2019版高考數(shù)學復習三角函數(shù)問題重在“變”——變角、變式講義理(普通生含解析).docx

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1、三角函數(shù)問題重在“變”變角、變式 技法指導遷移搭橋1.常用的變角技巧(1)已知角與特殊角的變換;(2)已知角與目標角的變換;(3)角與其倍角的變換;(4)兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運用如:()(),2()(),2()(),2,.2常用的變式技巧主要從函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)方面入手,常見有:(1)討論三角函數(shù)的性質(zhì)時,常常將它化為一次的單角的三角函數(shù)來討論;(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的問題,常做換元處理,如令tsin xcos x,將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)來處理;(3)在解決三角形的問題時,常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等. 典例(2018天津高

2、考)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大?。?2)設a2,c3,求b和sin(2AB)的值快審題求什么想什么求角B的大小,想到角B的三角函數(shù)值求三角函數(shù)值,想到由已知三角函數(shù)值求值給什么用什么已知邊角關(guān)系式,用正弦定理統(tǒng)一角已知邊的大小,用余弦定理求邊差什么找什么求sin(2AB)的值,缺少2A的三角函數(shù)值,應找A的三角函數(shù)值.穩(wěn)解題(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B.又因為bsin Aacos,所以asin Bacos,即sin Bcos Bsin B,所以tan B.因為B(0,),所以B.(2)在ABC中,

3、由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A .因為ac,所以cos A.所以sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.題后悟道1利用正、余弦定理求解問題的策略2三角恒等變換的思路為“一角二名三結(jié)構(gòu)”升冪(降冪)公式口訣:“冪降一次,角翻倍;冪升一次,角減半”針對訓練已知ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcos Cacsin B.(1)求角B的大??;(2)若b5,a3,求ABC的面積S.解:(1)由正弦定理可得,sin Bcos

4、Csin Asin Csin B,即sin Bcos Csin(BC)sin Csin B,所以cos Bsin Csin Csin B0.因為sin C0,所以cos Bsin B0,即tan B1,又B(0,),所以B.(2)法一:由余弦定理,可得b2a2c22accos B,即52(3)2c223ccos,整理得c26c70,解得c1或c7(舍去)所以ABC的面積Sacsin B31sin.法二:由正弦定理,可得,解得sin A.因為B,所以A,所以cos A .由三角形的內(nèi)角和定理可得CAB,所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B,所以ABC的面積Sabs

5、in C35.總結(jié)升華高考試題中的三角函數(shù)解答題相對比較傳統(tǒng),難度較低,大家在復習時,應“明確思維起點,把握變換方向,抓住內(nèi)在聯(lián)系,合理選擇公式”是三角變換的基本要訣在解題時,要緊緊抓住“變”這一核心,靈活運用公式與性質(zhì), 仔細審題,快速運算 A組“633”考點落實練一、選擇題1(2019屆高三益陽、湘潭調(diào)研)已知sin ,則cos(2)()A.BC. D解析:選Dsin ,cos 212sin21,cos(2)cos 2,故選D.2(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為,則C()A. B.C. D.解析:選CSabsin Cabcos C,sin C

6、cos C,即tan C1.C(0,),C.故選C.3若0,cos ,sin(),則cos ()AB.C D解析:選Ccos cos()cos()cos sin()sin ,因為,所以cos()0,所以sin ,cos .4若,sin ,cos,則()A. B.C. D.解析:選B由sin ,及,得cos ,由cossin ,及,得cos ,所以sin()sin cos cos sin .又因為,所以.5在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cos A,則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形解析:選A根據(jù)正弦定理得cos A,即sin Csin Bco

7、s A.ABC,sin Csin(AB)sin Bcos A,整理得sin Acos B0,cos B0,B,ABC為鈍角三角形6(2018南昌一模)已知臺風中心位于城市A東偏北(為銳角)的150千米處,以v千米/時沿正西方向快速移動,2.5小時后到達距城市A西偏北(為銳角)的200千米處,若cos cos ,則v()A60 B80C100 D125解析:選C如圖,臺風中心為B,2.5小時后到達點C,則在ABC中,ABsin ACsin ,即sin sin ,又cos cos ,sin2cos2sin2cos21sin2cos2,sin cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,cos

