固體物理-吳代鳴課后答案[高教課堂]

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1、1-1試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=1.633 633. 16 3 2 3 6 3 2 3 1 2 OF ; 3 3 2 3 3 2 AF 2 OF;OA 12 22 a c aaaa c aa c a令令 ；證：配位數(shù)證：配位數(shù) F O A 1教育教學(xué) 的面間距。的面間距。 互相垂直，試求晶面族互相垂直，試求晶面族若晶胞基矢若晶胞基矢 hkl cba ,21 k cV bab j bV acb i aV cbb cbaVkccj bbi aa 22 ; 22 ; 22 ; 3 2 1 則：則： 且且解：令解：令 2教育教學(xué) k c l j b k i a h b lbk

2、bhG 2 321 那么，那么， 222 12 c l b k a h G d 3教育教學(xué) 1 13 3若在體心立方晶胞的每個(gè)面中心處加上若在體心立方晶胞的每個(gè)面中心處加上 一個(gè)同類原子，試說明這種結(jié)構(gòu)的基元應(yīng)一個(gè)同類原子，試說明這種結(jié)構(gòu)的基元應(yīng) 如何選取？其布拉菲晶格是什么格子？如何選?。科洳祭凭Ц袷鞘裁锤褡?？ 解：將整個(gè)晶體看成是解：將整個(gè)晶體看成是5 5個(gè)簡(jiǎn)單立方格子套構(gòu)個(gè)簡(jiǎn)單立方格子套構(gòu) 而成。而成。 布拉菲格子：簡(jiǎn)單立方；布拉菲格子：簡(jiǎn)單立方； 基元：頂點(diǎn)原子、體心、三個(gè)相鄰面心基元：頂點(diǎn)原子、體心、三個(gè)相鄰面心 4教育教學(xué) 1 14 4試求面心立方結(jié)構(gòu)的試求面心立方結(jié)構(gòu)的(111

3、)(111)和和(110)(110)面的原子面密度。面的原子面密度。 解解：(111)(111)面：頂點(diǎn)面：頂點(diǎn)3 3個(gè)原子，每個(gè)個(gè)原子，每個(gè)1/61/6； 邊上邊上3 3個(gè)原子，每個(gè)個(gè)原子，每個(gè)1/21/2； 2 111 2 3 2 2 3 2 2 1 aaaS 2 2 111 3 4 2 3 2 1 3 6 1 3 a a 面密度面密度 5教育教學(xué) 同理，同理，(110)面：頂點(diǎn)面：頂點(diǎn)4個(gè)原子，每個(gè)個(gè)原子，每個(gè)1/4; 邊上邊上2個(gè)原子，每個(gè)個(gè)原子，每個(gè)1/2; 2 110 22aaaS 2 2 110 2 2 2 1 2 4 1 4 aa 6教育教學(xué) 頭三個(gè)布里淵區(qū)。頭三個(gè)布里淵區(qū)。

4、試畫出試畫出為為設(shè)二維矩形格子的基矢設(shè)二維矩形格子的基矢,2,51 21 j aai aa j a bi a b , 2 21 解：倒格子基矢：解：倒格子基矢： 7教育教學(xué) 8教育教學(xué) 矢為矢為六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基61 ; ; 2 3 2 ; 2 3 2 3 2 1 kca j ai a a j ai a a 第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)。試求倒格子基矢并畫出試求倒格子基矢并畫出 9教育教學(xué) ; 2 )( 2 ; 3 22 )( 2 ; 3 22 )( 2 213 132 321 k c aab j a i a aab j a i a aab ; 2 3 )( 2 321 c

5、aaaa 解：解： 第一布里淵區(qū)為六棱柱第一布里淵區(qū)為六棱柱 10教育教學(xué) 消失的條件。消失的條件。 射線衍射射線衍射，并討論，并討論試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子X71 個(gè)原子的坐標(biāo)為：個(gè)原子的坐標(biāo)為：面心三個(gè)、體心四個(gè)；面心三個(gè)、體心四個(gè)； 個(gè)：頂點(diǎn)一個(gè)、個(gè)：頂點(diǎn)一個(gè)、立的原子共有立的原子共有解：考慮一個(gè)晶胞，獨(dú)解：考慮一個(gè)晶胞，獨(dú) 8 8 ; 22 0 ; 2 0 2 ;0 22 ;000 4 3 2 1 aa r aa r aa r r ;331 4 ;313 4 ;133 4 ;111 4 8 7 6 5 a r a r a r a r 11教育教學(xué) 821 321 8 1

