固體物理-吳代鳴課后答案[高教課堂]

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1、1-1試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=1.633 633. 16 3 2 3 6 3 2 3 1 2 OF ; 3 3 2 3 3 2 AF 2 OF;OA 12 22 a c aaaa c aa c a令令 ；證：配位數(shù)證：配位數(shù) F O A 1教育教學(xué) 的面間距。的面間距。 互相垂直，試求晶面族互相垂直，試求晶面族若晶胞基矢若晶胞基矢 hkl cba ,21 k cV bab j bV acb i aV cbb cbaVkccj bbi aa 22 ; 22 ; 22 ; 3 2 1 則：則： 且且解：令解：令 2教育教學(xué) k c l j b k i a h b lbk

2、bhG 2 321 那么，那么， 222 12 c l b k a h G d 3教育教學(xué) 1 13 3若在體心立方晶胞的每個面中心處加上若在體心立方晶胞的每個面中心處加上 一個同類原子，試說明這種結(jié)構(gòu)的基元應(yīng)一個同類原子，試說明這種結(jié)構(gòu)的基元應(yīng) 如何選??？其布拉菲晶格是什么格子？如何選取？其布拉菲晶格是什么格子？ 解：將整個晶體看成是解：將整個晶體看成是5 5個簡單立方格子套構(gòu)個簡單立方格子套構(gòu) 而成。而成。 布拉菲格子：簡單立方；布拉菲格子：簡單立方； 基元：頂點原子、體心、三個相鄰面心基元：頂點原子、體心、三個相鄰面心 4教育教學(xué) 1 14 4試求面心立方結(jié)構(gòu)的試求面心立方結(jié)構(gòu)的(111

3、)(111)和和(110)(110)面的原子面密度。面的原子面密度。 解解：(111)(111)面：頂點面：頂點3 3個原子，每個個原子，每個1/61/6； 邊上邊上3 3個原子，每個個原子，每個1/21/2； 2 111 2 3 2 2 3 2 2 1 aaaS 2 2 111 3 4 2 3 2 1 3 6 1 3 a a 面密度面密度 5教育教學(xué) 同理，同理，(110)面：頂點面：頂點4個原子，每個個原子，每個1/4; 邊上邊上2個原子，每個個原子，每個1/2; 2 110 22aaaS 2 2 110 2 2 2 1 2 4 1 4 aa 6教育教學(xué) 頭三個布里淵區(qū)。頭三個布里淵區(qū)。

4、試畫出試畫出為為設(shè)二維矩形格子的基矢設(shè)二維矩形格子的基矢,2,51 21 j aai aa j a bi a b , 2 21 解：倒格子基矢：解：倒格子基矢： 7教育教學(xué) 8教育教學(xué) 矢為矢為六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基61 ; ; 2 3 2 ; 2 3 2 3 2 1 kca j ai a a j ai a a 第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)。試求倒格子基矢并畫出試求倒格子基矢并畫出 9教育教學(xué) ; 2 )( 2 ; 3 22 )( 2 ; 3 22 )( 2 213 132 321 k c aab j a i a aab j a i a aab ; 2 3 )( 2 321 c

5、aaaa 解：解： 第一布里淵區(qū)為六棱柱第一布里淵區(qū)為六棱柱 10教育教學(xué) 消失的條件。消失的條件。 射線衍射射線衍射，并討論，并討論試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子試求金剛石的結(jié)構(gòu)因子X71 個原子的坐標(biāo)為：個原子的坐標(biāo)為：面心三個、體心四個；面心三個、體心四個； 個：頂點一個、個：頂點一個、立的原子共有立的原子共有解：考慮一個晶胞，獨解：考慮一個晶胞，獨 8 8 ; 22 0 ; 2 0 2 ;0 22 ;000 4 3 2 1 aa r aa r aa r r ;331 4 ;313 4 ;133 4 ;111 4 8 7 6 5 a r a r a r a r 11教育教學(xué) 821 321 8 1

