2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2

第二章 推理與證明（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.證明：1n1（n1），當(dāng)n2時(shí)，中間式子等于（）A.1B.1C.1 D.1解析：選D.n2時(shí)中間式子的最后一項(xiàng)為，所以中間式子為1.2.用反證法證明命題：“若函數(shù)f（x）x2pxq，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，反設(shè)正確的是（）A.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于B.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于C.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有兩個(gè)小于D.假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一個(gè)小于解析：選B.“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個(gè)不小于”的反設(shè)為“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于”.3.設(shè)x0，則不等式x2，x3，x4，推廣到xn1，則a（）A.2n B.2nC.n2 D.nn解析：選D.結(jié)合已知的三個(gè)不等式可以發(fā)現(xiàn)第二個(gè)加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方，可得ann.4.下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在（a，b）內(nèi)，f（x）>0恒成立.因?yàn)閒（x）x3在（1，1）內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在（1，1）內(nèi)，f（x）3x2>0恒成立.以上推理中（）A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.結(jié)論正確 D.推理形式錯(cuò)誤解析：選A.f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在（a，b）內(nèi)，f（x）0恒成立，故大前提錯(cuò)誤，故選A.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1時(shí)，由nk到nk1左邊需要添加的項(xiàng)是（）A. B.C. D.解析：選D.由nk到nk1時(shí)，左邊需要添加的項(xiàng)是.故選D.6.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證 <a”索的因應(yīng)是（）A.ab>0 B.ac<0C.（ab）（ac）>0 D.（ab）（ac）<0解析：選C.要證明 <a，只需證b2ac<3a2，只需證（ac）2ac<3a2，只需證2a2acc2<0，即證2a2acc2>0，即證（ac）（2ac）>0，即證（ac）（ab）>0.7.若，則ABC是（）A.等邊三角形B.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形解析：選C.因?yàn)?，由正弦定理得，所?所以sin Bcos B，sin Ccos C，所以BC45°，所以ABC是等腰直角三角形.8.已知f（x）x3x，a，b，cR，且ab0，ac0，bc0，則f（a）f（b）f（c）的值一定（）A.大于0 B.等于0C.小于0 D.正負(fù)都可能解析：選A.f（x）為奇函數(shù)，也是增函數(shù)，因此由ab0可得ab，所以f（a）f（b），即f（a）f（b），于是f（a）f（b）0，同理，f（a）f（c）0，f（b）f（c）0，所以f（a）f（b）f（c）0.9.我們把平面中的結(jié)論“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓”拓展至空間中為“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是球”，類似可得：已知A（1，0，0），B（1，0，0），則點(diǎn)集P（x，y，z）|PA|PB|1在空間中的軌跡描述正確的是（）A.以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面B.以A，B為焦點(diǎn)的橢球體C.以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面D.以上都不對解析：選C.在平面中，點(diǎn)集P（x，y）|PA|PB|1是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，點(diǎn)集P（x，y，z）|PA|PB|1在空間中的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，故選C.10.我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”是高，“冪”是截面積.意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，區(qū)域是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，區(qū)域是一個(gè)上底長為1、下底長為2的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t取0，3上的任意值時(shí)，直線yt被區(qū)域和區(qū)域所截得的兩線段長總相等，則區(qū)域的面積為（）A.4 B.C.5 D.解析：選B.根據(jù)題意，由祖暅原理分析可得的面積等于的面積，又是一個(gè)上底長為1、下底長為2的梯形，所以的面積為.11.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），則第60個(gè)“整數(shù)對”是（）A.（7，5） B.（5，7）C.（2，10） D.（10，2）解析：選B.依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個(gè)“整數(shù)對”的和均為n1，且第n組共有n個(gè)“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有個(gè)“整數(shù)對”，注意到<60<，因此第60個(gè)“整數(shù)對”處于第11組（每個(gè)“整數(shù)對”的和為12的組）的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），因此第60個(gè)“整數(shù)對”是（5，7）.12.如果A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（）A.A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形C.A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形D.A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形解析：選D.因?yàn)槿切蝺?nèi)角的正弦值是正值，所以A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0.因此A1B1C1是銳角三角形.假設(shè)A2B2C2也是銳角三角形，并設(shè)cos A1sin A2，則cos A1cos （90°A2），所以A190°A2.同理設(shè)cos B1sin B2，cos C1sin C2，則有B190°B2，C190°C2.又A1B1C1180°，所以（90°A2）（90°B2）（90°C2）180°，即A2B2C290°.這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，所以原假設(shè)不成立.若A2B2C2是直角三角形，不妨設(shè)A2，則sin A21cos A1，而A1在（0，）內(nèi)無解.故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.補(bǔ)充下列證明過程： 要證a2b2c2abbcac（a，b，cR），即證，即證.因?yàn)閍，b，c為實(shí)數(shù)，上式顯然成立，故命題結(jié)論成立.答案：2（a2b2c2）2ab2bc2ac（ab）2（bc）2（ac）2014.已知a，函數(shù)f（x）ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關(guān)系為.解析：因?yàn)楫?dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f（x）ax為減函數(shù)，a（0，1），所以函數(shù)f（x）（）x為減函數(shù).故由f（m）>f（n）得m<n.答案：m<n15.有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是.解析：為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C.從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時(shí)丙所拿的卡片為A.答案：1和316.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為（n2），每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，則第7行第4個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為.解析：由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個(gè)數(shù)為，由“每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個(gè)數(shù)為.同理易知，第7行第3個(gè)數(shù)為，第7行第4個(gè)數(shù)為.答案：三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）定義在1，1上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)a，b1，1，ab0時(shí)，有0.證明：函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.證明：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，x1x2，且x1，x21，1，則f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）x1（x2）.又由題意，得0，且x1（x2）0，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）0，這與f（x1）f（x2）矛盾，故假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使直線AB恰好與y軸垂直.18.（本小題滿分12分）已知：A，B都是銳角，且AB90°，（1tan A）（1tan B）2.求證：AB45°.證明：因?yàn)椋?tan A）（1tan B）2，展開化簡為tan Atan B1tan Atan B.因?yàn)锳B90°，tan（AB）1.又因?yàn)锳，B都是銳角，所以0°AB180°.所以AB45°.19.（本小題滿分12分）已知a0，b0，2cab，求證：cac.證明：要證cac.只需證ac，即證|ac|，只需證（ac）2（）2，只需證a22acc2c2ab，即證2aca2ab，因?yàn)閍0，所以只需證2cab.因?yàn)?cab已知，所以原不等式成立.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直線A1F平面ADE.證明：（1）因?yàn)锳BC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳D平面ABC，所以CC1AD.因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因?yàn)锳D平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.（2）因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1，因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.因?yàn)锳D平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（x）x3，x0，1.證明：（1）f（x）1xx2；（2）<f（x）.證明：（1）因?yàn)?xx2x3，由于x0，1，有，即1xx2x3，所以f（x）1xx2.（2）由0x1得x3x，故f（x）x3xx，所以f（x）.由第一問得f（x）1xx2，又因?yàn)閒（）>，所以f（x）>.綜上，<f（x）.22.（本小題滿分12分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn.（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解：（1）易求得a11，a21，a3.（2）猜想an（nN*）證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，命題成立.假設(shè)nk（k1，kN*）時(shí)，ak成立，則nk1時(shí)，ak1Sk1Sk，所以，a2ak110，所以ak1.即nk1時(shí)，命題成立.由知，nN*時(shí)，an.9