6、 i . )( 2 e)( fff knjnin a GfGS j rG j j 簡(jiǎn)單立方的倒格矢；簡(jiǎn)單立方的倒格矢； ；其中，；其中，則則 e eee eee1 )( )33( 2 i )33( 2 i)33( 2 i)( 2 i )( i)( i)( i 321 321321321 323121 nnn nnnnnnnnn nnnnnn fGS 12教育教學(xué) e1 eee1 )( 2 i )( i)( i)( i 321 323121 nnn nnnnnn f 奇奇中有二奇一偶或二偶一中有二奇一偶或二偶一 為整數(shù)；為整數(shù)； 消光條件為：消光條件為： 321 321 , ),12(2 nnn

7、 NNnnn 13教育教學(xué) . 2ln212晶格的馬德隆常數(shù)證明一維NaCl ，則左右兩側(cè)對(duì)稱分布證明：任選一參考離子i 最近距離）為晶格常數(shù)（正負(fù)離子；這里令aaar jij . ;. 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 為其中，異號(hào)為；同號(hào) 那么，有： j j a 14教育教學(xué) . 432 )1ln( 432 xxx xx利用展開式： . 4 1 3 1 2 1 12ln1 ，得：令x 2ln2 15教育教學(xué) 應(yīng)如何決定。和參數(shù)合能的表達(dá)式，并討論 用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)最近鄰離子間的排斥作 來表示，只考慮若離子間的排斥勢(shì)用 -r/ e22 離子為原點(diǎn)）（以，則離為解：設(shè)最近鄰離子間距i

8、rarr jij ，（最近鄰以外） ），（最近鄰， ij ij ij r ij r e rr r e e ru ij 0 2 0 2 / 4 4 )( 16教育教學(xué) 最近鄰 總相互作用能為： / )( 0 2 e 1 42 r N ij j ar eN U 為最近鄰離子數(shù)其中 ； Z Z r eN U r ) 1.(.e 42 / 0 2 )2.(.e 4 0 / 2 00 2 0 0 r rr Z r e r U ；得：由平衡條件： 17教育教學(xué) ) 3.(.1 42 000 2 rr eN U 得： )( 0c rUE結(jié)合能 )4.(. 9 1 NaCl 0 2 2 0 rr r U Nr

9、 K 等離子晶體：對(duì)于 )5.(.e 1 4 2 18 1 / 23 00 2 0 0 r Z r e r K 18教育教學(xué) )6.(. 1 44 2 18 1 )5()2( 2 00 2 3 00 2 0 r e r e r K 得：代入將 )7.(. 722 4 00 2 0 2 Kre re )8.(.e 4 )2( / 2 00 2 0 r Zr e 得：由 19教育教學(xué) 多大變化？ 距離將產(chǎn)生合能以及離子間的平衡不變，試估計(jì)晶體的結(jié) 一倍，假定排斥勢(shì)晶體中離子的電荷增加如果NaCl32 ) 1.( 42 0 2 n r B r eN U 解：總相互作用能 )2.(.0 42 1 0

10、2 00 2 0 n rr r nB r eN r U )2.(. 4 1 1 2 0 0 n e nB r 得： 20教育教學(xué) )3.(. 4 )2( 1 0 0 2 n r n e B 得：由 )4.( 1 1 8 )() 1 ()3( 00 2 0 nr eN rU 得：代入 1 1 1 0 0 4 )( )2( 4 )( )2( )4()2(2 n n n eU eU er er ee可知：和時(shí)，由變?yōu)楫?dāng)電荷由 21教育教學(xué) 散關(guān)系。散關(guān)系。簡(jiǎn)諧近似下求格波的色簡(jiǎn)諧近似下求格波的色所有原子都有作用，在所有原子都有作用，在 若考慮每一原子與其余若考慮每一原子與其余在一維單原子晶格中，在一

11、維單原子晶格中，13 ji ijij ji ijij uUuxU 2 0 0 4 1 )( 2 1 解：在簡(jiǎn)諧近似下：解：在簡(jiǎn)諧近似下： )( 4 1 d d 2 2 2 ji ijij nn n u uu U t u m n 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：第第 22教育教學(xué) )( 4 1 )( 2 )( 2 nj njnj ni inin n uu u 右邊右邊 )()( 4 1 )( 2 )( 2 nj njnj ni inin n uuuu u ) )()( 2 1 )()( nj njnj ni inin uuuu )( )( ni niin uu p npnpnp uuu)2(