6、 i . )( 2 e)( fff knjnin a GfGS j rG j j 簡單立方的倒格矢；簡單立方的倒格矢； ；其中，；其中，則則 e eee eee1 )( )33( 2 i )33( 2 i)33( 2 i)( 2 i )( i)( i)( i 321 321321321 323121 nnn nnnnnnnnn nnnnnn fGS 12教育教學(xué) e1 eee1 )( 2 i )( i)( i)( i 321 323121 nnn nnnnnn f 奇奇中有二奇一偶或二偶一中有二奇一偶或二偶一 為整數(shù)；為整數(shù)； 消光條件為：消光條件為： 321 321 , ),12(2 nnn

7、 NNnnn 13教育教學(xué) . 2ln212晶格的馬德隆常數(shù)證明一維NaCl ，則左右兩側(cè)對稱分布證明：任選一參考離子i 最近距離）為晶格常數(shù)（正負(fù)離子；這里令aaar jij . ;. 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 為其中，異號為；同號 那么，有： j j a 14教育教學(xué) . 432 )1ln( 432 xxx xx利用展開式： . 4 1 3 1 2 1 12ln1 ，得：令x 2ln2 15教育教學(xué) 應(yīng)如何決定。和參數(shù)合能的表達(dá)式，并討論 用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)最近鄰離子間的排斥作 來表示，只考慮若離子間的排斥勢用 -r/ e22 離子為原點）（以，則離為解：設(shè)最近鄰離子間距i

8、rarr jij ，（最近鄰以外） ），（最近鄰， ij ij ij r ij r e rr r e e ru ij 0 2 0 2 / 4 4 )( 16教育教學(xué) 最近鄰 總相互作用能為： / )( 0 2 e 1 42 r N ij j ar eN U 為最近鄰離子數(shù)其中 ； Z Z r eN U r ) 1.(.e 42 / 0 2 )2.(.e 4 0 / 2 00 2 0 0 r rr Z r e r U ；得：由平衡條件： 17教育教學(xué) ) 3.(.1 42 000 2 rr eN U 得： )( 0c rUE結(jié)合能 )4.(. 9 1 NaCl 0 2 2 0 rr r U Nr

9、 K 等離子晶體：對于 )5.(.e 1 4 2 18 1 / 23 00 2 0 0 r Z r e r K 18教育教學(xué) )6.(. 1 44 2 18 1 )5()2( 2 00 2 3 00 2 0 r e r e r K 得：代入將 )7.(. 722 4 00 2 0 2 Kre re )8.(.e 4 )2( / 2 00 2 0 r Zr e 得：由 19教育教學(xué) 多大變化？ 距離將產(chǎn)生合能以及離子間的平衡不變，試估計晶體的結(jié) 一倍，假定排斥勢晶體中離子的電荷增加如果NaCl32 ) 1.( 42 0 2 n r B r eN U 解：總相互作用能 )2.(.0 42 1 0

10、2 00 2 0 n rr r nB r eN r U )2.(. 4 1 1 2 0 0 n e nB r 得： 20教育教學(xué) )3.(. 4 )2( 1 0 0 2 n r n e B 得：由 )4.( 1 1 8 )() 1 ()3( 00 2 0 nr eN rU 得：代入 1 1 1 0 0 4 )( )2( 4 )( )2( )4()2(2 n n n eU eU er er ee可知：和時，由變?yōu)楫?dāng)電荷由 21教育教學(xué) 散關(guān)系。散關(guān)系。簡諧近似下求格波的色簡諧近似下求格波的色所有原子都有作用，在所有原子都有作用，在 若考慮每一原子與其余若考慮每一原子與其余在一維單原子晶格中，在一

11、維單原子晶格中，13 ji ijij ji ijij uUuxU 2 0 0 4 1 )( 2 1 解：在簡諧近似下：解：在簡諧近似下： )( 4 1 d d 2 2 2 ji ijij nn n u uu U t u m n 個原子的運動方程：個原子的運動方程：第第 22教育教學(xué) )( 4 1 )( 2 )( 2 nj njnj ni inin n uu u 右邊右邊 )()( 4 1 )( 2 )( 2 nj njnj ni inin n uuuu u ) )()( 2 1 )()( nj njnj ni inin uuuu )( )( ni niin uu p npnpnp uuu)2(