8、()cos cos sin sin 0,BC2AB2AC2,(2.5v)215022002,解得v100,故選C.二、填空題7(2018全國卷)已知sin cos 1,cos sin 0,則sin()_.解析:sin cos 1,cos sin 0,22得12(sin cos cos sin )11,sin cos cos sin ,sin().答案:8在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a23b23c22bcsin A,則C等于_解析:由余弦定理得a2b2c22bccos A,所以b2c22bccos A3b23c22bcsin A,即sin Acos A,2sin2,因此bc

9、,AA,所以C.答案:9(2018長春質(zhì)檢)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若其面積Sb2sin A,角A的平分線AD交BC于點D,AD,a,則b_.解析:由面積公式Sbcsin Ab2sin A,可得c2b,即2.由a,并結(jié)合角平分線定理可得,BD,CD,在ABC中,由余弦定理得cos B,在ABD中,cos B,即,化簡得b21,解得b1.答案:1三、解答題10(2018全國卷)在平面四邊形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.(1)求cos ADB;(2)若DC2,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得,即,所以sin ADB.由題設知,ADB90,所以c

10、os ADB .(2)由題設及(1)知,cos BDCsin ADB.在BCD中,由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225,所以BC5.11(2018昆明調(diào)研)在ABC中,AC2,BC6,ACB150.(1)求AB的長;(2)延長BC至D,使ADC45,求ACD的面積解:(1)由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB,得AB21236226cos 15084,所以AB2.(2)因為ACB150,ADC45,所以CAD15045105,由正弦定理,得CD,又sin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45,所以CD3,又AC

11、D180ACB30,所以SACDACCDsinACD2(3)(1)12已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函數(shù)yf(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中a7,若銳角A滿足f,且sin Bsin C,求bc的值解:(1)f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x2sin,因此f(x)的最小正周期為T.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)由f2sin2sin A,且A為銳角,所以A.由正弦定理可得2R,sin Bsin C,則bc13,所以co

12、s A,所以bc40.B組大題專攻補短練1(2018天津五區(qū)縣聯(lián)考)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且8 sin22cos 2C7.(1)求tan C的值;(2)若c,sin B2sin A,求a,b的值解:(1)在ABC中,因為ABC,所以,則sincos.由8sin22cos 2C7,得8cos22cos 2C7,所以4(1cos C)2(2cos2C1)7,即(2cos C1)20,所以cos C.因為0C,所以C,于是tan Ctan.(2)由sin B2sin A,得b2a.又c,由余弦定理得c2a2b22abcos,即a2b2ab3.聯(lián)立,解得a1,b2.2在A

13、BC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足a2c2b22bccos A4c0,且ccos Ab(1cos C)(1)求c的值及判斷ABC的形狀;(2)若C,求ABC的面積解:(1)由a2c2b22bccos A4c0及正弦定理得a2c2b22bc4c0,整理,得c2.由ccos Ab(1cos C)及正弦定理,得sin Ccos Asin B(1cos C),即sin Bsin Ccos Asin Bcos Csin(AC)sin Acos Ccos Asin C,所以sin Bcos Csin Acos C,故cos C0或sin Asin B.當cos C0時,C,故ABC為直角三

14、角形;當sin Asin B時,AB,故ABC為等腰三角形(2)由(1)知c2,AB,則ab,因為C,所以由余弦定理,得4a2a22a2cos ,解得a284,所以ABC的面積Sa2sin2.3已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ABC的面積為S accos B.(1)若c2a,求角A,B,C的大??;(2)若a2,且A,求邊c的取值范圍解:由已知及三角形面積公式得Sacsin Baccos B,化簡得sin Bcos B,即tan B,又0B,B.(1)法一:由c2a及正弦定理得,sin C2sin A,又AC,sin2sin A,化簡可得tan A,而0A,A,C.法二:

15、由余弦定理得,b2a2c22accos Ba24a22a23a2,ba,abc12,A,C.(2)由正弦定理得,即c,由CA,得c1.又由A,知1tan A,2c1,故邊c的取值范圍為2,14ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin Acos A0,a2,b2.(1)求c的值;(2)設D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積解:(1)因為sin Acos A0,所以sin Acos A,所以tan A.因為A(0,),所以A.由余弦定理得a2b2c22bccos A,代入a2,b2得c22c240,解得c4或c6(舍去),所以c4.(2)由(1)知c4.因為c2a2b22abcos C,所以16284222cos C,所以cos C,所以sin C,所以tan C.在RtCAD中,tan C,所以,即AD.即SADC2,由(1)知SABCbcsin A242,所以SABDSABCSADC2.

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