12、 23教育教學(xué) p n aqpntaqpnt p naqt naqt n uAAAm Au )2ee(e e )( i)( i)( i2 )( i 代入上式得：代入上式得：設(shè)設(shè) p p paq m )cos1 ( 2 2 整理，得：整理，得： 24教育教學(xué) 。，試求格波的色散關(guān)系，試求格波的色散關(guān)系和和等于等于原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地 最近鄰最近鄰兩種原子的質(zhì)量相等，兩種原子的質(zhì)量相等，設(shè)有一維雙原子晶格，設(shè)有一維雙原子晶格， 21 23 nnn nnnn n u uu t u m )( )()( d d 21211 211 2 2 解：解： nnn nnnn n uu uu

13、t m )( )()( d d 21112 112 2 2 25教育教學(xué) )( i)( i e;e tnaq n tnaq n BAu 試探解：試探解： BAABm ABBAm aq aq )(e )(e 212 i 1 2 212 i 1 2 代入方程，得：代入方程，得： 0 )(e )e()( 21 2i 12 2 i 1 2 21 m m aq aq m aqcos2 21 2 2 2 1212 經(jīng)計(jì)算，得：經(jīng)計(jì)算，得： 26教育教學(xué) 格波色散關(guān)系為格波色散關(guān)系為已知一維單原子晶格的已知一維單原子晶格的33 )cos1 ( 2 )( 2 qa M q 的的比比例例關(guān)關(guān)系系。低低溫溫下下晶

14、晶格格熱熱容容與與溫溫度度 ；格格波波的的模模密密度度試試求求： )2( )() 1 (g )(d 2 )(qq l g解：一維時(shí)，模密度解：一維時(shí)，模密度 qaq M a M aq dsin 2 d2 ; 2 1cos 2 由色散關(guān)系，得：由色散關(guān)系，得： 27教育教學(xué) 2/1 4 2 2 2 4 d d MM M a q m q M q M M a q qq l g 0 2/1 4 2 2 2 )( 4 )( )( )(d)(2 2 )( 2/1 4 2 2 2 4 MM M a l 28教育教學(xué) m Tk g TT E C 0B 1)/exp( d)( 晶格熱容：晶格熱容： ）項(xiàng)，（因?yàn)?/p>

15、低溫，項(xiàng)，（因?yàn)榈蜏?，略去略? 4 m Tk M M a l T C 0 1e d B 0 d 1e B Tk T M a l )(似為無窮大似為無窮大主要，所以上限可以近主要，所以上限可以近因?yàn)榈蜏兀l率低的占因?yàn)榈蜏?，頻率低的占 29教育教學(xué) 0 2 22 B d ) 1e ( e x xTkM a l x x 3 2 經(jīng)計(jì)算，上面積分經(jīng)計(jì)算，上面積分 T M a lk C 3 2 B 30教育教學(xué) 模型的合理性。模型的合理性。 論德拜論德拜題的結(jié)果進(jìn)行比較，討題的結(jié)果進(jìn)行比較，討與溫度的關(guān)系，并和上與溫度的關(guān)系，并和上 格，求低溫下晶格熱容格，求低溫下晶格熱容將德拜模型用于一維晶將德拜

16、模型用于一維晶43 cq色散關(guān)系：色散關(guān)系：解：對(duì)于德拜模型，有解：對(duì)于德拜模型，有 qcdd )(d 2 )(qq l g 0 )(d 1 q c l c l 31教育教學(xué) 0 1e )(d BT k g T C 0 2 22 B d ) 1e ( e x xTk c l x x 3 2 上面積分上面積分T c kl C 3 2 B 溫溫的的情情況況下下。有有其其合合理理性性，尤尤其其是是低低 成成正正比比，說說明明德德拜拜模模型型與與上上題題結(jié)結(jié)果果比比較較，都都與與 T 32教育教學(xué) 。不因此而獲得物理動(dòng)量不因此而獲得物理動(dòng)量的聲子，試證明晶體并的聲子，試證明晶體并 為為中，只激發(fā)出一個(gè)