12、 23教育教學(xué) p n aqpntaqpnt p naqt naqt n uAAAm Au )2ee(e e )( i)( i)( i2 )( i 代入上式得：代入上式得：設(shè)設(shè) p p paq m )cos1 ( 2 2 整理，得：整理，得： 24教育教學(xué) 。，試求格波的色散關(guān)系，試求格波的色散關(guān)系和和等于等于原子間的力常數(shù)交錯地原子間的力常數(shù)交錯地 最近鄰最近鄰兩種原子的質(zhì)量相等，兩種原子的質(zhì)量相等，設(shè)有一維雙原子晶格，設(shè)有一維雙原子晶格， 21 23 nnn nnnn n u uu t u m )( )()( d d 21211 211 2 2 解：解： nnn nnnn n uu uu

13、t m )( )()( d d 21112 112 2 2 25教育教學(xué) )( i)( i e;e tnaq n tnaq n BAu 試探解：試探解： BAABm ABBAm aq aq )(e )(e 212 i 1 2 212 i 1 2 代入方程，得：代入方程，得： 0 )(e )e()( 21 2i 12 2 i 1 2 21 m m aq aq m aqcos2 21 2 2 2 1212 經(jīng)計算，得：經(jīng)計算，得： 26教育教學(xué) 格波色散關(guān)系為格波色散關(guān)系為已知一維單原子晶格的已知一維單原子晶格的33 )cos1 ( 2 )( 2 qa M q 的的比比例例關(guān)關(guān)系系。低低溫溫下下晶

14、晶格格熱熱容容與與溫溫度度 ；格格波波的的模模密密度度試試求求： )2( )() 1 (g )(d 2 )(qq l g解：一維時，模密度解：一維時，模密度 qaq M a M aq dsin 2 d2 ; 2 1cos 2 由色散關(guān)系，得：由色散關(guān)系，得： 27教育教學(xué) 2/1 4 2 2 2 4 d d MM M a q m q M q M M a q qq l g 0 2/1 4 2 2 2 )( 4 )( )( )(d)(2 2 )( 2/1 4 2 2 2 4 MM M a l 28教育教學(xué) m Tk g TT E C 0B 1)/exp( d)( 晶格熱容：晶格熱容： ）項，（因為

15、低溫，項，（因為低溫，略去略去1 4 m Tk M M a l T C 0 1e d B 0 d 1e B Tk T M a l )(似為無窮大似為無窮大主要，所以上限可以近主要，所以上限可以近因為低溫，頻率低的占因為低溫，頻率低的占 29教育教學(xué) 0 2 22 B d ) 1e ( e x xTkM a l x x 3 2 經(jīng)計算，上面積分經(jīng)計算，上面積分 T M a lk C 3 2 B 30教育教學(xué) 模型的合理性。模型的合理性。 論德拜論德拜題的結(jié)果進(jìn)行比較，討題的結(jié)果進(jìn)行比較，討與溫度的關(guān)系，并和上與溫度的關(guān)系，并和上 格，求低溫下晶格熱容格，求低溫下晶格熱容將德拜模型用于一維晶將德拜

16、模型用于一維晶43 cq色散關(guān)系：色散關(guān)系：解：對于德拜模型，有解：對于德拜模型，有 qcdd )(d 2 )(qq l g 0 )(d 1 q c l c l 31教育教學(xué) 0 1e )(d BT k g T C 0 2 22 B d ) 1e ( e x xTk c l x x 3 2 上面積分上面積分T c kl C 3 2 B 溫溫的的情情況況下下。有有其其合合理理性性，尤尤其其是是低低 成成正正比比，說說明明德德拜拜模模型型與與上上題題結(jié)結(jié)果果比比較較，都都與與 T 32教育教學(xué) 。不因此而獲得物理動量不因此而獲得物理動量的聲子，試證明晶體并的聲子，試證明晶體并 為為中，只激發(fā)出一個

