y，z）|PA|PB|1在空間中的軌跡描述正確的是（）A.以A，B為焦點的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面B.以A，B為焦點的橢球體C.以A，B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面D.以上都不對解析：選C.在平面中，點集P（x，y）|PA|PB|1是以A，B為焦點的雙曲線的一支，點集P（x，y，z）|PA|PB|1在空間中的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，故選C.10.我國古代數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，

6、則積不容異”.“勢”是高，“冪”是截面積.意思是：如果兩個等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標系中，區(qū)域是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，區(qū)域是一個上底長為1、下底長為2的梯形，且當實數(shù)t取0，3上的任意值時，直線yt被區(qū)域和區(qū)域所截得的兩線段長總相等，則區(qū)域的面積為（）A.4 B.C.5 D.解析：選B.根據(jù)題意，由祖暅原理分析可得的面積等于的面積，又是一個上底長為1、下底長為2的梯形，所以的面積為.11.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4）

7、，（2，3），（3，2），（4，1），則第60個“整數(shù)對”是（）A.（7，5） B.（5，7）C.（2，10） D.（10，2）解析：選B.依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有個“整數(shù)對”，注意到60f（n），則m，n的大小關(guān)系為.解析：因為當0af（n）得mn.答案：mn15.有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則

8、甲的卡片上的數(shù)字是.解析：為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C.從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時丙所拿的卡片為A.答案：1和316.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為（n2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，則第7行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為.解析：由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個數(shù)為，由“

9、每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個數(shù)為.同理易知，第7行第3個數(shù)為，第7行第4個數(shù)為.答案：三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）定義在1，1上的奇函數(shù)f（x），當a，b1，1，ab0時，有0.證明：函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.證明：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A，B兩點的縱坐標相同.設(shè)它們的橫坐標分別為x1和x2，x1x2，且x1，x21，1，則f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）x1（x2）.

10、又由題意，得0，且x1（x2）0，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）0，這與f（x1）f（x2）矛盾，故假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.18.（本小題滿分12分）已知：A，B都是銳角，且AB90，（1tan A）（1tan B）2.求證：AB45.證明：因為（1tan A）（1tan B）2，展開化簡為tan Atan B1tan Atan B.因為AB90，tan（AB）1.又因為A，B都是銳角，所以0AB180.所以AB45.19.（本小題滿分12分）已知a0，b0，2cab，求證：cac.證明：要證cac.只需證ac，

11、即證|ac|，只需證（ac）2（）2，只需證a22acc2c2ab，即證2aca2ab，因為a0，所以只需證2cab.因為2cab已知，所以原不等式成立.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點.求證：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直線A1F平面ADE.證明：（1）因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AD平面ABC，所以CC1AD.因為ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因為AD平面ADE，所以

12、平面ADE平面BCC1B1.（2）因為A1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1FB1C1，因為CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.因為AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）x3，x0，1.證明：（1）f（x）1xx2；（2），所以f（x）.綜上，f（x）.22.（本小題滿分12分）在各項為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn.（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想數(shù)列an的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.解：（1）易求得a11，a21，a3.（2）猜想an（nN*）證明：當n1時，a11，命題成立.假設(shè)nk（k1，kN*）時，ak成立，則nk1時，ak1Sk1Sk，所以，a2ak110，所以ak1.即nk1時，命題成立.由知，nN*時，an.9