17、動(dòng)量中，只激發(fā)出一個(gè)動(dòng)量設(shè)想在一維單原子晶格設(shè)想在一維單原子晶格 )0( 53 qq )(i , 0 , 1 e 1 ll ll N ll n qqna l l ：證明：先證下面的式子證明：先證下面的式子 N n N ll n n ll Na na NN ll ll 2i)( 2 i e 1 e 1 時(shí)，左邊時(shí)，左邊 時(shí)，顯然成立。時(shí)，顯然成立。 33教育教學(xué) 0 e1 )e1 (e1 2i 2i2i N ll N N ll N ll N n nqat n n MuMp ii eei 晶體物理動(dòng)量晶體物理動(dòng)量 0 結(jié)論成立。結(jié)論成立。 34教育教學(xué) 形成的新結(jié)構(gòu)。形成的新結(jié)構(gòu)。 試說明所試說明

18、所，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，原子的位移被“凍結(jié)”原子的位移被“凍結(jié)” ，這時(shí)，這時(shí)振動(dòng)模式的頻率趨于零振動(dòng)模式的頻率趨于零）若在某一溫度下這種）若在某一溫度下這種（ 向；向；某一時(shí)刻原子的位移方某一時(shí)刻原子的位移方）畫出這種振動(dòng)模式在）畫出這種振動(dòng)模式在（ 振動(dòng)模式：振動(dòng)模式：落在布里淵區(qū)邊界上的落在布里淵區(qū)邊界上的 慮波矢慮波矢的一維單原子晶格，考的一維單原子晶格，考設(shè)有晶格常數(shù)為設(shè)有晶格常數(shù)為 2 1 63a )( i e) 1 ( naqt n Au 一維晶格位移一維晶格位移解：解： , a q對(duì)于布里淵區(qū)邊界，有對(duì)于布里淵區(qū)邊界，有 35教育教學(xué) tnnt n AAu i)

19、( i e) 1(e 1 1 n n u u 反，即：反，即：相鄰原子的位移方向相相鄰原子的位移方向相 移在量值上相同，只是移在量值上相同，只是任何時(shí)刻原子運(yùn)動(dòng)的位任何時(shí)刻原子運(yùn)動(dòng)的位 子互相靠近。子互相靠近。，形成的新晶格是兩原，形成的新晶格是兩原為為 此時(shí)的位移此時(shí)的位移時(shí)，振動(dòng)至不能恢復(fù)，時(shí)，振動(dòng)至不能恢復(fù)，當(dāng)當(dāng) A n ) 1( 0)2( 36教育教學(xué) 兩者的數(shù)量級(jí)。兩者的數(shù)量級(jí)。 濃度，并比較濃度，并比較）時(shí)空位和間隙原子的）時(shí)空位和間隙原子的試估計(jì)接近熔點(diǎn)（試估計(jì)接近熔點(diǎn)（ ，為為，間隙原子的形成能約，間隙原子的形成能約銅的空位形成能約為銅的空位形成能約為 K1300 eV4eV2

20、6. 114 Tk u B Nn e 空空 肖脫基缺陷引起，肖脫基缺陷引起，解：對(duì)于空位，主要由解：對(duì)于空位，主要由 5 13001038. 1 106 . 126. 1 1032. 1ee 23 19 B Tk u N n空 空 空位濃度空位濃度 Tk u Tk u NNNn BB 22 2 1 ee)( 間間 克爾缺陷引起：克爾缺陷引起：對(duì)于間隙原子，由夫倫對(duì)于間隙原子，由夫倫 37教育教學(xué) 8 13001038. 12 106 . 14 2 1079. 1ee 23 19 B Tk u N n 間間 間隙原子濃度間隙原子濃度 個(gè)量級(jí)。個(gè)量級(jí)。二者差約二者差約3 38教育教學(xué) 熱容的貢獻(xiàn)。

21、熱容的貢獻(xiàn)。 積的變化以及對(duì)晶體積的變化以及對(duì)晶體個(gè)肖脫基缺陷后晶體體個(gè)肖脫基缺陷后晶體體試求產(chǎn)生試求產(chǎn)生n24 個(gè)，個(gè)，個(gè)增加到個(gè)增加到的格點(diǎn)就由原來的的格點(diǎn)就由原來的到表面上，這樣，晶格到表面上，這樣，晶格 個(gè)原子從晶體內(nèi)移動(dòng)個(gè)原子從晶體內(nèi)移動(dòng)有有個(gè)肖脫基缺陷就意味著個(gè)肖脫基缺陷就意味著解：產(chǎn)生解：產(chǎn)生 nNN nn ，體積為體積為，那么每個(gè)原子所占的，那么每個(gè)原子所占的令原來的晶體體積為令原來的晶體體積為 N V V 0 0 N n Vn N V VV1 0 0 0 后來的體積后來的體積 n N V VV 0 0 體積變化為體積變化為 ，能量變化為能量變化為個(gè)肖脫基缺陷，晶體的個(gè)肖脫基缺