17、動量中，只激發(fā)出一個動量設(shè)想在一維單原子晶格設(shè)想在一維單原子晶格 )0( 53 qq )(i , 0 , 1 e 1 ll ll N ll n qqna l l ：證明：先證下面的式子證明：先證下面的式子 N n N ll n n ll Na na NN ll ll 2i)( 2 i e 1 e 1 時，左邊時，左邊 時，顯然成立。時，顯然成立。 33教育教學(xué) 0 e1 )e1 (e1 2i 2i2i N ll N N ll N ll N n nqat n n MuMp ii eei 晶體物理動量晶體物理動量 0 結(jié)論成立。結(jié)論成立。 34教育教學(xué) 形成的新結(jié)構(gòu)。形成的新結(jié)構(gòu)。 試說明所試說明

18、所，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，原子的位移被“凍結(jié)”原子的位移被“凍結(jié)” ，這時，這時振動模式的頻率趨于零振動模式的頻率趨于零）若在某一溫度下這種）若在某一溫度下這種（ 向；向；某一時刻原子的位移方某一時刻原子的位移方）畫出這種振動模式在）畫出這種振動模式在（ 振動模式：振動模式：落在布里淵區(qū)邊界上的落在布里淵區(qū)邊界上的 慮波矢慮波矢的一維單原子晶格，考的一維單原子晶格，考設(shè)有晶格常數(shù)為設(shè)有晶格常數(shù)為 2 1 63a )( i e) 1 ( naqt n Au 一維晶格位移一維晶格位移解：解： , a q對于布里淵區(qū)邊界，有對于布里淵區(qū)邊界，有 35教育教學(xué) tnnt n AAu i)

19、( i e) 1(e 1 1 n n u u 反，即：反，即：相鄰原子的位移方向相相鄰原子的位移方向相 移在量值上相同，只是移在量值上相同，只是任何時刻原子運動的位任何時刻原子運動的位 子互相靠近。子互相靠近。，形成的新晶格是兩原，形成的新晶格是兩原為為 此時的位移此時的位移時，振動至不能恢復(fù)，時，振動至不能恢復(fù)，當(dāng)當(dāng) A n ) 1( 0)2( 36教育教學(xué) 兩者的數(shù)量級。兩者的數(shù)量級。 濃度，并比較濃度，并比較）時空位和間隙原子的）時空位和間隙原子的試估計接近熔點（試估計接近熔點（ ，為為，間隙原子的形成能約，間隙原子的形成能約銅的空位形成能約為銅的空位形成能約為 K1300 eV4eV2

20、6. 114 Tk u B Nn e 空空 肖脫基缺陷引起，肖脫基缺陷引起，解：對于空位，主要由解：對于空位，主要由 5 13001038. 1 106 . 126. 1 1032. 1ee 23 19 B Tk u N n空 空 空位濃度空位濃度 Tk u Tk u NNNn BB 22 2 1 ee)( 間間 克爾缺陷引起：克爾缺陷引起：對于間隙原子，由夫倫對于間隙原子，由夫倫 37教育教學(xué) 8 13001038. 12 106 . 14 2 1079. 1ee 23 19 B Tk u N n 間間 間隙原子濃度間隙原子濃度 個量級。個量級。二者差約二者差約3 38教育教學(xué) 熱容的貢獻(xiàn)。

21、熱容的貢獻(xiàn)。 積的變化以及對晶體積的變化以及對晶體個肖脫基缺陷后晶體體個肖脫基缺陷后晶體體試求產(chǎn)生試求產(chǎn)生n24 個，個，個增加到個增加到的格點就由原來的的格點就由原來的到表面上，這樣，晶格到表面上，這樣，晶格 個原子從晶體內(nèi)移動個原子從晶體內(nèi)移動有有個肖脫基缺陷就意味著個肖脫基缺陷就意味著解：產(chǎn)生解：產(chǎn)生 nNN nn ，體積為體積為，那么每個原子所占的，那么每個原子所占的令原來的晶體體積為令原來的晶體體積為 N V V 0 0 N n Vn N V VV1 0 0 0 后來的體積后來的體積 n N V VV 0 0 體積變化為體積變化為 ，能量變化為能量變化為個肖脫基缺陷，晶體的個肖脫基缺