22、陷，晶體的產(chǎn)生產(chǎn)生nun 39教育教學(xué) V V T E C 而而 T n u T nu T E C VV V Tk u Nn B e 而而 Tk u Tk u Tk Nu Tk u N T n BB e ) 1( e 2 B 2 B 2 B 2 2 B 2 B e Tk nu Tk Nu C Tk u V 40教育教學(xué) 響。響。系維度對(duì)物理性質(zhì)的影系維度對(duì)物理性質(zhì)的影的變化曲線，并討論體的變化曲線，并討論體隨隨 ，畫出，畫出自由電子氣的能態(tài)密度自由電子氣的能態(tài)密度導(dǎo)出一維、二維和三維導(dǎo)出一維、二維和三維 EEg Eg )( )(15 m k E 2 22 解：解： E m k 2 2 2 1

23、2 2 2 2 2 2 E mL k L ZE 以下的狀態(tài)數(shù)以下的狀態(tài)數(shù)一維：一維： 2 1 22 E mL 2 1 2 1 2 2 )( E n mN E mL Eg 41教育教學(xué) E mL k L k L Z 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 二維：二維： 22 2 )( n NmmL Eg 2 3 22 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 2 mEVmEL Z三維：三維： 2 1 2 3 22 2 2 )(E mV Eg 42教育教學(xué) 化學(xué)勢(shì)為：化學(xué)勢(shì)為：證明二維自由電子氣的證明二維自由電子氣的25 。為單位面積上的電子數(shù)為單位面積上的電子數(shù)n TkT Tmkn 1eln)(

24、 B 2 / B 0 )(d)()(?？梢郧罂梢郧笞C明：由證明：由TEEgEfN 2 2 d d )( 0 n Nm E Z Eg E n Nm ZE 間的狀態(tài)數(shù)間的狀態(tài)數(shù)二維自由電子氣的二維自由電子氣的 43教育教學(xué) 00 / )( 2 d 1e / d)()( B E nNm EEgEfN TkE Tk xTkE x n TNmkTk E n TNmk B B 1e d 1e d 2 B 0 / )( B 2 B Tk x x Tk x x n TNmkx n TNmk BB 1e ) 1e (d 1e de 2 B 2 B 1eln 1eln B B 2 B 2 B Tk Tk x n

25、TNmk n TNmk 44教育教學(xué) 1eln B B 2 Tk Tmk n 1eln B 2 B Tmk n Tk 45教育教學(xué) 的結(jié)果比較。的結(jié)果比較。表達(dá)式，并與經(jīng)典理論表達(dá)式，并與經(jīng)典理論 的的數(shù)數(shù)理論的結(jié)果導(dǎo)出理論的結(jié)果導(dǎo)出試根據(jù)自由電子氣量子試根據(jù)自由電子氣量子LLorentz35 F B B 2 e 2 E Tk nkC解：根據(jù)量子理論：解：根據(jù)量子理論： m ne 2 2 ee 3 1 3 1 ClCK熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率 m E C F e 2 3 1 T m nk m E E Tk nk 2 B 2 F F B B 2 3 2 2 3 1 46教育教學(xué) m ne T m nk K

26、2 2 B 2 3 T e k 2 B 2 3 2 B 2 3 e k L勞侖茲數(shù)勞侖茲數(shù) 與書上經(jīng)典結(jié)果對(duì)比。與書上經(jīng)典結(jié)果對(duì)比。 47教育教學(xué) 電場(chǎng)中的電導(dǎo)率。電場(chǎng)中的電導(dǎo)率。動(dòng)量，試求金屬在交變動(dòng)量，試求金屬在交變 是電子是電子來表示，來表示，撞阻力用撞阻力用若金屬中傳導(dǎo)電子的碰若金屬中傳導(dǎo)電子的碰p p 45 m eE p eE t m xEE d d 方向）：方向）：沿沿（假定（假定作用下電子的運(yùn)動(dòng)方程作用下電子的運(yùn)動(dòng)方程解：在電場(chǎng)解：在電場(chǎng) eE t m d d ，則：，則：設(shè)：設(shè)： ttt xxEE i 0 i 0 i 0 e,e,e 頻頻率率）（電電子子能能夠夠跟跟上上電電場(chǎng)場(chǎng)

27、的的 48教育教學(xué) E m e 1 i E m e 1 ) 1i ( 22 m ne E ne E j 2 22 1 i1 )( 49教育教學(xué) kaAEkE E x nA naxAxV xVa a x n cose2)( e)( )()( )( 16 0 0 2/1 價(jià)電子的能量為價(jià)電子的能量為，試用緊束縛近似證明，試用緊束縛近似證明能量為能量為 數(shù)為數(shù)為原子的歸一化電子波函原子的歸一化電子波函 為整數(shù)，自由為整數(shù)，自由函數(shù)勢(shì)的強(qiáng)度，函數(shù)勢(shì)的強(qiáng)度，為常量，是為常量，是式中式中 由原子勢(shì)疊加而成，即由原子勢(shì)疊加而成，即，晶體中的單電子勢(shì)，晶體中的單電子勢(shì) 維晶格，晶格常數(shù)為維晶格，晶格常數(shù)為設(shè)有

28、單價(jià)原子組成的一設(shè)有單價(jià)原子組成的一 50教育教學(xué) ),( i 0 )(e)( nn m Rk REkE m 解：由緊束縛近似，解：由緊束縛近似， )()()( :) 1 ( xAnaxAxV n 求 xxxVxd)()()( * )()(ed 2 xAnaxAx n x n x naxAxA)(ed 2 0 2 2 e e n na n an A AA 51教育教學(xué) ）；（；（ 求求 1, 0d)()()( :)2( * nnxnaxxVx xxVn axx d)(ee1 2/12/1 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xanxA n axx d )(ee 0 0 1 e n nna A （忽略高階項(xiàng)）（忽

29、略高階項(xiàng)） a A e 為小量）為小量）子上幾率小，子上幾率小，（原子波函數(shù)在其它原（原子波函數(shù)在其它原 a e a A e 1 同理：同理： ee e2)( 1 i 1 i2 0 kakaa AEkEkaAE a cose2 0 52教育教學(xué) ).( )(e)( 26 ),( i 0 kE sfccbccm REkE s nn m Rk m 的能量的能量 帶帶晶格晶格和和試求試求的求和只限于最近鄰，的求和只限于最近鄰，對(duì)對(duì) 帶能量的一般公式帶能量的一般公式利用緊束縛近似導(dǎo)出的利用緊束縛近似導(dǎo)出的 :bcc1）對(duì)于）對(duì)于解：（解：（ 個(gè)；個(gè)；最近鄰原子數(shù)最近鄰原子數(shù)8 ）坐標(biāo)（ 2 , 2 ,

30、 2 aaa ) 222 ( i) 222 ( i) 222 ( i e.ee)( zyxzyxzyx k a k a k a k a k a k aa k a k a k ss EkE 代入上式，得：代入上式，得： akakakE zyxs 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos8 53教育教學(xué) :fcc)2(對(duì)于對(duì)于 個(gè)。個(gè)。最近鄰原子數(shù)最近鄰原子數(shù)12 )0 , 2 , 2 (), 2 , 0 , 2 (), 2 , 2 , 0( aaaaaa 坐標(biāo)坐標(biāo) 代入，得：代入，得： .ee)( ) 22 ( i) 22 ( i a k a k a k a k ss zyzy EkE a

31、kakakakakakE zyzxyxs 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos4 54教育教學(xué) 度。度。子的有效質(zhì)量及能態(tài)密子的有效質(zhì)量及能態(tài)密試求：能帶極值附近電試求：能帶極值附近電 帶的能量為帶的能量為已知簡(jiǎn)單立方晶格已知簡(jiǎn)單立方晶格 ),coscos(cos2)( 36 akakakEkE s zyxs )0 , 0 , 0(), , , (帶底：帶底：解：帶頂：解：帶頂： aaa aka k E aka k E aka k E z z y y x x cos2 cos2 cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 55教育教學(xué)

32、 對(duì)于帶頂：對(duì)于帶頂： 2 2 2 2 2 * 2 a k E m x xx * xxzzyy mmm 附近，有：附近，有： aaa ) ( 2 1 1) ( 2 1 1) ( 2 1 1(2)( 222222 a ka a ka a kaEkE xyxs 222 2 6 a k a k a kaE zyxs 56教育教學(xué) a kk a kk a kkEE zz yyxxs 6 0 ；令：令： 2 2 0 )()(kaEkEkE 則：則： )(d )( 1 2 1 d )( 2 0 2 2 0 2 kE a kEE a k a kEE k ； 57教育教學(xué) 3 3 d)( 4 )(kkEE V