22、陷，晶體的產(chǎn)生產(chǎn)生nun 39教育教學(xué) V V T E C 而而 T n u T nu T E C VV V Tk u Nn B e 而而 Tk u Tk u Tk Nu Tk u N T n BB e ) 1( e 2 B 2 B 2 B 2 2 B 2 B e Tk nu Tk Nu C Tk u V 40教育教學(xué) 響。響。系維度對物理性質(zhì)的影系維度對物理性質(zhì)的影的變化曲線，并討論體的變化曲線，并討論體隨隨 ，畫出，畫出自由電子氣的能態(tài)密度自由電子氣的能態(tài)密度導(dǎo)出一維、二維和三維導(dǎo)出一維、二維和三維 EEg Eg )( )(15 m k E 2 22 解：解： E m k 2 2 2 1

23、2 2 2 2 2 2 E mL k L ZE 以下的狀態(tài)數(shù)以下的狀態(tài)數(shù)一維：一維： 2 1 22 E mL 2 1 2 1 2 2 )( E n mN E mL Eg 41教育教學(xué) E mL k L k L Z 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 二維：二維： 22 2 )( n NmmL Eg 2 3 22 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 2 mEVmEL Z三維：三維： 2 1 2 3 22 2 2 )(E mV Eg 42教育教學(xué) 化學(xué)勢為：化學(xué)勢為：證明二維自由電子氣的證明二維自由電子氣的25 。為單位面積上的電子數(shù)為單位面積上的電子數(shù)n TkT Tmkn 1eln)(

24、 B 2 / B 0 )(d)()(?？梢郧罂梢郧笞C明：由證明：由TEEgEfN 2 2 d d )( 0 n Nm E Z Eg E n Nm ZE 間的狀態(tài)數(shù)間的狀態(tài)數(shù)二維自由電子氣的二維自由電子氣的 43教育教學(xué) 00 / )( 2 d 1e / d)()( B E nNm EEgEfN TkE Tk xTkE x n TNmkTk E n TNmk B B 1e d 1e d 2 B 0 / )( B 2 B Tk x x Tk x x n TNmkx n TNmk BB 1e ) 1e (d 1e de 2 B 2 B 1eln 1eln B B 2 B 2 B Tk Tk x n

25、TNmk n TNmk 44教育教學(xué) 1eln B B 2 Tk Tmk n 1eln B 2 B Tmk n Tk 45教育教學(xué) 的結(jié)果比較。的結(jié)果比較。表達(dá)式，并與經(jīng)典理論表達(dá)式，并與經(jīng)典理論 的的數(shù)數(shù)理論的結(jié)果導(dǎo)出理論的結(jié)果導(dǎo)出試根據(jù)自由電子氣量子試根據(jù)自由電子氣量子LLorentz35 F B B 2 e 2 E Tk nkC解：根據(jù)量子理論：解：根據(jù)量子理論： m ne 2 2 ee 3 1 3 1 ClCK熱導(dǎo)率熱導(dǎo)率 m E C F e 2 3 1 T m nk m E E Tk nk 2 B 2 F F B B 2 3 2 2 3 1 46教育教學(xué) m ne T m nk K

26、2 2 B 2 3 T e k 2 B 2 3 2 B 2 3 e k L勞侖茲數(shù)勞侖茲數(shù) 與書上經(jīng)典結(jié)果對比。與書上經(jīng)典結(jié)果對比。 47教育教學(xué) 電場中的電導(dǎo)率。電場中的電導(dǎo)率。動量，試求金屬在交變動量，試求金屬在交變 是電子是電子來表示，來表示，撞阻力用撞阻力用若金屬中傳導(dǎo)電子的碰若金屬中傳導(dǎo)電子的碰p p 45 m eE p eE t m xEE d d 方向）：方向）：沿沿（假定（假定作用下電子的運動方程作用下電子的運動方程解：在電場解：在電場 eE t m d d ，則：，則：設(shè)：設(shè)： ttt xxEE i 0 i 0 i 0 e,e,e 頻頻率率）（電電子子能能夠夠跟跟上上電電場場

27、的的 48教育教學(xué) E m e 1 i E m e 1 ) 1i ( 22 m ne E ne E j 2 22 1 i1 )( 49教育教學(xué) kaAEkE E x nA naxAxV xVa a x n cose2)( e)( )()( )( 16 0 0 2/1 價電子的能量為價電子的能量為，試用緊束縛近似證明，試用緊束縛近似證明能量為能量為 數(shù)為數(shù)為原子的歸一化電子波函原子的歸一化電子波函 為整數(shù)，自由為整數(shù)，自由函數(shù)勢的強度，函數(shù)勢的強度，為常量，是為常量，是式中式中 由原子勢疊加而成，即由原子勢疊加而成，即，晶體中的單電子勢，晶體中的單電子勢 維晶格，晶格常數(shù)為維晶格，晶格常數(shù)為設(shè)有

28、單價原子組成的一設(shè)有單價原子組成的一 50教育教學(xué) ),( i 0 )(e)( nn m Rk REkE m 解：由緊束縛近似，解：由緊束縛近似， )()()( :) 1 ( xAnaxAxV n 求 xxxVxd)()()( * )()(ed 2 xAnaxAx n x n x naxAxA)(ed 2 0 2 2 e e n na n an A AA 51教育教學(xué) ）；（；（ 求求 1, 0d)()()( :)2( * nnxnaxxVx xxVn axx d)(ee1 2/12/1 1 時，時，當(dāng)當(dāng) xanxA n axx d )(ee 0 0 1 e n nna A （忽略高階項）（忽

29、略高階項） a A e 為小量）為小量）子上幾率小，子上幾率小，（原子波函數(shù)在其它原（原子波函數(shù)在其它原 a e a A e 1 同理：同理： ee e2)( 1 i 1 i2 0 kakaa AEkEkaAE a cose2 0 52教育教學(xué) ).( )(e)( 26 ),( i 0 kE sfccbccm REkE s nn m Rk m 的能量的能量 帶帶晶格晶格和和試求試求的求和只限于最近鄰，的求和只限于最近鄰，對對 帶能量的一般公式帶能量的一般公式利用緊束縛近似導(dǎo)出的利用緊束縛近似導(dǎo)出的 :bcc1）對于）對于解：（解：（ 個；個；最近鄰原子數(shù)最近鄰原子數(shù)8 ）坐標(biāo)（ 2 , 2 ,

30、 2 aaa ) 222 ( i) 222 ( i) 222 ( i e.ee)( zyxzyxzyx k a k a k a k a k a k aa k a k a k ss EkE 代入上式，得：代入上式，得： akakakE zyxs 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos8 53教育教學(xué) :fcc)2(對于對于 個。個。最近鄰原子數(shù)最近鄰原子數(shù)12 )0 , 2 , 2 (), 2 , 0 , 2 (), 2 , 2 , 0( aaaaaa 坐標(biāo)坐標(biāo) 代入，得：代入，得： .ee)( ) 22 ( i) 22 ( i a k a k a k a k ss zyzy EkE a

31、kakakakakakE zyzxyxs 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos4 54教育教學(xué) 度。度。子的有效質(zhì)量及能態(tài)密子的有效質(zhì)量及能態(tài)密試求：能帶極值附近電試求：能帶極值附近電 帶的能量為帶的能量為已知簡單立方晶格已知簡單立方晶格 ),coscos(cos2)( 36 akakakEkE s zyxs )0 , 0 , 0(), , , (帶底：帶底：解：帶頂：解：帶頂： aaa aka k E aka k E aka k E z z y y x x cos2 cos2 cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 55教育教學(xué)

32、 對于帶頂：對于帶頂： 2 2 2 2 2 * 2 a k E m x xx * xxzzyy mmm 附近，有：附近，有： aaa ) ( 2 1 1) ( 2 1 1) ( 2 1 1(2)( 222222 a ka a ka a kaEkE xyxs 222 2 6 a k a k a kaE zyxs 56教育教學(xué) a kk a kk a kkEE zz yyxxs 6 0 ；令：令： 2 2 0 )()(kaEkEkE 則：則： )(d )( 1 2 1 d )( 2 0 2 2 0 2 kE a kEE a k a kEE k ； 57教育教學(xué) 3 3 d)( 4 )(kkEE V