33、 Eg 0 2 3 d4)( 4 kkkEE V 0 )(d 2 1)( 4)( 4 22 0 3 E kE aa kEE kEE V 0 )(d )( 2 1 4)( 4 2 0 2 3 E kE a kEE a kEE V 2 0 23 2 1 4 4a EE a V 58教育教學(xué) 2/1 0 2/32 )( )( 1 2 )(EE a V Eg 2/1 2/32 )6( )( 1 2 EE a V s 59教育教學(xué) 2 2 * 2 2 2 2 2 * 22a mm a k E m zzyy x xx ； 對(duì)于帶底：對(duì)于帶底： 附近，有：附近，有：000 ) 2 1 1 2 1 1 2 1

34、 1 (2)( 222222 zyxs kakakaEkE 22 6akEs 22 0 akE 60教育教學(xué) 2 0 2 )( a EkE k )(d )(2 1 d 0 2 kE EkEa k kkEE V Eg 3 3 d)( 4 )( 0 2 3 d4)( 4 kkkEE V 0 0 2 2 0 3 )(2 )(d)( 4)( 4 EEkEa kE a EkE kEE V 2/1 0 2/32 )( )( 1 2 EE a V 61教育教學(xué) 2/1 2/32 )6( )( 1 2 )( s EE a V Eg 62教育教學(xué) ?2 1 046 周期的周期的空間中的運(yùn)動(dòng)是否也是空間中的運(yùn)動(dòng)是

35、否也是）電子在）電子在（ 的，并求出周期；的，并求出周期；空間中的運(yùn)動(dòng)是周期性空間中的運(yùn)動(dòng)是周期性）電子在）電子在（ 場(chǎng)，試說明：場(chǎng)，試說明：此時(shí)沿晶格方向加靜電此時(shí)沿晶格方向加靜電 能量為零），能量為零），時(shí)電子處在能帶底（設(shè)時(shí)電子處在能帶底（設(shè)設(shè)有一維晶格，在設(shè)有一維晶格，在 r k t e t k k d d ) 1 (空間的運(yùn)動(dòng)方程為：空間的運(yùn)動(dòng)方程為：電子在電子在解：解： t e tk )( )0)0(tk 周期的。周期的。 為為空間的運(yùn)動(dòng)是以空間的運(yùn)動(dòng)是以么就可以說明在么就可以說明在就達(dá)到相同的狀態(tài)，那就達(dá)到相同的狀態(tài)，那 ，每經(jīng)歷時(shí)間每經(jīng)歷時(shí)間對(duì)應(yīng)相同的狀態(tài)，那么對(duì)應(yīng)相同的狀態(tài)，

36、那么與與只要證明只要證明 Tk TTtktk )()( 63教育教學(xué) GtkTtk tkGkk )()( )( 一定會(huì)達(dá)到一定會(huì)達(dá)到 隨時(shí)間增長(zhǎng)，隨時(shí)間增長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)相同的狀態(tài)，那么對(duì)應(yīng)相同的狀態(tài)，那么與與在晶體中，在晶體中， ，即：即：T e G i a G 2 而而)(i 令 ae T 2 64教育教學(xué) 在真實(shí)空間中，有：在真實(shí)空間中，有：)2( )( 1 )(kEk k t tttr 0 d)()( Tt t tTt ttttttTtrd)(d)(d)()( 00 )( )( d)(d d d )(d)( Ttk tk Tt t Tt t kk e k k t tktt 而而 65教育教學(xué)

37、0)(變化一個(gè)周期積分變化一個(gè)周期積分的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以是是由于由于kkk )()(trTtr 相同。相同。 空間空間周期與在周期與在運(yùn)動(dòng)也是周期性的，其運(yùn)動(dòng)也是周期性的，其即：電子在真實(shí)空間的即：電子在真實(shí)空間的k 66教育教學(xué) 2 1 2 20000 )(4)()( 2 1 )()( 2 1 )( 56 nnn GVGkEkEGkEkEkE 子子的的能能量量近近布布里里淵淵區(qū)區(qū)界界面面時(shí)時(shí)，電電按按近近自自由由電電子子近近似似，靠靠 交。交。與布里淵區(qū)界面垂直相與布里淵區(qū)界面垂直相試證明：電子的等能面試證明：電子的等能面 )(2 22 1 2 22 1)( 22 n Gk m k