33、 Eg 0 2 3 d4)( 4 kkkEE V 0 )(d 2 1)( 4)( 4 22 0 3 E kE aa kEE kEE V 0 )(d )( 2 1 4)( 4 2 0 2 3 E kE a kEE a kEE V 2 0 23 2 1 4 4a EE a V 58教育教學(xué) 2/1 0 2/32 )( )( 1 2 )(EE a V Eg 2/1 2/32 )6( )( 1 2 EE a V s 59教育教學(xué) 2 2 * 2 2 2 2 2 * 22a mm a k E m zzyy x xx ； 對于帶底：對于帶底： 附近，有：附近，有：000 ) 2 1 1 2 1 1 2 1

34、 1 (2)( 222222 zyxs kakakaEkE 22 6akEs 22 0 akE 60教育教學(xué) 2 0 2 )( a EkE k )(d )(2 1 d 0 2 kE EkEa k kkEE V Eg 3 3 d)( 4 )( 0 2 3 d4)( 4 kkkEE V 0 0 2 2 0 3 )(2 )(d)( 4)( 4 EEkEa kE a EkE kEE V 2/1 0 2/32 )( )( 1 2 EE a V 61教育教學(xué) 2/1 2/32 )6( )( 1 2 )( s EE a V Eg 62教育教學(xué) ?2 1 046 周期的周期的空間中的運動是否也是空間中的運動是

35、否也是）電子在）電子在（ 的，并求出周期；的，并求出周期；空間中的運動是周期性空間中的運動是周期性）電子在）電子在（ 場，試說明：場，試說明：此時沿晶格方向加靜電此時沿晶格方向加靜電 能量為零），能量為零），時電子處在能帶底（設(shè)時電子處在能帶底（設(shè)設(shè)有一維晶格，在設(shè)有一維晶格，在 r k t e t k k d d ) 1 (空間的運動方程為：空間的運動方程為：電子在電子在解：解： t e tk )( )0)0(tk 周期的。周期的。 為為空間的運動是以空間的運動是以么就可以說明在么就可以說明在就達(dá)到相同的狀態(tài)，那就達(dá)到相同的狀態(tài)，那 ，每經(jīng)歷時間每經(jīng)歷時間對應(yīng)相同的狀態(tài)，那么對應(yīng)相同的狀態(tài)，

36、那么與與只要證明只要證明 Tk TTtktk )()( 63教育教學(xué) GtkTtk tkGkk )()( )( 一定會達(dá)到一定會達(dá)到 隨時間增長，隨時間增長，對應(yīng)相同的狀態(tài)，那么對應(yīng)相同的狀態(tài)，那么與與在晶體中，在晶體中， ，即：即：T e G i a G 2 而而)(i 令 ae T 2 64教育教學(xué) 在真實空間中，有：在真實空間中，有：)2( )( 1 )(kEk k t tttr 0 d)()( Tt t tTt ttttttTtrd)(d)(d)()( 00 )( )( d)(d d d )(d)( Ttk tk Tt t Tt t kk e k k t tktt 而而 65教育教學(xué)

37、0)(變化一個周期積分變化一個周期積分的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以是是由于由于kkk )()(trTtr 相同。相同。 空間空間周期與在周期與在運動也是周期性的，其運動也是周期性的，其即：電子在真實空間的即：電子在真實空間的k 66教育教學(xué) 2 1 2 20000 )(4)()( 2 1 )()( 2 1 )( 56 nnn GVGkEkEGkEkEkE 子子的的能能量量近近布布里里淵淵區(qū)區(qū)界界面面時時，電電按按近近自自由由電電子子近近似似，靠靠 交。交。與布里淵區(qū)界面垂直相與布里淵區(qū)界面垂直相試證明：電子的等能面試證明：電子的等能面 )(2 22 1 2 22 1)( 22 n Gk m k

38、 mk kE 證：證： 2/1 2 2 00 )(4)()( 2 1 2 1 nn GVGkEkE 2 2 )()( 2 2 00 nn Gkk m GkEkE 67教育教學(xué) 上時：上時：端點落在布里淵區(qū)邊界端點落在布里淵區(qū)邊界當(dāng)當(dāng)k )()(02 002 nnn GkEkEGGk ) 2 1 ( )( 2 n Gk mk kE ）的邊界；）的邊界；的方向沿著布里淵區(qū)（的方向沿著布里淵區(qū)（而而 與等能面垂直；與等能面垂直； nn GGk k kE 2 1 )( 區(qū)邊界垂直相交。區(qū)邊界垂直相交。所以，等能面與布里淵所以，等能面與布里淵 68教育教學(xué) 什么變化？什么變化？ 面的形狀發(fā)生面的形狀發(fā)生

39、周期場的微擾，其費米周期場的微擾，其費米的費米面，如果受到弱的費米面，如果受到弱 畫出自由電子畫出自由電子約區(qū)圖式和重復(fù)區(qū)圖式約區(qū)圖式和重復(fù)區(qū)圖式個價電子，試分別用簡個價電子，試分別用簡 ，若每原子提供，若每原子提供和和胞邊長為胞邊長為設(shè)有二維矩形晶格，原設(shè)有二維矩形晶格，原 2 218aa j aai aa 21 2，解：設(shè)解：設(shè) j a bi a b 2 21 ，倒格子基矢倒格子基矢 F ) 1 (k先計算費米波矢先計算費米波矢 NaaNaSNN 2 222，面積，面積，則電子數(shù)，則電子數(shù)設(shè)原子數(shù)為設(shè)原子數(shù)為 NaNaS 2 2 2 22 2 2 44 倒空間中面積元為倒空間中面積元為 6

40、9教育教學(xué) N S kF 22 4 2 2 a k 2 F 70教育教學(xué) 況：況：第一區(qū)與第二區(qū)邊界情第一區(qū)與第二區(qū)邊界情)2( a b 2 2 1 a b 2 2 22 2 F 1 b k b 界垂直相交。界垂直相交。出現(xiàn)能隙，費米面與邊出現(xiàn)能隙，費米面與邊 在布里淵區(qū)邊界附近，在布里淵區(qū)邊界附近，受到弱周期場的作用，受到弱周期場的作用， 71教育教學(xué) 72教育教學(xué) 能帶為：能帶為：有一半金屬，其交疊的有一半金屬，其交疊的38 2 0 2 2 022 1 22 11 )( 2 )()( 2 )0()( kk m kEkE m k EkE .K0)()0( 02121F ETkEEmm時的費米

41、能時的費米能，試求：，試求：， 狀態(tài)數(shù)相同。狀態(tài)數(shù)相同。 的被占據(jù)的被占據(jù)的空狀態(tài)數(shù)與的空狀態(tài)數(shù)與時，時，的狀態(tài)被填充，所以的狀態(tài)被填充，所以 狀態(tài)空著，而有一部分狀態(tài)空著，而有一部分的重疊，那么有部分的重疊，那么有部分與與現(xiàn)在發(fā)生現(xiàn)在發(fā)生 ，好填滿第一個能帶好填滿第一個能帶，原來系統(tǒng)的電子數(shù)恰，原來系統(tǒng)的電子數(shù)恰解：設(shè)費米能為解：設(shè)費米能為 212 121 1F 0)( )( )( EEKTkE kEEE kEE 73教育教學(xué) F 02 1 F )( 222 )0( 111 d)(d)( E kE E E EEgEEg即：即： 2/1 11 2/3 2 1 2 11 )()0( 2 2 )(kEE mV Eg 而而 2/1 022 2/3 2 2 2 22 )()( 2 2 )(kEkE mV Eg F 02 1 F )( 2/1 02 2/3 2 )0( 2/1 1 2/3 1 d)(d)0( E kE E E EkEEmEEEm代入，得：代入，得： 74教育教學(xué) )()0( 02F2F11 kEEmEEm 2 1 021 1F 1 )()0( )0( m m kEE EE 75教育教學(xué)