38、 mk kE 證：證： 2/1 2 2 00 )(4)()( 2 1 2 1 nn GVGkEkE 2 2 )()( 2 2 00 nn Gkk m GkEkE 67教育教學(xué) 上時(shí)：上時(shí)：端點(diǎn)落在布里淵區(qū)邊界端點(diǎn)落在布里淵區(qū)邊界當(dāng)當(dāng)k )()(02 002 nnn GkEkEGGk ) 2 1 ( )( 2 n Gk mk kE ）的邊界；）的邊界；的方向沿著布里淵區(qū)（的方向沿著布里淵區(qū)（而而 與等能面垂直；與等能面垂直； nn GGk k kE 2 1 )( 區(qū)邊界垂直相交。區(qū)邊界垂直相交。所以，等能面與布里淵所以，等能面與布里淵 68教育教學(xué) 什么變化？什么變化？ 面的形狀發(fā)生面的形狀發(fā)生

39、周期場(chǎng)的微擾，其費(fèi)米周期場(chǎng)的微擾，其費(fèi)米的費(fèi)米面，如果受到弱的費(fèi)米面，如果受到弱 畫出自由電子畫出自由電子約區(qū)圖式和重復(fù)區(qū)圖式約區(qū)圖式和重復(fù)區(qū)圖式個(gè)價(jià)電子，試分別用簡(jiǎn)個(gè)價(jià)電子，試分別用簡(jiǎn) ，若每原子提供，若每原子提供和和胞邊長(zhǎng)為胞邊長(zhǎng)為設(shè)有二維矩形晶格，原設(shè)有二維矩形晶格，原 2 218aa j aai aa 21 2，解：設(shè)解：設(shè) j a bi a b 2 21 ，倒格子基矢倒格子基矢 F ) 1 (k先計(jì)算費(fèi)米波矢先計(jì)算費(fèi)米波矢 NaaNaSNN 2 222，面積，面積，則電子數(shù)，則電子數(shù)設(shè)原子數(shù)為設(shè)原子數(shù)為 NaNaS 2 2 2 22 2 2 44 倒空間中面積元為倒空間中面積元為 6

40、9教育教學(xué) N S kF 22 4 2 2 a k 2 F 70教育教學(xué) 況：況：第一區(qū)與第二區(qū)邊界情第一區(qū)與第二區(qū)邊界情)2( a b 2 2 1 a b 2 2 22 2 F 1 b k b 界垂直相交。界垂直相交。出現(xiàn)能隙，費(fèi)米面與邊出現(xiàn)能隙，費(fèi)米面與邊 在布里淵區(qū)邊界附近，在布里淵區(qū)邊界附近，受到弱周期場(chǎng)的作用，受到弱周期場(chǎng)的作用， 71教育教學(xué) 72教育教學(xué) 能帶為：能帶為：有一半金屬，其交疊的有一半金屬，其交疊的38 2 0 2 2 022 1 22 11 )( 2 )()( 2 )0()( kk m kEkE m k EkE .K0)()0( 02121F ETkEEmm時(shí)的費(fèi)米

41、能時(shí)的費(fèi)米能，試求：，試求：， 狀態(tài)數(shù)相同。狀態(tài)數(shù)相同。 的被占據(jù)的被占據(jù)的空狀態(tài)數(shù)與的空狀態(tài)數(shù)與時(shí)，時(shí)，的狀態(tài)被填充，所以的狀態(tài)被填充，所以 狀態(tài)空著，而有一部分狀態(tài)空著，而有一部分的重疊，那么有部分的重疊，那么有部分與與現(xiàn)在發(fā)生現(xiàn)在發(fā)生 ，好填滿第一個(gè)能帶好填滿第一個(gè)能帶，原來系統(tǒng)的電子數(shù)恰，原來系統(tǒng)的電子數(shù)恰解：設(shè)費(fèi)米能為解：設(shè)費(fèi)米能為 212 121 1F 0)( )( )( EEKTkE kEEE kEE 73教育教學(xué) F 02 1 F )( 222 )0( 111 d)(d)( E kE E E EEgEEg即：即： 2/1 11 2/3 2 1 2 11 )()0( 2 2 )(kEE mV Eg 而而 2/1 022 2/3 2 2 2 22 )()( 2 2 )(kEkE mV Eg F 02 1 F )( 2/1 02 2/3 2 )0( 2/1 1 2/3 1 d)(d)0( E kE E E EkEEmEEEm代入，得：代入，得： 74教育教學(xué) )()0( 02F2F11 kEEmEEm 2 1 021 1F 1 )()0( )0( m m kEE EE 75教育教學(xué)